9/29/08

Απίστευτα αντικείμενα


"Ψευδαίσθηση ονομάζεται η κατάσταση που δημιουργείται όταν η ανθρώπινη εμπειρία έρχεται σε επαφή με το μετα- φυσικό".

Κανένας μέχρι σήμερα δεν κατάφερε να κατασκευάσει το 'μνημείο' της φωτογραφίας. Και αυτό γιατί κανείς μέχρι σήμερα δεν κατάφερε να βρει πια είναι η τέταρτη διάσταση του χώρου. Το χαρακτηριστικό αυτής της εικόνας (όπως και όλων των υπολοίπων που θα ακολουθήσουν) είναι ότι παραβιάζει την κοινή μας αντίληψη για το 'μέσα' και το 'έξω'. Αν θεωρήσουμε δηλαδή ότι οι κίονες στηρίζουν την κάτω πλευρά του τριγώνου και ο άνθρωπος βρίσκεται στη δεύτερη πλευρά παράλληλη με τους κίονες, τότε η τρίτη πλευρά, καθώς ένα τρίγωνο είναι δισδιάστατο, θα έπρεπε να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τις άλλες δύο, στο επίπεδο των κιόνων. Το παράδοξο σε αυτήν την εικόνα δημιουργείται από το γεγονός ότι το επίπεδο του τριγώνου και το επίπεδο του υποβάθρου ως προς το οποίο κοιτάμε το τρίγωνο δεν ταυτίζονται, δίνοντας την εντύπωση ότι η τρίτη πλευρά μοιάζει να έρχεται μέσα από την τρίτη διάσταση.

Το θεμελιώδες σχέδιο της προηγούμενης εικόνας το βλέπουμε παρακάτω, μαζί με ένα 'απίστευτο πιρούνι'(devil's tuning fork ή bivlet. Σε ό,τι αφορά το τρίγωνο, ονομάζεται τρίγωνο του Penrose, αν και ο πρώτος που ασχολήθηκε με τέτοια αντικείμενα ήταν ο Σουηδός καλλιτέχνης Oscar Reutersvärd.




Ένα ακόμη από τα κατασκευάσματα του Penrose είναι και οι απίστευτες σκάλες. Αν αρχίσετε να ανηφορίζετε πάνω στα σκαλοπάτια, θα διαπιστώσετε ότι επιστρέφετε πίσω στο αρχικό σκαλοπάτι και στο ίδιο ύψος. Μήπως άραγε όχι μόνο δεν υπάρχει κάποια τέταρτη διάσταση του χώρου, αλλά και η τρίτη διάσταση είναι μία ψευδαίσθηση;

Αυτό μάλλον θα υπονοεί και ο Ολλανδός ζωγράφος Escher, ο οποίος στον παρακάτω πίνακά του, Ascending and descending, 1960, ζωγράφισε την απίστευτη σκάλα του Penrose. Προσέξτε ότι οι άνθρωποι στην οροφή του κάστρου ανεβαίνουν διαρκώς τα σκαλοπάτια χωρίς να κερδίζουν ύψος.



Οι κατηγορίες των απίστευτων αντικειμένων είναι πολλές, όπως και οι πίνακες ζωγραφικής που αναφέρονται σε αυτά. Παρακάτω παραθέτω άλλον ένα πίνακα του Escher (Cube with magic ribbons), καθώς και μια εικόνα που εκτός από το τρίγωνο του Penrose, φαίνεται κι ένας απίστευτος κύβος.




Παρακάτω παραθέτω ένα πεντάλεπτο video για το πώς μπορούμε να ζωγραφίσουμε τον απίστευτο κύβο για να προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι συμβαίνει.




Διαπιστώνουμε στο προηγούμενο video ότι για να ζωγραφίσουμε τον απίστευτο κύβο χρειαζόμαστε μόνο 'τμήματα' και, στο τέλος, ένα περιθώριο μέσα στο οποίο 'κλείνουμε' τα επιμέρους τμήματα. Και όλα αυτά βεβαίως πάνω σε δύο διαστάσεις. (Η ολογραφική αρχή σε όλο της το μεγαλείο!).

Η προηγούμενη πάντως διαπίστωση δε σημαίνει απαραίτητα ότι δεν υπάρχουν και άλλες διαστάσεις, παρότι μπορούμε πάντοτε όσες κι αν είναι να τις αναπαραστήσουμε σε μία επιφάνεια από χαρτί. Γιατί εκτός από απίστευτα αντικείμενα δύο ή τριών διαστάσεων, υπάρχουν και πολυδιάστατα αντικείμενα. Πάρτε για παράδειγμα την τετρακτίδα (tesseract) ή τετραδιάστατο κύβο.



Πρόκειται για την επέκταση σε τέσσερις διαστάσεις ενός κύβου. Παρατηρήστε την αναλογία ανάμεσα στον περιστρεφόμενο αυτόν υπερκύβο και στον 'απίστευτο' κύβο των τριών διαστάσεων. Σκεφτείτε δηλαδή ότι αυτό που συμβαίνει δεν είναι απλά μία οπτική ψευδαίσθηση, αλλά το αποτέλεσμα της επαφής των ματιών μας και του εγκεφάλου μας με μία επιπλέον διάσταση του χώρου, που δεν μπορούμε να δούμε, αλλά προσπαθούμε, με όποιο τίμημα για την πιστότητά της, να αναπαραστήσουμε σε ένα κομμάτι χαρτί.


ΥΣ. Ανακάλυψα τον όρο multistable perceptual phenomena, που περιγράφει ακριβώς απρόβλεπτες και αυθόρμητες αλλαγές της οπτικής μας αντίληψης. Αμέσως έφερα στο μυαλό μου την έννοια vacuum metastability event που περιγράφει τη μετάβαση από το λεγόμενο ψευδές κενό, false vacuum, στο αληθινό κενό, true vacuum. Αν εμείς ζούμε μέσα σ' ένα ψευδές κενό, τότε η περιστασιακή επαφή μας μ' ένα πολυδιάστατο υπέροχο αληθινό... κενό, θα προκαλεί διάφορα παράδοξα που οι 'παλαιοί γιατροί' τα ονομάζουν εκδηλώσεις σχιζοφρένειας. Βλέπετε ότι η σύγχρονη κβαντομηχανική δεν απέχει πλέον τουλάχιστον θεωρητικά από την 'εποχή των θαυμάτων'. Θα ήτανε άλλωστε κουτό εκ μέρους μας, αν θέλουμε να λεγόμαστε νοήμονα όντα, να απορρίψουμε μία τέτοια προοπτική.

Παραπομπές:

Impossible objects site blog.

Fourth Dimension (Wikipedia).

9/27/08

Ο ρόλος του παρατηρητή σ' ένα συμμετέχον σύμπαν



Πόσο επηρεάζονται τα πράγματα όταν τα κοιτάζουμε; Μπορούμε να εκτελέσουμε ένα τελείως αντικειμενικό πείραμα; Υπάρχουν προαποκτημένες ιδιότητες στα πράγματα; Υπάρχουν τα πράγματα πριν τα παρατηρήσουμε; Υπάρχουμε για τον κόσμο όταν ο κόσμος δε μας δίνει σημασία και πόσο διαφορετικοί είμαστε όταν κάποιοι μας προσέχουν;

Ο Wheeler ήταν ο άνθρωπος που ασχολήθηκε με τα παραπάνω ερωτήματα ίσως όσο κανένας άλλος. Εξού και η εικόνα του post την οποία ο ίδιος συνέβαλλε για να μας πει το εξής:

"Συμβολική αναπαράσταση του σύμπαντος ως ένα αυτο-διεγειρόμενο σύστημα που δημιουργείται από την αυτο- αναφορά. Το σύμπαν γεννάει τους επικοινωνούντες συμμετέχοντες. Αυτοί δίνουν νόημα στο σύμπαν... με την έννοια μαις ατέλειωτης σειράς διαδοχικών αντανακλάσεων που κάποιος βλέπει σ' ένα ζευγάρι αντικριστούς καθρέφτες."
[1]

Θα παρατηρήσουμε βεβαίως ότι ο ισχυρισμός του Wheeler είναι μάλλον υπερβολικός και έχει μία τάση προς αυτό που λέμε σολιψισμό (το να θεωρούμε ότι όλος ο έξω κόσμος υπάρχει μόνο μέσα από το δικό μας εσωτερικό κόσμο). O Wheeler πάντως θέσπισε και την συμμετοχική ανθρωπική αρχή (PAP), σύμφωνα με την οποία το σύμπαν ήταν όχι μόνο προορισμένο να δημιουργήσει νοήμονη ζωή, αλλά και να καθοδηγείται από αυτήν. Σε αυτή βέβαια την περίπτωση η σταθερότητα των φυσικών σταθερών καθώς και η αναλλοιότητα των φυσικών νόμων πάει περίπατο, αφού θα μπορούσαν ν' αλλάζουν ακόμη και με την παρατήρηση...


Η έννοια της συμμετοχής του παρατηρητή (observer) που στην συγκεκριμένη περίπτωση λέγεται συμμετέχων (participator) είναι συναφής με τη κβαντομηχανική, όπου ο παρατηρητής μέσω της μέτρησης προκαλεί την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης, την 'αποκρυστάλλωση' δηλαδή του κβαντικού αντικειμένου που παρατηρεί και το οποίο πριν τη μέτρηση βρισκόταν σε μία απροσδιόριστη κατάσταση υπέρθεσης. Επίσης, το κβαντικό αντικείμενο αποκτάει σαφή μορφή μέσα στον κόσμο όταν ακριβώς έρχεται σε επαφή με το περιβάλλον του μέσω του μηχανισμού που ονομάζεται αποσύνδεση (decoherence).

Έχουν άραγε τα πράγματα κάποιες ιδιότητες πριν τα παρατηρήσουμε ή μήπως οι ιδιότητές τους είναι οι ίδιες μας οι παραδοχές για το τι είναι τα πράγματα; Ίσως οι ερμηνεία μας για τον κόσμο να μην ξεπέρασε ποτέ την αλήθεια αυτής της αλληλεπίδρασης, μεταξύ του 'έξω' και του 'μέσα'.


Ο Magritte, από τη μεριά της ζωγραφικής, ασχολήθηκε όσο ίσως κανένας άλλος του είδους του με αυτήν τη σχέση ανάμεσα στον μέσα κόσμο και στον έξω κόσμο. Ο παραπάνω πίνακας (Η απρόσμενη απάντηση), ανάμεσα σε πολλούς άλλους πίνακες του ίδιου περιεχομένου, θέλει να μας δείξει ακριβώς τη σύζευξη ανάμεσα σε αυτούς τους δύο κόσμους. Αντί δηλαδή η πόρτα να μας χωρίζει από τον έξω κόσμο, αποτελεί την επιφάνεια αναφοράς πάνω στην οποία τόσο ο έξω όσο και ο μέσα κόσμος αποτυπώνονται.




Ο Bohm επίσης ήταν ο άνθρωπος που ασχολήθηκε περισσότερο από τον καθένα με τις συνέπειες της γενίκευσης σε επίπεδο πραγματικότητας ενός ολογράμματος. Το ολόγραμμα είναι μία απεικόνιση πάνω σε μία επιφάνεια όλων των πληροφοριών του χώρου οι οποίες και αποτυπώνονται πάνω στην επιφάνεια (π.χ. φωτογραφικό φιλμ), μέσω της κυματικής συμβολής του φωτός. Ο Bohm επίσης θεώρησε πως ο κόσμος όπως τον αντιλαμβανόμαστε είναι μία ψευδαίσθηση, η προβολή μίας και μοναδικής αλήθειας στις άπειρες απεικονίσεις της. Σε αυτή βέβαια την περίπτωση δε μένει ίσως και πολύ χώρος για ένα συμμετοχικό σύμπαν.



Συνεχίζουμε, καθώς οι t' Hooft και Susskind προώθησαν την έννοια της ολογραφικής αρχής, για να περιγράψουν τι συμβαίνει στον ορίζοντα συμβάντος μίας μαύρης τρύπας. Αυτό που διαπιστώθηκε είναι πως οτιδήποτε περιέχει μέσα της μια μαύρη τρύπα μπορεί να βρεθεί πάνω στην επιφάνεια του ορίζοντα συμβάντος. Με άλλα λόγια, αν λόγου χάρη η μαύρη τρύπα υπάρχει μέσα σ' έναν πενταδιάστατο κόσμο (που ακόμη δεν έχουμε ανακαλύψει), τότε όλες οι πληροφορίες γι' αυτόν τον πενταδιάστατο κόσμο, μπορούν να αναπαρασταθούν με μία θεωρία που θα αναλύσει στοιχεία μόνο πάνω στην επιφάνεια του ορίζοντα συμβάντος (σκεφτείτε πόσες διαστάσεις μπορούμε να γλυτώσουμε έτσι).

Βλέπουμε ότι πιθανόν η εξήγηση των παραδόξων στα οποία έχει καταλήξει η σύγχρονη επιστήμη και σκέψη, όπως η διαπίστωση της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης, η κβαντική αποσύζευξη, η θεώρηση παράλληλων κόσμων και πολλών διαστάσεων, δεν ξεπερνάει τις υποθέσεις και τα συμπεράσματα που θα μπορούσαν να αντληθούν από μία επιφάνεια, σαν την πόρτα του Magritte.

Μήπως τελικά όταν κοιτάζουμε τα άλλα πράγματα και τους άλλους ανθρώπους βλέπουμε τον εαυτό μας, όπως βέβαια προκύπτει κατευθείαν μέσα από αυτήν την αλληλεπίδραση; Ακούγεται μάλλον τετριμμένο και αυτονόητο. Η λογική μας λειτουργεί με αναλογίες, το ίδιο φαντάζομαι και οι αισθήσεις. Απεικονίζουμε τον έξω κόσμο μέσα μας και πάντα με τον τρόπο που λειτουργούν οι αισθήσεις και παραδέχονται οι επιθυμίες μας. Οι παραδοχές μας για το τι είναι ο κόσμος, ουσιαστικά είναι και ιδιότητες του κόσμου, αφού είναι σαν να υπήρχαν από πάντα και μεταμορφώθηκαν έστω τη στιγμή της επαφής του κόσμου με τη συνείδησή μας. Υπάρχει άραγε ο έξω κόσμος, αφού στην πραγματικότητα κατοικούμε μέσα του, μέσα και όχι έξω από το σύμπαν; Μήπως θα ήταν ορθότερο να θεωρήσουμε πως αποτελούμε ένα σύνολο, μέσα σ' ένα ευρύτερο σύνολο; Σε αυτήν την περίπτωση ο εσωτερικός μας κόσμος θα ήταν μόνο ένα κομμάτι από τον 'Εαυτό του Σύμπαντος'. Τι επιπτώσεις θα είχε μία τέτοια θεώρηση στην αντίληψή μας για τον κόσμο; Και θα ήταν τότε μία πόρτα αρκετή για να αποδόσει το διαχωρισμό ανάμεσα στον εσωτερικό μας κόσμο και τον εξωτερικό κόσμο ή μήπως πάνω σε αυτήν την πόρτα υπάρχουν όλες οι πληροφορίες για τα πράγματα και τις καταστάσεις που υποτίθεται πως διαχωρίζει;

9/24/08

Ο κανιβαλισμός των αντικειμένων


"Από τις απόψεις μας σχετικά με το τι είναι ένα αντικείμενο,

πιο μεμπτή απ' όλες παραμένει η χρησιμοθηρική ερμηνεία. "


Η ακτίνα ενός ατόμου είναι της τάξης του δισεκατομμυριοστού του μέτρου. Η ακτίνα του πυρήνα ενός ατόμου δέκα χιλιάδες φορές μικρότερη. Αυτό σημαίνει ότι ακόμη κι αν τα άτομα που απαρτίζουν τα αντικείμενα βρίσκονταν το ένα δίπλα στα άλλο, το κενό θα καταλάμβανε δέκα χιλιάδες φορές μεγαλύτερη περιοχή απ' ότι η ύλη. Τα άτομα βέβαια που συνιστούν τα αντικείμενα δε βρίσκονται καν το ένα δίπλα στο άλλο. Μεταξύ τους υπάρχουν τεράστιες, σχετικά με το μέγεθός τους αποστάσεις. Είμαστε όλοι μας κατασκευασμένοι από τρύπες και κάπου- κάπου μέσα σε αυτές τις τρύπες προβάλλουν κάτι μικρές ελπιδοφόρες κουκίδες ύλης. Βέβαια τα κενά μεταξύ των ατόμων καθώς και μεταξύ των κενών μέσα στα άτομα και στη συνέχεια μέσα στους πυρήνες, κ.ο.κ., γεμίζουν από πεδία. Πεδία δυνάμεων πυρηνικών, ηλεκτρομαγνητικών, Van Der Vaals, βαρυτικών με όλα τα άλλα υλικά αντικείμενα του σύμπαντος...

Πόσο σίγουροι, αν βέβαια η ατομική φυσική είναι ορθή, μπορούμε να είμαστε για τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο; Κανονικά θα έπρεπε να είμαστε τρύπιοι σαν διχτυωτές οντότητες, ρευστοί σαν πανιά απλωμένα στο άνεμο, και πεπλεγμένοι σαν κισσοί μέσα σ' ένα απέραντο δάσος από φως και συχνότητες. Και η περιγραφή μου θεωρήστε πως είναι αν όχι πλήρης, ίσως ακριβής. Αν ήμασταν μικροσκοπικοί στο μέγεθος ενός κβαντικού Guliver ή αν είχαμε τις αισθήσεις της Αλίκης στη χώρα των θαυμάτων ή έστω το ταμπεραμέντο του Dali, πώς θα βλέπαμε τον κόσμο; Αν θα μπορούσαμε να πλεύσουμε μέσα σε όλες τις συχνότητες σαν τυχερά θαλασσοπούλια ενός ανεπαίσθητου πελάγους; Ή από την άλλη μεριά αν είχαμε τις διαστάσεις ενός γαλαξία, πώς θα ξεχωρίζαμε μεταξύ τους τ' αστέρια; Ο χώρος και ο χρόνος θα έχανε κάθε νόημα. Τα πάντα πλέον θα ήτανε ζήτημα κλίμακας. Περπατάω πάλι σε ένα άγνωστο βουνό που αρχίζει να καταρρέει κάτω από τα πόδια μου γιατί δεν ήτανε ποτέ βουνό παρά ένα μόνο συνονθύλευμα σκόνης που πήρε κάποτε διαστάσεις τεράστιες...

Έχουμε συνηθίσει ή ίσως είμαστε κατασκευασμένοι από τη φύση μας, λόγω κλίμακας ή ίσως λόγω εξελικτικού και διανοητικού επιπέδου μέσα σε κάποια κοσμική ιεραρχία αισθήσεων και πνεύματος, να αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο με σαφή και καθορισμένο τρόπο. Όλα τα πράγματα του καθημερινού μας περιβάλλοντος, καθώς κι εμείς οι ίδιοι, έχουνε σαφείς διαστάσεις και καθορισμένα όρια. Αυτή η διαπίστωση και συνάμα πεποίθηση ονομάζεται ντετερμινισμός. Ως εκ τούτου αποδίδουμε και σε όλα τα φαινόμενα της φύσης τις ίδιες μ' εμάς ιδιότητες.

Στη φυσική μιλάμε για την έννοια του υλικού σημείου: Μια υπεραπλούστευση μαζί κι εξιδανίκευση για να περιγράψουμε τη θέση και την κατάσταση (κίνηση) ενός υλικού αντικειμένου μέσα στο χώρο και στο χρόνο. Κατ' αυτόν όμως τον τρόπο είναι σαν να προσπαθούμε να διαβάσουμε ένα κείμενο παρακολουθώντας τις απειροστές κηλίδες του μελανιού που έπεσαν πάνω στου χαρτιού την επιφάνεια. Σήμερα μάθαμε μια πολύτιμη λέξη, την οποιαδήποτε λέξη, όσο ασήμαντη κι αν ήτανε από ένα γιγαντιαίο κείμενο του οποίου το νόημα μας διαφεύγει τελείως...

Εκτός από το 'λίθινο' τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο (ό,τι είναι διάφανο θα είναι καθρέφτης), ένα ακόμη θεμελιώδες χαρακτηριστικό της σκέψης μας είναι ο γραμμικός τρόπος με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο. Αυτό σημαίνει αιτιότητα: Αν κάτι συμβεί θα πρέπει κάτι άλλο να το προκάλεσε, το οποίο με τη σειρά του παράχθηκε από κάτι άλλο, σε μίαν ατέρμονη αλυσίδα αιτίας- αποτελέσματος. Αλήθεια, σας έχει συμβεί κάτι χωρίς να υπάρξει καμία απολύτως αιτία; Σύμφωνα με αυτόν το γραμμικό- αιτιακό τρόπο σκέψης, το σύμπαν ξεκίνησε από ένα υλικό σημείο- μοναδικότητα (άπειρης μάζας) και αυτό το σημείο επεκτάθηκε για να φτιάξει το πρώτο άτομο του σύμπαντος, στη συνέχεια να δημιουργηθεί το πρώτο αστέρι, μετά κι άλλα αστέρια και τέλος να εμφανιστεί ο πρώτος άνθρωπος, ο οποίος έκοψε ένα κομμάτι του για να φτιάξει ένα ταίρι κι από αυτό το ζευγάρι να φτιαχτούν όλοι οι υπόλοιποι άνθρωποι. Σας θυμίζει θρησκεία; Εμένα θυμίζει εξελικτική ανθρωπολογία. Αυτοί οι σοφοί άνθρωποι (γνήσιοι απόγονοι του Homo Sapiens) βρήκαν και την Εύα από την οποία με παρθενογένεση θα προήλθε η ανθρωπότητα...

Στενά συνδεδεμένη με την αιτιακή αλυσίδα είναι και η τοπικότητα. Εξού και το υλικό σημείο. Το κάθε πράγμα έχει μία σαφή και καθορισμένη περιοχή, έτσι ώστε θα πρέπει πάντα να υπάρχει ένας τρόπος επικοινωνίας με όλα τα υπόλοιπα πράγματα και να κυλήσει ο χρόνος. Κάποτε επικοινωνούσαμε με ταχυδρομικές άμαξες, τώρα με ηλεκτρομαγνητικά σήματα. Σε κάθε περίπτωση η ταχύτητα της επικοινωνίας δεν μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός. Αυτό είναι η τοπικότητα. Αύριο, μεθαύριο, που θα επικοινωνούμε με άλλης μορφής σήματα, η ταχύτητα της επικοινωνίας δε θα μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα μετάδοσης εκείνων των σημάτων. Αν εκείνα τα σήματα είναι γκραβιτόνια, τα οποία προς το παρόν δεν έχουν ανακαλυφτεί, η ταχύτητα της επικοινωνίας μάλλον θα είναι ακαριαία, καθώς τα γκραβιτόνια, όπως προβλέπεται, δεν έχουν μάζα. Αν είναι ταχυόνια (ταχύτητες μεγαλύτερες από το φως) θα μπορούμε να επικοινωνούμε και με το παρελθόν μας, καθώς και το μέλλον μας. Όμως πώς θα σας φαινόταν η ιδέα να πατήσετε ένα κουμπί και να δημιουργηθούν αυτόματα όλα τα αστέρια του σύμπαντος, μαζί με όλες τις δυνατές φυσικές διαδικασίες; Το μόνο που θα απέμενε σ' αυτήν την περίπτωση θα ήταν ο χώρος κι ο χρόνος...

Έτσι λοιπόν έχουμε τα βουνά μας ακίνητα και τα ποτάμια μας να τρέχουν. Πέραν όμως της περιορισμένης αντίληψης με την οποία κατανοούμε τον κόσμο, θα πρέπει να προσθέσουμε και την ίδια τη σημασία που αποδίδουμε στα πράγματα που μας περιστοιχίζουνε, στους άλλους ανθρώπους και στον εαυτό μας. Θεωρούμε πως τα πάντα μας ανήκουν. Πως το σύμπαν ήταν προγραμματισμένο να μας δημιουργήσει (ανθρωπική αρχή), ίσως για να αναλάβουμε εμείς τις τύχες του στα χέρια μας. Εξαντλήσαμε τους φυσικούς πόρους και ύστερα εντατικοποιήσαμε την παραγωγή στο όνομα κάποιας ανάπτυξης εκμεταλλευόμενοι άλλους ανθρώπους. Είπαμε μάλιστα ότι αυτή είναι η στρατηγική του σύμπαντος και κάναμε το αυξάνεστε και πληθύνεστε ή το διαίρει και βασίλευε δόγμα του κόσμου. Άραγε κάποτε το σύμπαν θα συσταλεί ή θα συνεχίσει να επεκτείνεται για πάντα; Τι υστερόβουλη θεώρηση θεέ μου...


Στον πίνακα του post ο Dali υπονοεί ακριβώς την άποψη. Ένα γυναικείο παπούτσι τραβηγμένο από τα δόντια ενός κανίβαλου. Υπόψιν ότι 'κανίβαλος' σημαίνει αυτός που τρώει σάρκα, 'κρέας'. Αυτή είναι ακριβώς η θεώρηση του σύγχρονου ανθρώπου για τα πράγματα. Τα πράγματα δηλαδή αποτελούνται από 'σάρκα', γενικότερα ύλη, ώστε να μπορούμε να τα πιάσουμε και να τα μεταχειριστούμε. Αν βεβαίως είναι ζωντανά, τότε μπορούμε και να παίξουμε μαζί τους. Η άποψή μας δηλαδή για τον κόσμο και την υφή του δεν ξεπέρασε ποτέ τη χρησιμοθηρική μας θεώρηση γι' αυτόν. Σκεφτείτε το: Ακόμη και η πειραματική φυσική διέπεται από αυτό το δόγμα. Αν ένα πείραμα δεν επιφέρει αποτελέσματα, παύει να υφίσταται και το αντικείμενο της αρχικής υπόθεσης. Αν δεν είναι επαναλήψιμο, παύει να υπάρχει το υπό θεώρηση φυσικό φαινόμενο. Ο Dali πάντως δεν απέριψε αυτόν τον ωφελιμιστικό τρόπο σκέψης, αν και μάλλον τον αμφισβήτησε. Άλλωστε η ίδια η φύση φαίνεται να έχει την διάθεση να γίνεται χαλί να την πατήσουμε. Εκτός βέβαια κι αν κάποτε αποφασίσουμε ότι είναι προτιμότερο να την αφήσουμε στην ησυχία της.

Πίνακας: Cannibalism of objects, Dali, 1937

9/19/08

O Gödel και το θεώρημα της μη πληρότητας




"Κάποιοι δεν μπορούν να πουν την αλήθεια, άλλοι δεν μπορούν να πουν ψέματα, αλλά κανείς απ' ότι φαίνεται δεν ξέρει τη διαφορά."

Φανταστείτε ότι φτιάχνετε ένα πρόγραμμα για υπολογιστή στο οποίο περιλαμβάνετε την ακόλουθη πρόταση:"Αυτή η πρόταση είναι ψευδής".Ύστερα ρωτάτε τον υπολογιστή να σας απαντήσει αν η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή ή λάθος.Αν ο υπολογιστής απαντήσει 'σωστό', τότε η πρόταση είναι ψευδής. Αν απαντήσει 'λάθος', τότε η πρόταση είναι αληθής.Ο υπολογιστής θα πέσει σ' έναν ατέρμονο βρόγχο (loop), από τον οποίο δεν θα καταφέρει να βγει παρά μόνο με black- out! Το προηγούμενο παράδοξο ονομάζεται 'παράδοξο του ψεύτη' (liar paradox). Σαν κάποιος (εικόνα του post) να μας λέει με .... απόλυτη ειλικρίνεια: 'Μην πιστεύεις τίποτε απ' ό,τι σου λέω!'.

Υπάρχουν παραλλαγές του παραδόξου όπως οι προτάσεις: 'Η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή', 'η επόμενη είναι λάθος', κοκ. Η βασική αρχή πάντως που παραβιάζεται σε κάθε περίπτωση είναι η συνέπεια (consistency). Κάθε λογική μας πρόταση θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από συνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστή και λάθος, συντακτικά και νοηματικά. Αυτή είναι και η βασική αρχή της επαγωγικής λογικής. Αυτό θα μπορούσε κάποιος αμέσως να σκεφτεί στην προηγούμενη ερώτηση: "Ποια ερώτηση;". Θα χρειαζόταν δηλαδή κάποια επιπλέον πρόταση, η οποία δεν περιέχεται στην προηγούμενη πρότασή μας.



Ο Gödel ήταν αυτός που επεξέτεινε το παραπάνω παράδοξο για να δείξει ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί ποτέ μια 'τέλεια μηχανή της αλήθειας', γιατί ακριβώς δε θα μπορούσε να απαντήσει αν η πρόταση: "Δεν θα πεις ποτέ ότι αυτή η πρόταση είναι αληθής", είναι αληθής ή ψευδής. Κατάφερε μάλιστα να μαθηματικοποιήσει το παραπάνω παράδοξο, στο θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο απλά λέει ότι σε κάθε σύστημα υπάρχει πάντοτε μία παραδοχή η οποία είναι αληθής, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα. Σε συντομία, για κάθε θεωρία Τ υπάρχει η αντίστοιχη πρόταση G που λέει "Η πρόταση G δεν μπορεί να απαντηθεί μέσα από τη θεωρία Τ." Αν η G ήταν αποδείξιμη με τα αξιώματα της Τ και τους επαγωγικούς κανόνες, τότε η Τ θα είχε ένα θεώρημα G, πράγμα που ακυρώνει την αρχική υπόθεση, πράγμα που αποτελεί αντίφαση και επομένως η θεωρία Τ θα ήταν ασυνεπής. Αν η θεωρία Τ είναι συνεπής, τότε η πρόταση G δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από τη θεωρία, οπότε η θεωρία Τ είναι ατελής (μη πλήρης).



Το βασικό χαρακτηριστικό του προηγούμενου παραδόξου και του θεωρήματος της μη πληρότητας του Gödel είναι η λεγόμενη 'αυτοαναφορά' (self-reference), μία πρόταση δηλαδή που αναφέρεται κατευθείαν στον εαυτό της. Σκεφτείτε για παράδειγμα την παραδοχή: "Είμαι όμορφος". Μόλις είπα κάτι που ούτε μπορεί να αποδειχτεί, ούτε ίσως έχει νόημα για τον κόσμο. Κατά τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα του Gödel μας λέει ότι υπάρχουν παραδοχές οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν με τα αξιώματα του (ίδιου) συστήματος, γιατί αναφέρονται ακριβώς σε αυτά τα αξιώματα των οποίων αποτελούν λογική συνέπεια.

Υπάρχει κι άλλο ένα σημαντικό στοιχείο στο οποίο πρέπει να σταθούμε. Η έννοια της αλήθειας. Πώς μπορούμε να δεχόμαστε κάτι ως αληθινό αν δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι αληθινό; Υπάρχει και μία 'θεωρία της αλήθειας' (Redundancy theory of truth) που λέει ότι η αλήθεια είναι μία περίφραση, ένας πλεονασμός, καθώς πρόκειται για μια λέξη που αναφέρεται σε κάποιο συγκεκριμένο περιεχόμενο, στα ίδια της τα αξιώματα θα λέγαμε, παρά σε κάτι το πραγματικό. Ο Θεός, η ύπαρξή μας, η ζωή μετά θάνατο, είναι συνηθισμένες καθημερινές μας 'αλήθειες', που ισχύουν έστω κι αν δεν μπορούν να αποδειχθούν με στοιχεία από τον πραγματικό κόσμο.




Το θεώρημα (δύο θεωρήματα στην πραγματικότητα) της μη πληρότητας του Gödel, είναι θεώρημα της μαθηματικής λογικής. Εντούτοις θα μπορούσαμε να το γενικεύσουμε σε όλους τους τομείς της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Πολλές φορές η σκέψη μας οδηγείται σε παράδοξα και άτοπα, χωρίς να φαίνεται να υπάρχει κάποιο 'λογικό σφάλμα.' Δεχόμαστε αξιώματα ως προσωπικές ή 'αντικειμενικές' αλήθειες, οι οποίες και είναι αυτονόητες, δηλαδή δεν μπορούν ούτε και έχει νόημα να αποδειχθούν. Επίσης, η σύγχρονη φυσική ψάχνει τη μεγάλη ενοποιημένη θεωρία των πάντων. Αν δεχτούμε όμως ότι το θεώρημα του Gödel επεκτείνεται και στο χώρο της φυσικής, τότε οι προσπάθειές μας για αυτήν την ενοποίηση και την πλήρωση της ανθρώπινης γνώσης είναι ουτοπικές...

Παραπομπές:
Υπάρχει κι ένα φιλοσοφικό δοκίμιο Minds, Machines and Gödel του J. R. Lucas, 1959, στο οποίο δείχνει ότι ένας άνθρωπος μαθηματικός δεν μπορεί να ταυτιστεί μ' ένα αλγοριθμικό αυτόματο, γιατί σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel θα υπάρχει κάποια μαθηματική υπόθεση που δε θα μπορεί από μία μηχανή να αποδειχτεί, αλλά την οποία ο άνθρωπος μαθηματικός θα βλέπει και θα υποδεικνύει ως σωστή.

9/14/08

Θεώρημα Bell- Μια λογική δίχως τόπο


Κατά τη διάρκεια του 20αι, η κβαντική θεωρία υπήρξε τόσο επιτυχημένη, ώστε ο Bohr, ένας από τους πρωτοστάτες της, να πει πως επρόκειτο για μία θεωρία πλήρη. Βέβαια το ίδιο είχαν πει οι επιστήμονες πριν την κβαντική φυσική, η οποία ήρθε να τους διαψεύσει. Φαντάζομαι ότι στον 21αι θα υπάρξει μία άλλη θεωρία που θα έρθει να διαψεύσει την κβαντική φυσική. Πολύ φοβάμαι δηλαδή πως κάτι διαρκώς θα μας διαφεύγει, χωρίς ποτέ να μάθουμε τι είναι αυτό.


Πάντως, για να μη φτάσουμε τόσο μακριά, θα κάνουμε μία σύντομη αναδρομή στην ιστορία μίας ανακάλυψης, η οποία καθώς φαίνεται έμελε να ταράξει τις αντιλήψεις μας για το χώρο (άρα και το χρόνο) και γενικότερα για το πώς η φύση δουλεύει. Η κβαντομηχανική είναι πράγματι μια παράξενη θεωρία. Εντούτοις όλη της η παραξενιά φαίνεται ότι εδρεύει στη φύση, καθώς η κβαντομηχανική είναι μία πειραματικά τεκμηριωμένη θεωρία. Ο Einstein (ο τελευταίος μεγάλος 'κλασσικός'), ποτέ δε χώνεψε την κβαντομηχανική. Ο ίδιος είχε πει ότι ο Θεός δεν παίζει ζάρια. Ας δούμε όμως την ιστορία από την αρχή.


Σύμφωνα με τις βασικές αρχές της κβαντομηχανικής (κατά την επικρατούσα ερμηνεία της Κοπεγχάγης), κάθε φυσικό σύστημα (ουσιαστικά το οτιδήποτε) εκφράζεται μέσω της περίφημης κυματοσυνάρτησης. Ωστόσο το υπό μελέτη σύστημα πριν να το μετρήσουμε βρίσκεται σε μία κατάσταση υπέρθεσης. Δεν ξέρουμε δηλαδή σε τι κατάσταση βρίσκεται το σύστημα ούτε καν πού βρίσκεται κι αν είναι κάπου, αν δεν το μετρήσουμε. Τη στιγμή της μέτρησης συμβαίνει η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης, το σύστημα δηλαδή 'αιχμαλωτίζεται' από τη μέτρησή μας κι εκείνη τη στιγμή μας αποκαλύπτει τη φύση και την ταυτότητά του. Το σύστημα δηλαδή έρχεται σε μία φάση 'αποσύνδεσης' με αποτέλεσμα την φανέρωσή του στο φυσικό, πραγματικό κόσμο. Αυτή ακριβώς η απροσδιοριστία ενός φυσικού συστήματος πριν την παρατήρηση ήταν που ξένιζε τον Einstein, ο οποίος θεωρούσε πως τα πράγματα έχουν ιδιότητες πριν ακόμη τα μετρήσουμε. Αυτή άλλωστε είναι και η βασική παραδοχή του ρεαλισμού. Έτσι λοιπόν, μαζί με τους Podolski και Rosen, το 1935, κατασκεύασε ένα νοητικό πείραμα για να καταρρίψει την κβαντομηχανική ερμηνεία του κόσμου. Αυτό το πείραμα, το οποίο ονομάστηκε και παράδοξο EPR (από τα αρχικά των τριών προαναφερθέντων), και όπως το παρουσίασε απλοποιημένα ο Bohm, έχει ως εξής:





Έχουμε μια πηγή, όπως φαίνεται στο σχήμα, η οποία εκπέμπει ηλεκτρόνια σε ζεύγη. Το ένα ηλεκτρόνιο του ζευγαριού φεύγει προς τα αριστερά (Alice) και το άλλο προς τα δεξιά (Bob). Τα δύο ηλεκτρόνια εκπέμπονται από την πηγή, ώστε να είναι συζευγμένα. Ανήκουν δηλαδή σ' ένα σύστημα δύο πραγμάτων και υπόκεινται στους νόμους διατήρησης της ορμής, της στροφορμής (spin) κοκ. Αυτό σημαίνει πως αν το ηλεκτρόνιο Α (που μετράει η Alice) έχει spin 'πάνω', το άλλο η ηλεκτρόνιο Β (που μετράει ο Bob) θα έχει υποχρεωτικά spin 'κάτω'. Σύμφωνα όμως με την κβαντομηχανική, πριν γίνει η μέτρηση από τον ένα παρατηρητή ή τον άλλο, τα δύο ηλεκτρόνια βρίσκονται σε μία κατάσταση υπέρθεσης (σαν να λέμε ότι χορεύουν σαν τρελά έτσι ώστε κάποιος να μην μπορεί να προσδιορίσει το spin τους). Μόνο τη στιγμή της μέτρησης αποσαφηνίζεται η κατάσταση, όταν η κυματοσυνάρτηση καταρρέει (και των δύο ηλεκτρονίων και για τους δύο παρατηρητές). Αυτό ακριβώς είναι το επιχείρημα του Einstein: Αν η μέτρηση της Alice προκαλέσει την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης του συστήματος και πάρει π.χ. την τιμή spin 'πάνω', τότε αυτομάτως ο Bob θα έχει πάρει την τιμή spin 'κάτω'. Σύμφωνα όμως με τη σχετικότητα του Einstein τίποτε δεν μπορεί να διαδοθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη του φωτός. Πώς λοιπόν τα δύο ηλεκτρόνια ξέρουν το ένα τι κάνει το άλλο ακαριαία; Αυτό ακριβώς το παράδοξο ο Einstein ονόμασε 'στοιχειωμένη δράση από απόσταση' (spooky action at a distance).

Πριν προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα, όπου και θα δούμε τη θεωρητική και πειραματική διάψευση του παραδόξου, θα πρέπει να τονίσουμε δύο σημεία: Η κβαντομηχανική 'έτριξε' τα θεμέλια δύο πυλώνων της σύγχρονης σκέψης. Ο ένας πυλώνας είναι ο ρεαλισμός, ότι δηλαδή τα πράγματα έχουν εκ των προτέρων κάποιες ιδιότητες, τις οποίες και επαληθεύουμε με την παρατήρηση. Ο άλλος πυλώνας είναι η τοπικότητα, ότι δηλαδή ένα γεγονός που συμβαίνει 'εδώ' δεν μπορεί να επηρεάσει ακαριαία ένα άλλο γεγονός που συμβαίνει κάπου αλλού. Θα πέρναγαν λοιπόν γύρω στα τριάντα χρόνια από την εποχή διατύπωσης του παραδόξου, ώσπου να καταρριφτεί. Γι' αυτό φρόντισε ο Bell με την φερώνυμη ανισότητα. Θα προχωρήσω στη διατύπωση της ανισότητας όπως τη διατύπωσε ο ίδιος, και θα δώσω μίαν απλή εξήγηση (χωρίς να είμαι ο ειδικότερος στη θεωρία των πιθανοτήτων). Η ανισότητα είναι η εξής:




Η ανισότητα αυτή λέει ότι σε ένα στατιστικό σύνολο (πραγμάτων), αν μια ομάδα έχει την ιδιότητα Α και δεν έχει την ιδιότητα Β, μία άλλη ομάδα έχει την ιδιότητα Β και όχι την ιδιότητα C, τότε το πλήθος των δύο ομάδων θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το πλήθος μίας τρίτης ομάδας που έχει την ιδιότητα Α και όχι την C. Στο προηγούμενο παράδειγμα με το spin των ηλεκτρονίων, μπορούμε να αποδώσουμε στα δύο ηλεκτρόνια τιμές του spin π.χ. 'πάνω', 'κάτω', γωνία 45 μοίρες, ως τις ιδιότητες Α, Β και C. Αν υπολογίζουμε τις πιθανότητες (τα ποσοστά κάθε ομάδας) όπως προβλέπει η κβαντομηχανική, θα δούμε ότι η ανισότητα του Bell παραβιάζεται. Εφόσον όμως παραβιάζεται, αν οι ομάδες (τα ηλεκτρόνια του παραδείγματός μας) είχαν προκαθορισμένες ιδιότητες, τότε θα έπρεπε να αλληλεπιδράσουν ακαριαία ώστε να αλλάξουν τις τιμές τους. Επομένως η τοπικότητα (ότι τίποτε δε διαδίδεται με ταχύτητα μεγαλύτερη του φωτός) αίρεται. Ο ίδιος ο Bell διατύπωσε σχετικά:

"Καμία θεωρία τοπικών κρυφών μεταβλητών μπορεί να αναπαράγει όλες τις προβλέψεις της κβαντομηχανικής".

(κρυφές μεταβλητές είναι οι προκαθορισμένες ιδιότητες των πραγμάτων, άγνωστες στην προκειμένη περίπτωση, τοπικές γιατί αλληλεπιδρούν με το φράγμα της ταχύτητας του φωτός).

Σχετικά με το EPR παράδοξο, τις ανισότητες του Bell, την κβαντική σύζευξη και τις συνέπειες δίνω παραπομπές στο τέλος. Από εκεί και ύστερα, η πρόβλεψη της κβαντομηχανικής και η ανισότητα του Bell έχουν ήδη επαληθευτεί πειραματικά (πιο γνωστό πείραμα ήταν του Aspect και των συνεργατών του, μετρώντας πόλωση φωτονίων). Το φαινόμενο δηλαδή που ο Einstein προέβλεψε, υπάρχει και ονομάζεται πλέον κβαντική σύζευξη. Ο Schrodinger, πατέρας της κυματοσυνάρτησης, ονόμασε το φαινόμενο της κβαντικής σύζευξης την απαρχή μίας νέας σκέψης. Γιατί τα πράγματα όχι μόνο δεν έχουν ιδιότητες πριν να τα παρατηρήσουμε αλλά κι αν έχουν μπορούν να τις διαδίδουν ακαριαία. Η κβαντική σύζευξη χρησιμοποιείται ήδη στην κβαντική πληροφορική και ποιος ξέρει πού ακόμη στο μέλλον.

Προτάθηκαν αρκετές θεωρίες για να ερμηνευτεί το φαινόμενο. Μία θεωρία λέει πως το παράδοξο προκύπτει από τις ίδιες μας τις παραδοχές και τον τρόπο που κάνουμε πειράματα. Αυτό πάντως το γεγονός δεν ακυρώνει το ίδιο το φαινόμενο, ίσως μόνο το μεταθέτει ως προς τις λεπτομέρειες. Μία άλλη θεωρία, διατηρεί το ρεαλισμό, ότι υπάρχει κάποια κρυφή μεταβλητή- άγνωστη ιδιότητα, την οποία τα δύο συζευγμένα σωματίδια μπορούν να αλληλομεταδίδουν κατά κάποιον τρόπο ακαριαία Η πιο γνωστή θεωρία αυτής της κατηγορίας είναι του Bohm, ο οποίος θεωρεί την ύπαρξη κάποιου κβαντικού δυναμικού, μέσω του οποίου γίνεται (ακαριαία πάντα) η αλληλεπίδραση. Οι αντίπαλοι αυτής της προοπτικής λένε πως αν η αλληλεπίδραση γίνεται πράγματι ακαριαία, μία επιπλέον παράμετρος μάλλον περιπλέκει τα πράγματα παρά λύνει το πρόβλημα.

Τι συμβαίνει λοιπόν μ' αυτήν τη 'στοιχειωμένη δράση από απόσταση'; Πώς μπορούν δύο πράγματα να αλληλεπιδράσουν ακαριαία; Τώρα βέβαια κάποιος μπορεί να πει και γιατί όχι; Γιατί απλούστατα, όταν κάτι γίνεται ακαριαία, ταυτόχρονα, δεν υπάρχει αλληλεπίδραση. Αφού δηλαδή σιγά- σιγά αρχίσουμε να εγκαταλείπουμε τις παγιωμένες μας απόψεις για το τι είναι η πραγματικότητα (αυτό τουλάχιστον που νομίζαμε ότι είναι) και το τι είναι ο χώρος και πού βρίσκονται τα πράγματα μέσα σ' αυτόν, θεωρώ πλέον ότι θα φτάσουμε κοντά σε μία νέα, άγνωστη μέχρι τώρα, λειτουργία της φύσης, όπου δύο ή περισσότερα πράγματα συμβαίνουν ταυτόχρονα, χωρίς κάποια μεταξύ τους αλληλεπίδραση (σύνδεση αιτιακή). Για τη συγχρονικότητα έχω γράψει και αλλού. Προσωπικά πιστεύω πως η κβαντική σύζευξη, ανοίγει την πόρτα στην επιστήμη προς αυτήν την κατεύθυνση.


ΥΣ. Πίνακας του post: Η θάλασσα μου ενέπνεε πάντοτε κάτι το μαγικό. Μπορούμε να φανταστούμε όλο το σύμπαν να πλημμυρίζεται από μια θάλασσα αθέατη στις αισθήσεις και προς το παρόν ανεπαίσθητη στα όργανά μας. Αν ζούμε μέσα σε αυτήν τη 'θάλασσα' και συμπαρασυρόμαστε μαζι της, τότε θα είναι ακόμη πιο δύσκολο να την ανιχνεύσουμε, γιατί θα έπρεπε να βγούμε έξω από αυτήν, στην προκειμένη περίπτωση έξω από το σύμπαν, για να την παρατηρήσουμε. Βέβαια η θεώρηση ενός τέτοιου κοσμικού ωκεανού θα προϋπέθετε μια θεωρία 'κρυφής μεταβλητής'. Επομένως συντάσσομαι στο πλευρό των Bohm, Pauli, Joung. Θεωρώ επίσης ότι ο κύριος μηχανισμός με τον οποίο δουλεύει η φύση είναι η συγχρονικότητα. Η αιτιότητα (σχέση αίτιου- αποτελέσματος) πιστεύω ότι είναι δευτερογενής. Πιστεύω επίσης ότι οι ζωές μας είναι σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό προκαθορισμένες απ' όσο νομίζουμε και ότι στηρίζονται, όπως όλα τα πράγματα του σύμπαντος, σε αναλλοίωτα, διαχρονικά πρότυπα- αρχέτυπα. Και όλα αυτά δεν έχουν να κάνουν με αστρολογία ή παραψυχολογία. Έχουν να κάνουν με καθαρή θετική επιστήμη και σκέψη.

Παραπομπές:


9/8/08

Η Αρχή του Mach- Τα υποκειμενικά χαρακτηριστικά της κίνησης

'Quantum Plenum'

"Γεμίστε ένα κουβά με νερό, πιάστε τον από το χερούλι και περιστρέψτε τον πάνω από το κεφάλι σας. Αν το κάνετε σωστά θα παραμείνετε στεγνοί. Μια μυστηριώδης δύναμη μοιάζει να κρατάει το νερό μέσα στον αναποδογυρισμένο κουβά. Οι επιστήμονες είναι ακόμη αβέβαιοι για την προέλευση αυτής της δύναμης."

Η δύναμη αυτή ονομάζεται φυγόκεντρη, και με αυτά τα λόγια ο Paul Davis περιγράφει το νοητικό πείραμα του Newton με τον ‘κουβά.’ Ο Νεύτωνας πίστευε πως η αδράνεια είναι εγγενής ιδιότητα της ύλης κι εκδηλώνεται όποτε η ύλη επιταχύνεται, σχετικά με τον απόλυτο χώρο. Μπορούμε να σκεφτούμε τον χώρο γύρω από το επιταχυνόμενο σώμα σαν να αντιδράει ώστε να παράγει αδρανειακές δυνάμεις (π.χ. τη φυγόκεντρη δύναμη του παραπάνω παραδείγματος). Ο Newton το νοητικό του πείραμα το περιέγραψε ως εξής:

Έστω ένας κουβάς με νερό κρεμασμένος από ένα μακρύ σκοινί, ενώ γυρνάμε τον κουβά έτσι ώστε το σκοινί να τυλιχτεί γερά. Ύστερα, αφού αφήσουμε τον κουβά, το σκοινί ξετυλίγεται στην αντίθετη φορά. Η επιφάνεια του νερού στην αρχή θα είναι επίπεδη, όπως όταν ο κουβάς ήταν ακίνητος. Αλλά καθώς ο κουβάς μεταδίδει σιγά- σιγά την κίνησή του στο νερό, θα το κάνει να περιστρέφεται αισθητά, και να ανεβαίνει προς τα τοιχώματα του κουβά, αποκτώντας έτσι μια κοίλη επιφάνεια. Αυτή η συμπεριφορά του νερού δείχνει την τάση του να απομακρύνεται από τον άξονα περιστροφής και δεν εξαρτάται από την σχετική κίνησή του ως προς άλλα σώματα. [1]

Αυτή η έννοια του απόλυτου χώρου αμφισβητήθηκε τόσο από τον ‘μεγάλο αντίπαλο’ του Newton της ίδια εποχής, Leibnitz, όσο και από τους μεταγενέστερους Berkely και Mach. Αυτός ο τελευταίος, διατύπωσε και την ‘αρχή του Mach,’ παρότι η ονομασία δόθηκε από τον Einstein, το 1918. Σε ό,τι αφορά το νοητικό πείραμα του Newton με το κουβά, ο Mach αντέτεινε πως ο κουβάς θα πρέπει να περιστρέφεται σε σχέση με κάτι αλλιώς πώς θα μπορούσε κάποιος να πει ότι περιστρέφεται; Σύμφωνα με τα δικά του λόγια:

Η συμπεριφορά των υλικών σωμάτων σε σχέση με τη γη ανάγεται στη συμπεριφορά της γης σε σχέση με τα ουράνια σώματα. Αν λέγαμε ότι μπορούμε να ερμηνεύσουμε καλύτερα τη συμπεριφορά τους με διαφορετικό τρόπο, θα κάναμε λάθος. Όταν, επομένως, λέμε ότι ένα σώμα διατηρεί αναλλοίωτη την κατεύθυνση και την ταχύτητά του στο χώρο, η θεώρησή μας είναι λίγο- πολύ μια αναφορά σε ολόκληρο το σύμπαν. Αυτή η θεώρηση δείχνει ότι δεν είναι απαραίτητο ο νόμος της αδράνειας να αναφέρεται σε έναν απόλυτο χώρο.[2]

Αυτό δηλαδή που πρότεινε ο Mach είναι ότι τα μακρινά αστέρια θα είναι και υπαίτια για την επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε σχέση με αυτά. Εξού και η αρχή του Mach: “Η μάζα εκεί προκαλεί την αδράνεια εδώ”.

Ο Einstein έδωσε ιδιαίτερη βαρύτητα στις απόψεις του Mach περί σχετικότητας της κίνησης (η ειδική θεωρία της σχετικότητας πιστεύεται ότι είναι μία εφαρμογή της ‘αρχής του Mach’). Μάλιστα, σ’ ένα γράμμα του προς τον Mach, του είπε τα εξής:

"Φαίνεται ότι η αδράνεια οφείλεται σ’ ένα είδος αλληλεπίδρασης μεταξύ σωμάτων, σύμφωνα με τις σκέψεις σας πάνω στο πείραμα του Νεύτωνα με τον κουβά... Αν κάποιος θέσει σε περιστροφή ένα βαρύ κέλυφος ύλης σχετικά με τα ακίνητα άστρα γύρω από έναν άξονα που περνάει από το κέντρο του, μία δύναμη Coriolis θα αναπτυχτεί στο εσωτερικό του κελύφους." [3]

Η προηγούμενη διαπίστωση του Einstein είναι γνωστή ως το φαινόμενο των Lense-Thirring (Lense-Thirring effect). Προβλέπει ότι η περιστροφή ενός κέλυφους (σφαιρική κατασκευή) θα συμπαρασύρει στην κίνησή του ένα αντικείμενο τοποθετημένο μέσα στο κέλυφος (εννοείται χωρίς να εφάπτονται μεταξύ τους τα δύο αντικείμενα). Με άλλα λόγια, το κέλυφος θα προκαλέσει μια μετατόπιση του συστήματος αναφοράς του κελύφους σε σχέση με το υπόβαθρο, (τ’ αστέρια ή το έδαφος) εξού και η εναλλακτική ονομασία του φαινομένου ‘frame- drugging effect.’

Το φαινόμενο των Lense-Thirring παραμένει να επαληθευτεί, αφού οι μετρήσιμες επιπτώσεις του είναι ανεπαίσθητες, Επίσης, σε όλη την προηγούμενη συζήτηση θεωρήσαμε ότι η αλληλεπίδραση των αντικειμένων με τα ‘μακρινά αστέρια’ γίνεται ακαριαία. Πώς προφταίνει η δράση μακρινών αντικειμένων να προκαλέσει την αδράνεια των σωμάτων την ίδια χρονική στιγμή; Ίσως τελικά η εξήγηση να έρχεται όχι από τα μακρινά αστέρια, αλλά από τα αθέατα σωματίδια που υπάρχουν μέσα στον κοντινό μας ελεύθερο χώρο, και τα οποία θα μπορούσαν να αφήσουν μετρήσιμα χνάρια. Τη δεκαετία του 1970, ο Unruh, διαπίστωσε πως ένας επιταχυνόμενος παρατηρητής μέσα στον απόλυτο χώρο (κβαντικό κενό) θα αντιληφτεί να κατακλύζεται από ένα λουτρό θερμικής ακτινοβολίας, δημιουργούμενη από το πλήθος των σωματιδίων που κατοικούν εκεί (ένα φαινόμενο ανάλογο με τον αέρα που μας ‘χτυπάει’ καθώς κινούμαστε με το αυτοκίνητο).

Στη συνέχεια, ο Haisch μαζί με τους Puthoff και Rueda, χρησιμοποίησαν την ιδέα του ‘κβαντικού αφρού’ που διαπερνά όλο το χώρο ώστε να εξηγήσουν την προέλευση της αδράνειας. Μάλιστα, υπολόγισαν το αποτέλεσμα για την περίπτωση ενός ηλεκτρικά φορτισμένου σώματος και διαπίστωσαν ότι πάνω στο σώμα, καθώς αυτό κινείται, ασκείται μια δύναμη αντίστασης ανάλογη με την επιτάχυνσή του, όπου, προφανώς, ο συντελεστής αναλογίας θα είναι η μάζα του σώματος.

Αν ο παραπάνω ισχυρισμός είναι ακριβής, τότε έχουμε μια σαφή περιγραφή της αδράνειας και του πώς η μάζα αποδίδεται στα σώματα, όχι ‘εξ αποστάσεως,’ αλλά χάρη στο γειτονικό του περιβάλλον. Πράγματι, ακόμη κι αν το ‘κβαντικό κενό’ δεν υφίσταται ή αν δεν έχει τόση σημασία σε σχέση με την αδράνεια των σωμάτων, και πάλι τα βαρυτικά πεδία με τα οποία αλληλεπιδρά ένα σώμα βρίσκονται στην περιοχή του σώματος, αλλιώς το σώμα δεν μπορεί να αλληλεπιδράσει μαζί τους. Σε κάθε περίπτωση πάντως, θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας το εξής: Αυτό που εμείς παρατηρούμε και κατανοούμε για τον κόσμο δεν ταυτίζεται απαραίτητα με αυτό που παρατηρεί και αντιλαμβάνεται κάποιος άλλος. Αν εμείς, λόγου χάρη, χορεύουμε περιστρεφόμενοι κάτω από τον νυχτερινό ουρανό και βλέπουμε τ’ αστέρια να περιστρέφονται, αυτό δεν σημαίνει ότι και κάποιος άλλος που δεν χορεύει βλέπει τα αστέρια να περιστρέφονται ούτε και νιώθει τη ζαλάδα που εμείς αιστανόμαστε!

==========================
Τα κείμενα των Newton και Mach αποδόθηκαν (στα Ελληνικά από εμένα) ελεύθερα επειδή αφενός είναι, σε κάποια σημεία τουλάχιστον, αρκετά σκιώδη και διφορούμενα, και αφετέρου οι διάφορες φυσικές έννοιες, που εμπεριέχονται σε αυτά, αποκλίνουν σημαντικά από τις αντίστοιχες σημερινές.

9/5/08

Φράκταλ σύμπαν


''Ακόμη και τα φαινομενικά πράγματα έχουν ένα πραγματικό αντίκτυπο στον κόσμο''.


Άμα κοιτάξουμε από πολύ κοντά το οποιοδήποτε καθημερινό αντικείμενο, τότε και η παραμικρή του κίνηση θα μας φανεί ότι γίνεται πάρα πολύ γρήγορα. Εάν από την άλλη μεριά, κοιτάξουμε μακριά στον ουρανό, τ’ αστέρια, όπως και οποιοδήποτε μακρινό αντικείμενο, θα μας φανούν σαν να είναι ακίνητα.


Η σχετικότητα του Einstein αναφέρει πως η κίνηση (αδρανειακών συστημάτων) είναι υποκειμενική (σχετική) και εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Στη σχετικότητα απόλυτος δεν είναι ούτε ο χώρος ούτε ο χρόνος, επομένως και η κίνηση, υπάρχει όμως ένας παράγοντας που παραμένει αναλλοίωτος, η σταθερή ταχύτητα του φωτός c. Εάν όμως η κίνηση εξαρτάται όχι μόνο από το σύστημα αναφοράς, αλλά και από την κλίμακα, την απόσταση δηλαδή από την οποία κάνουμε την παρατήρηση, τότε είναι εύλογο να υποθέσουμε κι έναν άλλο, δεύτερο παράγοντα, ο οποίος να παραμένει αναλλοίωτος κατά τις αλλαγές κλίμακας (όπως αντίστοιχα στις αλλαγές συστήματος αναφοράς η ταχύτητα του φωτός) και να σχετίζεται με κάποιο θεμελιώδες μέγεθος κλίμακας (δηλαδή μήκος).

Αυτή είναι ακριβώς η παρατήρηση που έκανε ο Laurent Nottale. Μία νέα δηλαδή σχέση αναλλοιότητας κλίμακας που διατηρεί ένα θεμελιώδες μήκος αναφοράς, το μήκος Planck (Planck length), το οποίο θα μένει απαράλλακτο κατά τις αλλαγές κλίμακας (zoom). Η θεώρηση του Notalle, παρότι οδήγησε σε νέες προβλέψεις και υποθέσεις, προϋποθέτει την εγκατάλειψη κάποιων παραδοχών, όπως είναι η διαφορισιμότητα του χώρου- χρόνου (ότι δηλαδή ο χώρος- χρόνος είναι παντού ομοιογενής και συνεχής), αντιπροτείνοντας ότι το σύμπαν έχει δομή fractal.


Τον όρο fractal χρησιμοποίησε πρώτος ο Benoit Mandelbrot, το 1975, για να περιγράψει μορφές τραχειές (μη λείες) και ανώμαλες (παρά συνεχείς). Από εκεί και ύστερα η γεωμετρία των fractals σε συνδυασμό με τη θεωρία του χάους υπήρξε μία διαρκής πρόσκληση- πρόκληση για τη φυσική σε μικροσκοπικό επίπεδο (κβαντική φυσική) αλλά και μακροσκοπικό (κοσμολογία). Και αυτό γιατί αφενός σε μικρές κλίμακες ο κόσμος, ο ίδιος ο χώρος-χρόνος, παύει να έχει τη λεία και συνεχή δομή που φαίνεται να έχει σε καθημερινές κλίμακες και αφετέρου η γεωμετρία των fractals δίνει μία απλή και ταιριαστή περιγραφή στον τρόπο με τον οποίο σχηματίζονται οι μακροσκοπικές δομές μέσα στο σύμπαν (γαλαξίες, νεφελώματα, κοκ.)


Πράγματι αν κοιτάξουμε προς τη μεριά των ουρανών θα μας φανεί ότι οι γαλαξίες μοιάζουν σαν δομές που ξεκινάνε από κάποιο υποθετικό σημείο στον 'πυρήνα' τους και συνεχίζουν να αντιγράφονται προς τα έξω ξανά και ξανά. Αυτή άλλωστε είναι και η αναμενόμενη συμπεριφορά ενός φράκταλ (αυτοαναπαραγωγή). Η διαπίστωση επίσης ότι το σύμπαν ξεκίνησε από μία αρχική κατάσταση μεγάλης αταξίας φαίνεται ότι ταιριάζει πλήρως με την περιγραφή της μέσα από τη θεωρία του χάους. Έχει προταθεί μάλιστα και μία θεωρία που να εξηγεί το πώς και γιατί το σύμπαν διογκώθηκε απότομα κι εκθετικά στα πρώτα στάδιά του (Chaotic inflation theory). Με λίγα λόγια η θεωρία προτείνει ότι το σύμπαν μας ξεπήδησε μέσα από μια τοπική 'κορυφή'- διακύμανση του πανσύμπαντος (multiverse) και ύστερα άρχισε να αυτοαντιγράφεται σαν φράκταλ και να διογκώνεται όπως μία 'φούσκα' και μέσα από χαοτικές διεργασίες.


Η θεωρία του φράκταλ-σύμπαντος (Fractal Universe) είναι μια νέα σχετικά θεωρία. Έρχεται από τη μία πλευρά να συμπληρώσει τις ελλείψεις της σχετικότητας, η οποία θεωρεί πως ο χώρος-χρόνος είναι παντού διαφορίσιμος (συνεχής και ομογενής) και από την άλλη μεριά να εξηγήσει τόσο το πώς μπόρεσε το σύμπαν να 'φουσκώσει' γρήγορα στην αρχή του ώστε να μην καταρρεύσει βαρυτικά όσο και να ερμηνεύσει γιατί οι γαλαξίες εμφανίζουν ένα ίδιο μοτίβο στην εμφάνιση και στην εξέλιξή τους.


Το παρόν μου post έρχεται να συμπληρώσει όλα τα προηγούμενα posts (τουλάχιστον) από την ανθρωπική αρχή κι έπειτα. Πάντως, εάν το σύμπαν είναι ένα γιγάντιο φράκταλ, θεωρώ πως είναι ζήτημα δευτερεύον. Η λέξη κλειδί στην προηγούμενη ανάλυση είναι η λέξη αυτοοργάνωση. Η διαπιστωμένη δηλαδή και μοναδική ιδιότητα της ύλης να δημιουργεί όλες τις απαραίτητες αλληλεπιδράσεις και πεδία (να δημιουργεί ουσιαστικά τον ίδιο το χώρο-χρόνο) και να κατασκευάζει όλες τις φυσικές διαδικασίες. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι δεν είναι όλες οι δομές τύπου φράκταλ, αφού υπάρχουν και δομές λείες και συνεχείς.


Το ότι το σύμπαν σε μεγάλη κλίμακα είναι με καλή προσέγγιση ομογενές έχει επαληθευτεί πειραματικά. Ακόμη, υπάρχει ήδη μία αρχή η οποία μπορεί με μεγάλες αξιώσεις να διεκδικήσει την επιστήμη και τη φιλοσοφία του αύριο. Πρόκειται για την ολογραφική αρχή. Ένα ολόγραμμμα έχει ακριβώς όλα τα χαρακτηριστικά μίας αυτοαναπαραγόμενης δομής (το όλο στο ένα), αλλά επιπλέον διαθέτει κι έναν ολιστικό τρόπο θεώρησης του κόσμου που κατά τη γνώμη μου λείπει από τη σύγχρονη επιστήμη και γενικότερα από το σύγχρονο ανθρώπινο τρόπο σκέψης. Ακόμη δηλαδή κι αν το φράκταλ έχει την ικανότητα να αυτοαντιγράφεται επ' άπειρον, ακόμη κι αν το σύμπαν μας είναι τμήμα από ένα 'υπερφράκταλ-πανσύμπαν (superfractal-multiverse), θα πρέπει να υπάρχει πάντοτε μία αρχή που να εποπτεύει και να οργανώνει τα πάντα. Προφανώς δεν αναφέρομαι σε κάποιον θεό που να υπάρχει 'έξω από το σύμπαν'. Αναφέρομαι πάντα στον άνθρωπο, τον οποίο γέννησε το σύμπαν για να το ξέρει.

9/4/08

ΤΙΜ*: Η θεωρία των ατελών μετρήσεων


*TIM: Theory of Incomplete Measurements


"Αυτό που λείπει από τη σύγχρονη επιστήμη είναι η καρδιά".



Εισαγωγή (Δική μου παρένθεση)

Ο Αριστοτέλης πίστευε πως η ακινησία είναι η φυσική κατάσταση των σωμάτων, έτσι ώστε αν αφήσουμε κάτι να κινηθεί, σύντομα θα σταματήσει. Ο Γαλιλαίος, ύστερα από σχεδόν 2000 χρόνια, θα κατανοήσει και θα δείξει μέσω της πειραματικής φυσικής ότι αν αφήσουμε ένα σώμα να κινηθεί, τότε αυτό δε θα σταματήσει ποτέ! Η αδράνεια των σωμάτων τα κάνει να διατηρούν την κινητική τους κατάσταση (κίνηση ή ακινησία) και ότι χρειάζεται μια δύναμη (π.χ. τριβή) για να τα σταματήσει. Αρκεί να κάνουμε ένα απλό πείραμα για να το διαπιστώσουμε, αν αφήσουμε ένα σώμα να κινηθεί πάνω σε μία επιφάνεια χωρίς τριβή (π.χ. αλειμμένη με λάδι). Γιατί άραγε ο Αριστοτέλης, αυτός ο κατά γενική ομολογία μεγάλος φιλόσοφος, δεν κατάφερε να συνειδητοποιήσει το απλούστερο; Μήπως τελικά ήτανε κουτός ή απλά δεν μπήκε ποτέ στον κόπο να ελέγξει τις θεωρίες του; Τίποτε από τα δύο. Υπόψιν ότι στην εποχή του δεν υπήρχε η έννοια της δύναμης. Τότε θεωρείτο πως τα σώματα πέφτουν επειδή αυτή ήταν η φυσική τους τάση. Ωστόσο κάποτε θα έβρισκαν στο έδαφος και θα σταματούσαν. Άρα στο τέλος όλα τα πράγματα ήταν προορισμένα για την ακινησία. Βλέπουμε δηλαδή τη σημασία δύο παραμέτρων στον προηγούμενο τρόπο σκέψης. Η πρώτη παράμετρος έχει να κάνει με το πώς μετράμε μια φυσική ποσότητα (π.χ. την ταχύτητα ή την θέση ενός σώματος) κι επομένως πώς εννοούμε τη φυσική μέτρηση. Η δεύτερη παράμετρος είναι ακόμη βαθύτερη. Έχει να κάνει με τις παραδοχές μας σχετικά με τη φυσική διαδικασία πριν ακόμη και να επιλέξουμε τη μέθοδο της παρατήρησης. Ο Γαλιλαίος απλά θεώρησε πως η φυσική κατάσταση των σωμάτων είναι η κίνηση, έτσι ώστε, χρησιμοποιώντας τις έννοιες της δύναμης και της επιτάχυνσης, (προγενέστερες παραδοχές), καθώς και την έννοια της αδράνειας (δική του εφεύρεση), να καταλήξει στην αντίθετη κοσμοθεωρία από εκείνη του Αριστοτέλη. Θα μπορούσε βέβαια κάποιος να πει ότι η καινούργια θεωρία είναι καλύτερη. Μέχρι βέβαια την εποχή του Einstein που έδειξε πως η βαρύτητα δεν είναι καν δύναμη, αλλά αποτέλεσμα ή 'αίσθημα' της καμπύλωσης του χώρου-χρόνου. Οπότε ίσως και να επιστρέφουμε πίσω στην κοσμοθεωρία του Αριστοτέλη μ' ένα νέο τρόπο. Ίσως και να μην καταλήγουμε πουθενά και στο τέλος να ανακαλύψουμε πως η φυσική ήταν μόνο μία φορμαλιστική και ανθρωποκεντρική προσέγγιση του κόσμου και της πραγματικότητας. Γιατί όσο φαντάσματα είναι η είναι η 'τάση του κόσμου προς την ακινησία', αλλά τόσο φαντάσματα είναι η δύναμη, η μάζα, η ίδια η κίνηση, ακόμη και 'η καμπύλωση του χώρου-χρόνου'. Σε τελική ανάλυση και η ανάγκη του ανθρώπου να παρατηρεί και να κατανοεί, μοιάζει παραδοχή εξίσου απατηλή.

Εισαγωγή (A Theory of Incomplete Measurements)




Η φυσική δεν είναι απλά τα μαθηματικά. Οι μαθηματικές οντότητες στη φυσική μεταφράζουν μια πραγματική εμπειρία. Οι μετρήσεις γεφυρώνουν αυτό το χάσμα. Ένας ορισμός των μετρήσεων με έξι κοινές υποθέσεις προσφέρει μιαν ενδιαφέρουσα και πιθανά νέα ματιά στη δομή της κβαντομηχανικής, της γενικής σχετικότητας και σε τεχνικές όπως η κανονικοποίηση.
Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα χρησιμοποιήσαμε τα μαθηματικά για να αναπαραστήσουμε τους νόμους της φυσικής. Για παράδειγμα γράφουμε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ως F=ma, όπου το F και το a είναι διανύσματα, αφηρημένες μαθηματικές οντότητες αποτελούμενες από 3 πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι με τη σειρά τους είναι αφηρημένες μαθηματικές οντότητες. Τα μαθηματικά που χρησιμοποιήθηκαν έχουν μόνο γίνει πιο εξεζητημένα με το χρόνο σε βαθμό που η πρόοδος στα μαθηματικά και στη φυσική να είναι συχνά ταυτόχρονη. Αυτή η χρήση των μαθηματικών και η επιτυχία που είχαμε χάρη σε αυτά είναι τόσο θεμελιώδης ώστε ποτέ να μην την αμφισβητούμε.

Η βασική αρχή είναι τόσο απλή ώστε γενικά την παραβλέπουμε πλήρως: Οι μαθηματικές οντότητες είναι συμβολικές αναπαραστάσεις του αποτελέσματος τη μέτρησης. Για παράδειγμα το F αναπαριστά μια φυσική δύναμη, κάτι το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε μ' ένα δυναμόμετρο. Τo m αναπαριστά τη μάζα, που μπορούμε να μετρήσουμε με τα σταθμά. Το a αναπαριστά την επιτάχυνση που παίρνουμε από μετρήσεις ταχύτητας ή θέσης. Ωστόσο, μία ερώτηση προκύπτει από τις βασικές παραδοχές: Παίζει ρόλο πώς μετράμε τη δύναμη, τη μάζα ή την επιτάχυνση; Οι νόμοι της φυσικής δε γράφονται ποτέ καθορίζοντας πώς θα μετρήσουμε μια φυσική οντότητα. Οπότε η φυσική μέτρηση που επιλέγουμε παίζει ρόλο. Επιπλέον πολλές από τις ιδιότητες που θεωρούμε δεδομένες ή που χρησιμοποιούμε ως αξιώματα των φυσικών νόμων είναι στην πραγματικότητα συνέπεια των επιλογών μας σχετικά με τις φυσικές διαδικασίες που αποκαλούμε 'μετρήσεις'.

Οι φυσικές μετρήσεις καθορίζονται χρησιμοποιώντας έξι παραδοχές:

1) Οι μετρήσεις είναι φυσικές διαδικασίες
2) Η είσοδος και η έξοδος είναι γνωστές εκ των προτέρων
3) Δίνουν επαναλήψιμα αποτελέσματα
4) Εξαρτώνται μόνο από την είσοδο
5) Επηρεάζουν μόνο την έξοδο
6) Οι μεταβολές στην έξοδο μπορούν να έχουν μία συμβολική ή αριθμητική ερμηνεία.

Ίσως είναι σκόπιμο να δικαιολογήσουμε καθεμία από τις παραπάνω υποθέσεις.

1. Μία μέτρηση γίνεται μέσα στο σύμπαν και υπακούει στους νόμους του. Θα πρέπει επομένως να είναι μια έγκυρη μέτρηση. Ένα βολτόμετρο για παράδειγμα δε λειτουργεί μαγικά αλλά διαμέσου των συνήθων νόμων του σύμπαντος.

2. Για να είναι μια μέτρηση χρήσιμη χρειάζεται να συσχετίσει κομμάτια του σύμπαντος που είναι γνωστά στον παρατηρητή. Ένα βολτόμετρο πρέπει να μετράει τα εισερχόμενα στοιχεία (τάσεις), όχι κάποια τάση που διαλέξαμε τυχαία και πρέπει να δείχνει το αποτέλεσμα μ' ένα γνωστό τρόπο προκαθορισμένο σε κάποια οθόνη.

3. Μια μέτρηση πρέπει να είναι επαναλαμβανόμενη δίνοντας συγκεκριμένα αποτελέσματα για αντίστοιχες εισόδους. Ένα βολτόμετρο που για την ίδια είσοδο δίνει διαφορετικές ενδείξεις θα πρέπει να θεωρηθεί αναξιόπιστο.

4. Μια μέτρηση πρέπει να συλλέγει δεδομένα για το άγνωστο τμήμα που μελετάμε. 'Όταν ρίχνουμε ένα ζάρι πρόκειται για μία έγκυρη διαδικασία που συνδυάζει την τελική τιμή με την αρχική θέση και την ταχύτητα του χεριού μας. Ωστόσο δεν αποτελεί χρήσιμη πληροφορία για την ακριβή κατάσταση του χεριού και γι' αυτό δε θεωρείται μέτρηση.

5. Εφόσον ζούμε μέσα στο σύμπαν το αποτέλεσμα της μέτρησης εκδηλώνεται σαν μία αλλαγή στο τμήμα του σύμπαντος που αποτελεί την 'έξοδο' των δεδομένων. Αν το βολτόμετρό μας δεν αντιδράσει σε σχέση με κάποια παρεχόμενη τάση ή μετατοπιστεί η ένδειξη λόγω κάποιας άλλης αιτίας τότε θεωρούμε πως το όργανο είναι χαλασμένο.

6. Για να δώσει μια μέτρηση ποσοτικά και όχι μόνο ποιοτικά αποτελέσματα το τμήμα του σύμπαντος που αποτελεί την έξοδο θα πρέπει να είναι βαθμονομημένο ώστε να καταγράψουμε τις αλλαγές με κάποιον συμβολικό ή αριθμητικό τρόπο. Μόνο χάρη σε αυτή τη βαθμονόμηση και στο αντίστοιχο καλιμπράρισμα μπορούμε να έχουμε σαφή αντιστοιχία ανάμεσα στις ενδείξεις του βολτόμετρου ανάλογα με τις τιμές της τάσης.

Οι παραπάνω δηλώσεις αποτελούν ένα πιθανό ορισμό της μέτρησης και όχι του πώς το σύμπαν πράγματι δουλεύει. Μπορούμε ωστόσο να κάνουμε και μία παραδοχή για το σύμπαν: Πειραματικά υπάρχουν φυσικές διαδικασίες με τις παραπάνω ιδιότητες. Συγκεκριμένα η επαναληψιμότητα βασίζεται στην ύπαρξη της συμμετρίας, όπως η αναλλοιότητα κατά την περιστροφή ή τη μεταφορά μέσα στο χώρο και στο χρόνο επιτρέποντας πολλαπλές ταυτόσημες φυσικές διεργασίες στο σύμπαν.

Μη πληρότητα.

Υπάρχουν δύο λόγοι γι' αυτόν το χαρακτηρισμό:

- Οι μετρήσεις είναι ατελείς με την έννοια ότι μετράμε κάτι που γνωρίζουμε για το σύμπαν και όχι κάτι σχετικά με αυτό που το σύμπαν πράγματι είναι.

- Οι μετρήσεις δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονες και ο φορμαλισμός είναι ομογενής ανεξάρτητα από την πληρότητα ή όχι μίας μέτρησης.

Χρειαζόμαστε επομένως επιπλέον δομές ώστε να κατανοήσουμε το σύμπαν και να αποκτήσουμε μεγαλύτερη προβλεπτική ικανότητα.

Σχετικιστικές θεωρίες.

Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τις παραπάνω θεωρήσεις ώστε να προσεγγίσουμε εκ νέου την ειδική και γενική θεωρία της σχετικότητας (αρχικά κι έπειτα θα κάνουμε το ίδιο και για την κβαντομηχανική). Θα ασχοληθούμε με τη φύση του χώρου και του χρόνου όπως αυτές οι δύο έννοιες προσεγγίζονται μέσω της έννοιας του συστήματος συντεταγμένων, ώστε να φανεί ο ρόλος της μέτρησης των φυσικών διαδικασιών.

(Δική μου παρένθεση)

Πριν τη σχετικότητα (ακόμη και στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας) ο χώρος θεωρείτο Ευκλείδειος. Με απλά λόγια επίπεδος. Αυτή η παραδοχή ωστόσο, πέρα από τη χρήση συνεχών εξισώσεων και των παραγώγων τους, είχε ως αποτέλεσμα η επιστήμη να καταλήξει σ' ένα ανεξήγητο πρόβλημα. Πρόκειται για το πείραμα των Michelson-Morley που έδειξε πως η ταχύτητα του φωτός είναι ίδια ανεξάρτητα από την ταχύτητα του συστήματος αναφοράς των παρατηρητών. Πώς όμως ήταν κάτι τέτοιο δυνατό, αφού σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου και σύμφωνα με την καθημερινή μας πείρα, συμβαίνει το εξής: Αν τρέχουμε προς ένα αντικείμενο με ταχύτητα π.χ. 100 χλμ την ώρα κι εκείνο έρχεται προς εμάς με την ίδια ταχύτητα, τότε θα το δούμε να κινείται κατά πάνω μας με 200 χλμ την ώρα. Γιατί άραγε στην περίπτωση του φωτός, που υπόψιν έχει και σωματιδιακή φύση δεν διαπιστώνουμε κάτι τέτοιο αλλά η ταχύτητά του είναι πάντοτε η ίδια και σταθερή και ίση με 300000 χλμ το δευτερόλεπτο; Τι το μυστήριο λοιπόν συνέβηκε; Θα πρέπει πρώτα να επισημάνουμε το πώς η επιλογή της πειραματικής διαδικασίας καθώς και των παραδοχών μας σχετικά με το φαινόμενο επηρεάζει το τι παρατηρούμε. Γιατί αφενός σε περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς πράγματι η ταχύτητα του φωτός δεν παραμένει σταθερή και αφετέρου αν θεωρήσουμε πως το φως μας συμπαρασύρει στο δικό του σύστημα αναφοράς η 'ακινησία' μας είναι αυτονόητη. Αλλά για να μην μπλέξουμε τα πράγματα χειρότερα θα δούμε πως ο Einstein κυριολεκτικά αυθαίρετα όσο και με ιδιοφυή απλότητα έλυσε το παράδοξο. Είπε το αυτονόητο: Η ταχύτητα του φωτός c είναι μία παγκόσμια σταθερή και ίδια για όλα τα (αδρανειακά) συστήματα αναφοράς. Τώρα όμως δημιουργήθηκε ένα άλλο ακόμη μεγαλύτερο πρόβλημα. Προσέχτε το εξής απλό παράδειγμα: Αν το διάστημα που διανύει το φως σε κάποιο χρόνο t είναι αναλλοίωτο και εφόσον η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή, τότε για διαφορετικές αποστάσεις ο χρόνος θα πρέπει να ρέει διαφορετικά. Έτσι ξάφνου στη σύγχρονη φυσική η έννοια του κοινού και παγκόσμιου χρόνου καθώς και η έννοια του απόλυτου συστήματος αναφοράς (εκεί που θα έδρευε αυτός ο αντικειμενικός χρόνος) έγιναν παρελθόν. Παρατηρητές κινούμενοι με διαφορετικές ταχύτητες μετράνε στα ρολόγια τους και διαφορετικό πέρασμα του χρόνου! Τι συνέβη; Μήπως η μία παρερμηνεία έφερε την άλλη για να καταλήξουμε στο παράλογο συμπέρασμα πως ο χρόνος κυλάει διαφορετικά ανάλογα με την ταχύτητα που τρέχουμε; Πάντως το πιο αισιόδοξο απ' όλα είναι ότι η ερμηνεία- πρόβλεψη του Einstein έχει ήδη κι επανειλημμένα επαληθευτεί πειραματικά. Ποια είναι λοιπόν η πλήρης μαθηματική ερμηνεία που λύνει το παράδοξο του πειράματος των Michelson-Morley; Πρόκειται πλέον για την πλήρη εγκατάλειψη του Ευκλείδειου χώρου και χρόνου και των μετασχηματισμών του Γαλιλαίου και την υιοθέτηση ενός άλλου χώρου-χρόνου, όπου ο χρόνος αποκτάει πραγματική υπόσταση και άρρηκτη σχέση με τον χρόνο ως μία κανονική τέταρτη διάσταση (χωρόχρονος του Minkowski). Σε αυτόν το χωρόχρονο εκτός από τις τρεις γνωστές συντεταγμένες του χώρου x,y,z, αποκτά μιαν ισότιμη θέση και το διάστημα ct, έτσι ώστε αναλλοίωτος πλέον δε μένει ούτε ο χώρος ούτε ο χρόνος από μόνοι τους, αλλά το χωροχρονικό διάστημα z= ct-x-y-z (όπου οι προηγούμενοι όροι είναι όλοι στο τετράγωνο). Βλέπουμε λοιπόν πως δύο-τρεις βασικές παραδοχές, η ύπαρξη χώρου και χρόνου, η σωματιδιακή φύση του φωτός, η ύπαρξη συστήματος αναφοράς και βέβαια η μαθηματική-γεωμετρική αναπαράσταση του κόσμου σε συνδυασμό με την επιλογή συγκεκριμένων πειραματικών διαδικασιών και όχι άλλων, μας οδήγησαν στο συμπέρασμα πως ο χρόνος είναι σχετικός. Κι αν αυτό μας είναι πλέον λογικό και αυτονόητο σκεφτείτε πως καθ' όλη την ανθρώπινη ιστορία και μέχρι τον 20αι ίσχυε το αντίθετο. Κι αν κάποιος θεωρήσει ότι το πρόβλημα πλέον έχει λυθεί οριστικά, τότε μπορούμε να του κάνουμε μιαν απλή ερώτηση: Υπάρχει χρόνος;

Γενική σχετικότητα.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας παρότι έδωσε τις μέχρι τότε καλύτερες εξηγήσεις σχετικές με τις φυσικές διαδικασίες και τα παρατηρούμενα φαινόμενα, δημιούργησε κι αρκετά παράδοξα, δείχνοντας πως σαν μία θεωρία βασισμένη κι αυτή σε πειραματικές συνθήκες και φυσικές παραδοχές δε θα μπορούσε να είναι πλήρης.

(Δική μου παρένθεση)

Ένα από τα γνωστά παράδοξα είναι και αυτό των διδύμων. Εφόσον όποιος κινείται νιώθει το χρόνο να κυλάει πιο αργά κι αφού η κίνηση είναι σχετική, ποιος από τους δύο διδύμους δε θα γεράσει; Αυτός που φεύγει από τη Γη με κάποια μεγάλη ταχύτητα ή αυτός που μένει πίσω; Γιατί ο καθένας από τους δύο θεωρεί τον εαυτό του ακίνητο και βλέπει τον άλλο να 'τρέχει'. Το πρόβλημα με λίγα λόγια το έλυσε ο ίδιος ο Einstein θεσπίζοντας τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Ο δίδυμος που φεύγει από τη Γη είναι και αυτός που θα γεράσει με αργότερο ρυθμό γιατί σε κάποια φάση του ταξιδιού του θα επιταχυνθεί. Η επιτάχυνση όμως σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα είναι ισοδύναμη με πεδίο βαρύτητας. Ο επιταχυνόμενος δίδυμος θα αιστανθεί να αυξάνεται το βάρος του στο βαθμό της επιτάχυνσής του. Η βαρύτητα όμως προκαλεί στρέβλωση του χωρόχρονου. Αυτό σημαίνει πως ο επιταχυνόμενος δίδυμος τελικά θα γεράσει πιο αργά (ο Einstein ήταν πραγματικά ξύπνιος άνθρωπος!).

Με τη γενική θεωρία της σχετικότητας η έννοια του επίπεδου χώρου και η έννοια του απόλυτου χρόνου της Ευκλείδειας γεωμετρίας εγκαταλείπονται οριστικά, με εξαίρεση μικρές περιοχές (τοπικότητα) και χωρίς ισχυρά βαρυτικά πεδία όπου ο χωρόχρονος μπορεί να θεωρηθεί με καλή προσέγγιση επίπεδος. Κατά τ' άλλα τα σώματα ακολουθούν μέσα στο σύμπαν καμπύλες πορείες (γεωδαισικές) παρότι τα ίδια τα σώματα και οι παρατηρητές που κινούνται σε αυτές τις καμπύλες θεωρούν ότι κινούνται σε ευθείες γραμμές σαν να είναι αδρανειακοί (έχοντας σταθερή ταχύτητα, άρα θεωρώντας ότι είναι ακίνητοι). Ο Einstein επιπλέον κατασκεύασε τις εξισώσεις βαρυτικού πεδίου. Για την περιγραφή του χωρόχρονου χρησιμοποιείται μία μετρική (metric) και η εξισώσεις της γενικής σχετικότητας είναι εξισώσεις τανυστών (υπερδιανυσμάτων). Η παρακάτω εξίσωση αστράφτει με την αρμονία και την απλότητά της:


και σημαίνει πως η ποσότητα ενέργειας και ύλης (παράγοντας T) που βρίσκονται σε μια περιοχή του χωρόχρονου τον καμπυλώνουν, έτσι ώστε η βαρύτητα (παράγοντας G) δεν είναι τίποτε άλλο παρά το αποτέλεσμα- αίσθημα αυτής της καμπύλωσης (παράγοντας g).

Οι εξισώσεις (η παραπάνω εξίσωση στην πραγματικότητα είναι πολλές λόγω των δεικτών μ και ν) της γενικής σχετικότητας έχουν τα δικά τους ψεγάδια. Πρώτα απ' όλα είναι συνεχείς, πράγμα που προϋποθέτει ένα συνεχή και ομογενή χωρόχρονο. Αυτός είναι και ο λόγος που δεν μπορεί η γενική σχετικότητα να ενοποιηθεί με την κβαντομηχανική που θεωρεί κάποιο ελάχιστο μήκος (μήκος Planck) και υψηλό βαθμό ανομοιογένειας σε μικρές κλίμακες (κβαντικές διακυμάνσεις κενού). Επιπλέον προέρχονται από μία καθαρά γεωμετρική θεώρηση του κόσμου, τη στιγμή που η γεωμετρία πιθανό να μην ξεπερνάει τα ανθρώπινα μάτια. Τέλος εισάγει τη λεγόμενη κοσμολογική σταθερή Λ, την οποία ο Einstein τοποθέτησε για να προβλέπεται ένα μη στατικό σύμπαν και για την οποία ακόμη δεν ξέρουμε ούτε την τιμή (δεν ξέρουμε π.χ. αν κάποτε το σύμπαν θα αρχίσει να συστέλλεται ή όχι) ούτε τη χρησιμότητα.

Σχετικότητα κλίμακας (Scale relativity)

Η γενική σχετικότητα είναι γενικά κατασκευασμένη πάνω σ' ένα αριθμό από συμμετρίες οι οποίες θεωρούνται αξιώματα. Ένα από αυτά τα αξιώματα είναι η συνεχής παραγωγισιμότητα των συντεταγμένων του χώρου και του χρόνου. Σε αυτό το μοντέλο (της γενικής σχετικότητας) θα μπορούσαμε να κάνουμε συνεχή μεγέθυνση (zoom in) και ο χωροχρόνος να παραμένει ο ίδιος. Αυτό όμως δεν είναι μία ιδιότητα που παρατηρούμε στις μετρήσεις. Ξέρουμε πως μπορούμε να κόψουμε ένα χάρακα στη μέση ξανά και ξανά. Αλλά δεν μπορούμε να συνεχίσουμε πέρα από μία μικροσκοπική κλίμακα, γιατί οι νόμοι της φυσικής αλλάζουν (σε μικρές κλίμακες η εξίσωση του Einstein που δίνει τη βαρύτητα παύει να ισχύει, καθώς εκεί επικρατούν οι λεγόμενες κβαντικές διακυμάνσεις). Χρειαζόμαστε έναν ελάχιστο αριθμό ατόμων για να είναι ο χάρακας ένα σαφώς καθορισμένο στερεό.

Εστίαση (Zoom )

Καθώς αλλάζουμε κλίμακα, κάνουμε δηλαδή zoom, θα χρειαστεί να αλλάξουμε τις επιλογές σχετικά με τις μετρήσεις του χώρου και του χρόνου για πρακτικούς λόγους. Αντικαθιστούμε γι' αυτόν το λόγο κάποιες συντεταγμένες με κάποιες άλλες πιο κατάλληλες. Για να δίνουν αμφότερες οι συντεταγμένες την ίδια κατάσταση (π.χ. θέση ενός σημείου), θα πρέπει να υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός συστημάτων που οι μετρήσεις να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Αυτό ωστόσο δε σημαίνει ότι ταυτίζονται οι φυσικές διαδικασίες καθαυτές. Συγκεκριμένα κάποιες εξισώσεις μετασχηματισμού δεν είναι απαραίτητο να ισχύουν για όλες τις κλίμακες και για όλες τις τιμές. Κάποιος μπορεί να έχει στο μυαλό του το παράδειγμα ενός αυτοκινήτου που κινείται στην επιφάνεια ενός πλανήτη, όπου οι συντεταγμένες της εφαπτόμενης στην επιφάνεια του πλανήτη κίνησης και οι οποίες μετρώνται με μιαν ακτίνα laser, ταιριάζουν με τις συντεταγμένες του πλανήτη τοπικά. Όταν κάνουμε zoom στο παρατηρούμενο σύστημα και κάνουμε αλλαγή (μετασχηματισμό) των συντεταγμένων, μπορούμε να ορίσουμε έναν παράγοντα ανάλυσης (zooming factor) o οποίος να συνδέει τις μετρήσεις με την επιλογή των συντεταγμένων. Αυτός ο παράγοντας θα αυξάνεται καθώς η ανάλυση θα μεγαλώνει.

Κανονικοποίηση (Renormalisation)

Αν θεωρήσουμε πως οι νόμοι της φύσης ισχύουν καθολικά, τότε η παραδοχή μας αυτή οδηγεί στο πόρισμα ότι οι ίδιοι νόμοι θα ισχύουν ύστερα και από ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων (στο πέρασμα από το μακρόκοσμο στο μικρόκοσμο για παράδειγμα). Υπάρχουν όμως περιπτώσεις μετρήσεων που πραγματοποιούνται σε 'άπειρη' απόσταση. Οι μετρήσεις τότε μπορεί να συμφωνούν τοπικά, αλλά να αποκλίνουν σε μεγάλες κλίμακες. Μία κοινή τεχνική που χρησιμοποιείται σε αυτές τις περιπτώσεις είναι η κανονικοποίηση (renormalisation), η οποία υποθέτει ότι οι νόμοι της φυσικής παραμένουν ταυτόσημοι κατά την αποκέντρωση (zooming out), αφού αφαιρέσουμε τους βαθμούς ελευθερίας που δε χρειάζονται στις κλίμακες που μετράμε. Το πρόβλημα είναι πως ολοκληρώματα με όρια το άπειρο αποκλίνουν, ώστε τελικά να αντικαθίστανται κατευθείαν με τιμές που παίρνουμε από πραγματικές μετρήσεις. Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι ενώ μπορούμε να θεωρούμε τοπικούς νόμους ως ισχύοντες σε οποιαδήποτε κλίμακα, ανεξάρτητα από τη φυσική διαδικασία μέτρησης που χρησιμοποιήθηκε, το ίδιο δεν ισχύει για νόμους μακρινών αποστάσεων, οι οποίοι μπορούν να εξαρτώνται από τη μικρή ή τη μεγάλη κλίμακα πάνω στην οποία οι μετρήσεις πραγματοποιήθηκαν.

Αναλλοιότητα της κλίμακας (Scale invariance )

Η αλλαγή στο σύστημα συντεταγμένων που αντιστοιχεί σε κάποιο zoom, εισάγει ένα παράγοντα ανάλυσης με τον οποίο γίνεται η μέτρηση. Αυτή η ανάλυση μπορεί να μην είναι ικανή να περιγράψει πλήρως τη φυσική διαδικασία που μετράμε, αλλά μπορεί να θεωρηθεί αναγκαία. Ο πρώτος που μελέτησε την επίπτωση πάνω στη δομή του χώρου και του χρόνου από μία τέτοια ανάλυση είναι ο Laurent Nottale. Υπέθεσε την ύπαρξη μίας παγκόσμιας, απόλυτης και απαραβίαστης κλίμακας της φύσης, η οποία μένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή μεταξύ κλιμάκων. Αυτή η σταθερή παίζει για την ανάλυση (zoom) τον αντίστοιχο ρόλο με τη σταθερή c για την ταχύτητα και παρόμοια απαιτεί ένα μη Γαλιλαιϊκό μετασχηματισμό. Αυτό οδηγεί στη θεώρηση ότι ο χωρόχρονος έχει δομή fractal. Η σταθερή που δείχνει να διαθέτει τις κατάλληλες προϋποθέσεις είναι το μήκος Planck.


Κβαντομηχανική

(Δική μου παρένθεση)

Όταν μιλάμε για την κβαντομηχανική, πραγματικά μιλάμε για την επιστήμη των μετρήσεων. Στη κβαντομηχανική τίποτε δεν ισχύει αν δεν επιβεβαιωθεί από ένα πείραμα και τίποτε δεν υπάρχει πέρα των αποτελεσμάτων του πειράματος και της ερμηνείας που θα τους έχουμε δώσει. Ενώ δηλαδή η σχετικότητα πρώτα στηρίχτηκε σε φυσικές παραδοχές και φιλοσοφικές αρχές και ύστερα τις μαθηματικοποίησε, αντίθετα η κβαντομηχανική μαθηματικοποίησε κατευθείαν τα αποτελέσματα των πειραματικών διαδικασιών, χωρίς καν να δώσει κάποιο φυσικό νόημα σε αυτά τα αποτελέσματα.

Ερμηνεία (της κβαντομηχανικής)

Οι συνέπειες του παραλληλισμού μεταξύ της κβαντομηχανικής και της TIM (Theory of Incomplete Measurements):

Αποσύζευξη (Disentanglement )

Στην κβαντομηχανική, ο συνδυασμός δύο συστημάτων γίνεται πολλαπλασιάζοντας τους τανυστές βάσης των δύο επιμέρους συστημάτων. Στο όριο, το σύμπαν θα μπορούσε να αναπαρασταθεί από τη κυματοσυνάρτηση ενός άπειρου τανυστικού γινομένου όλων των δυνατών συστημάτων και το σύμπαν θα μπορούσε να περιέχει κάθε πιθανή συζευγμένη κατάσταση. Μία απλούστευση που γίνεται κατά τη μελέτη ενός συστήματος είναι να αγνοήσουμε όλα τα υπόλοιπα συστήματα του σύμπαντος, σαν το σύμπαν να μη βρίσκεται εκεί. Επιλέγουμε δηλαδή ως είσοδο των δεδομένων ένα μόνο ψήγμα του σύμπαντος.

Πραγματικές ιδιοτιμές (Real eigenvalues )

Στην κβαντομηχανική τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης αναπαρίστανται μέσω της ιδιοτιμής (eigenvalue) μιας μεταβλητής (observable). Τα αποτελέσματα της κβαντικής μέτρησης είναι πραγματικοί αριθμοί, ακριβώς επειδή οι μεταβλητές έχουν μόνο πραγματικές ιδιοτιμές. Στην ΤΙΜ, τα αποτελέσματα των μετρήσεων για κάθε φυσική διαδικασία είναι πάντα διακριτά γιατί δεν ξέρουμε πώς να κάνουμε συνεχείς μετρήσεις. Ωστόσο, αν η συμβολική αναπαράσταση για κάθε μέτρηση αντιστοιχεί σε πραγματικούς αριθμούς, μπορεί κάποιος να κατασκευάσει ένα γραμμικό τελεστή που να δίνει πραγματικές ιδιοτιμές.

Η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης (Wave-function Collapse )

Καθώς η κβαντομηχανική είναι γραμμική και αντιστρέψιμη, είναι δύσκολο να εξηγήσουμε γιατί η κυματοσυνάρτηση θα έπρεπε να καταρρεύσει. Αυτό το πόρισμα θεωρείται ένα πρόβλημα και πολύ έχουν προσπαθήσει να το ερμηνεύσουν, φτάνοντας κάποιοι μάλιστα σε δυσερμήνευτες έννοιες όπως 'συνειδητός παρατηρητής' (conscious observer). Σύμφωνα με τον παρών προτεινόμενο φορμαλισμό, η κυματοσυνάρτηση καταρρέει επειδή η μέθοδος της μέτρησης είναι τέτοια ώστε να αναπαράγει επαναλαμβανόμενα αριθμητικά αποτελέσματα. Μπορούμε να θεωρήσουμε ατελείς μετρήσεις όπου η πιθανότητα της επικείμενης μέτρησης καταρρέει μόνο εν μέρει. Μπορούμε επίσης να μιλάμε και για τον 'συνειδητό παρατηρητή' (με την έννοια ότι η συνείδηση κάνει την κυματοσυνάρτηση να καταρρεύσει), αλλά τότε αναφερόμαστε σε μία πριν από το πείραμα κατάσταση. Κάποιος συναρμολογεί μια πειραματική διάταξη, κάνοντας μία επιλογή της φυσικής διαδικασίας που θα ακολουθηθεί έναντι όλων των δυνατών υπολοίπων. Από την άλλη μεριά, δε χρειάζεται να υποθέσουμε ότι κάτι συμβαίνει επειδή ο παρατηρητής παρακολουθεί το πείραμα. Ενώ η παρούσα θεωρία (ορθόδοξη κβαντομηχανική) δε χρειάζεται μια συγκεκριμένη παραδοχή για να εξηγήσει την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης, τελικά δεν απαντάει στο ερώτημα: Γιατί κάνουμε μετρήσεις; Η κβαντική αποσύνδεση (quantum decoherence) για παράδειγμα αποτελεί μια χρήσιμη μαθηματική ανάλυση για το γεγονός πως οι μετρήσεις θα μπορούσαν να είναι συνέπεια βαθύτερων διαδικασιών.

Υπέρθεση (Superposition)

Στην κβαντομηχανική κάθε γραμμικός συνδυασμός έγκυρων καταστάσεων του συστήματος, είναι επίσης μία κατάσταση του συστήματος. Ο παρών φορμαλισμός (ΤΙΜ) παρατηρεί ότι γενικά μια αλληλουχία στο χρόνο ή μια επικάλυψη στο χώρο φυσικά αποδεκτών διαδικασιών είναι μία φυσική διαδικασία. Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για να δικαιολογήσει την χρήση της κυματοσυνάρτησης ως αναπαράσταση των πιθανών καταστάσεων ενός σωματιδίου, εξηγεί επίσης γιατί στο πείραμα δύο οπών του Young η αφαίρεση ενός τμήματος του πειράματος (τη δεύτερη οπή) θα προκαλέσει την 'πρόσθεση' κυμάτων-συναρτήσεων και όχι την αφαίρεση. Ο λόγος είναι ότι αφαιρώντας ένα μέρος του εμποδίου, προσθέτουμε μία νέα πιθανότητα απ' όπου το σωματίδιο μπορεί να περάσει, οπότε χρειαζόμαστε να υπερθέσουμε τις πιθανότητες να βρούμε ή να μη βρούμε το σωματίδιο σε κάποια κατάσταση.


Ατελείς μετρήσεις (Incomplete measurements)

Στην κβαντομηχανική, οι πιθανότητες ισχύουν μόνο πριν από τη μέτρηση και αναφέρονται στο πώς μία ιδιοκατάσταση του συστήματος θα ταυτιστεί με μία ιδιοτιμή. Μετά τη μέτρηση δεν υπάρχουν πιθανότητες. Στην πράξη οι μετρήσεις δεν ποτέ ακριβείς ούτε ακαριαίες. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι πιθανοκρατικό ή να περιέχει μια δόση αμφιβολίας. Ο παρών φορμαλισμός (ΤΙΜ) επιτρέπει ώστε η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση να είναι ένα διάνυσμα πιθανότητας. Καθώς η μετρήσεις συνεχίζονται η κατανομή των πιθανοτήτων γίνεται ολοένα και λιγότερη. Τουλάχιστον για κάποιες μετρήσεις, η πλήρης κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης και η απόλυτα ακριβής μέτρηση είναι μόνο εξιδανικευμένα όρια.

Όρια των μετρήσεων (Measurement limits)

Πολλά βιβλία κβαντικής φυσικής ισχυρίζονται πως η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο που παρατηρούμε στην άλλη πλευρά του φεγγαριού είναι απειροελάχιστη αλλά όχι μηδενική. Αυτή είναι μια λογική συνέπεια του ότι η κυματοσυνάρτηση εξασθενεί γρήγορα με την απόσταση αλλά ποτέ δε μηδενίζεται. Στο παρών φορμαλισμό (ΤΙΜ) μόνο αποτελέσματα που παράγονται από το πείραμα είναι αποδεκτά. Αν η συσκευή μέτρησης είναι μια φωτογραφική πλάκα 10x10 εκατοστών, η πιθανότητα να βρεθεί ένα φωτόνιο στο φεγγάρι είναι ακριβώς μηδέν. Το σημαντικό στοιχείο είναι όχι ότι αποκλείεται το φωτόνιο να μη χτυπήσει τη φωτογραφική πλάκα, αλλά ότι δεν υπάρχει καμία δυνατότητα πρόβλεψης για κάποια περιοχή που βρίσκεται έξω από την εμβέλεια του οργάνου μας.

Γραμμικότητα (Linearity)

Τα μαθηματικά της κβαντομηχανικής χρησιμοποιούν γραμμική άλγεβρα πάνω στις καταστάσεις του συστήματος οι οποίες εκφράζονται με κυματοσυναρτήσεις ή κετς (kets από το συμβολισμό brac- kets του Dirac). Γενικά οι τελεστές (τελεστής είναι ένα μαθηματικό εργαλείο το οποίο παίρνει κάτι π.χ. την κυματοσυνάρτηση και 'τελεί' κάτι άλλο επάνω της π.χ. δίνει μία αντίστοιχη ιδιοτιμή, δηλαδή... προκαλεί την κατάρρευσή της!!!) πάνω στις καταστάσεις πιθανοτήτων δεν είναι γραμμικοί, αλλά για μία μέτρηση που δίνει πραγματικά αποτελέσματα, ο τελεστής θα είναι γραμμικός, ώστε να έχει τις επιθυμητές ιδιότητες σχετικά με τις μεταβλητές της κβαντομηχανικής.

Μεταθετικότητα των μεταβλητών (Commutation of Observables )

Για μαθηματικούς λόγους, οι μεταβλητές της κβαντομηχανικής που δεν μετατίθενται αντιστοιχούν σε μετρήσεις που δεν μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα. Η ανισότητα του Heisenberg (αρχή της απροσδιοριστίας) είναι η αρχετυπική εφαρμογή αυτής της διαπίστωσης. Στον παρών φορμαλισμό (ΤΙΜ), και στο βαθμό που οι φυσικές διαδικασίες είναι αντιστρέψιμες, ανεξάρτητες μετρήσεις αντιστοιχούν σε φυσικές διεργασίες που μετατίθενται, και αντίστροφα μετρήσεις που δεν μετατίθενται αλληλοεπηρεάζονται και δε δίνουν ανεξάρτητα αποτελέσματα. Ο πλούτος δηλαδή της γραμμικής άλγεβρας της κβαντομηχανικής διατηρείται.

Κβαντικός χώρος-χρόνος (Quantum space-time)

Στην κλασσική προσέγγιση της κβαντομηχανικής οι τελεστές του χώρου και του χρόνου μετατίθενται, πολλαπλασιάζοντας ένα ket (συμβολική αναπαράσταση της κυματοσυνάρτησης) με μία συντεταγμένη, και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών είναι μεταθετικός (π.χ. αβ=βα, αν α,β πραγματικοί). Αυτό το γεγονός προσδιορίζει τον Ευκλείδειο χώρο- χρόνο, και αποτελεί σημείο σύγκρουσης τόσο με τις φυσικές παρατηρήσεις όσο και με τη γενική σχετικότητα. Η έρευνα πάνω στη μη μεταθετική γεωμετρία ήταν πάντοτε στα χνάρια μίας κβαντικής θεωρίας της βαρύτητας.


Κρυφές μεταβλητές (Hidden Variables)

Το γνωστό θεώρημα του Bell έδωσε έναν πειραματικά προσδιορίσιμο τρόπο για το αν η κβαντομηχανική μπορεί να ερμηνευτεί μέσω κρυφών μεταβλητών. Πειράματα που διεξήχθηκαν από τον Alain Aspect και άλλους δείχνουν να μην ευνοούν την ύπαρξη κάποιων κρυφών μεταβλητών. Η ερμηνεία της κβαντομηχανικής που προτείνεται εδώ, δεν βασίζεται σε κρυφές μεταβλητές. Η λογική αυτής της ερμηνείας στηρίζεται στην ύπαρξη πιθανοτήτων, και αυτό είναι το νόημα που δόθηκε στο 'ατελείς' (incomplete). Αλλά δεν υπονοεί ότι μπορούμε να μάθουμε περισσότερα απ' ό,τι το πείραμα μας επιτρέπει. Η ύπαρξη της τυχαιότητας στην καλύτερη περιγραφή που μπορούμε να δώσουμε για το σύμπαν παραμένει πιθανή. Επομένως, ακόμη κι αν πούμε ότι η μέτρηση δεν είναι πλήρης, θα παραμείνει ίσως η πιο καλή περιγραφή του συστήματος που μπορούμε να δώσουμε.

Συμπέρασμα

Παρουσιάσαμε ένα φορμαλισμό για να συζητήσουμε φυσικά πειράματα χωρίς να προϋποθέτουμε κάποια μαθηματική δομή. Αυτό μας επέτρεψε να προτείνουμε έναν ορισμό των μετρήσεων, και βασισμένοι στην επίσημη ερμηνεία, να ανακατασκευάσουμε πολλές σημαντικές πτυχές μαζί της γενικής σχετικότητας και της κβαντομηχανικής, παράλληλα προτείνοντας έναν αριθμό περιορισμών σε αυτές τις θεωρίες που δεν ήταν φανερές από μία καθαρά μαθηματική σκοπιά. Θα προσπαθήσουμε τώρα να κατανοήσουμε τον αντίκτυπο αυτών των περιορισμών σε πειράματα που έχουμε κάνει ή θα κάνουμε.

Χαρακτηριστικά της θεωρίας

Η TIM έχει τ' ακόλουθα χαρακτηριστικά:

• Όλες οι μετρήσεις αντιμετωπίζονται ταυτόσημα, περιλαμβάνοντας και μετρήσεις χώρου και χρόνου

• Η θεωρία αναφέρεται σε ατελείς μετρήσεις (incomplete measurements), δηλαδή μετρήσεις από τις οποίες μόνο πιθανοκρατικά αποτελέσματα μπορούν να συναχθούν. Αυτό είναι αλήθεια είτε η αβεβαιότητα οφείλεται σε μερική συλλογή των δεδομένων, που νομίσαμε ότι ήταν πλήρη είτε η αβεβαιότητα είναι θεμελιώδης.

• Στο βαθμό που τα αποτελέσματα των μετρήσεων μπορούν, απ' όσο ξέρουμε, να προβλεφτούν μόνο στατιστικά, η θεωρία είναι σχεδόν ταυτόσημη με την κβαντομηχανική, οπότε και εμπεριέχει τις συνέπειές της εξ ορισμού. Πιο συγκεκριμένα, η θεωρία προβλέπει τη μαθηματική μορφή της κυματοσυνάρτησης κάτω από ένα εύλογο σύνολο συνθηκών. Η κβαντομηχανική μπορεί να ειδωθεί ως μία προσέγγιση όπου η μη γραμμικότητα, η απόκλιση σε μεγάλη κλίμακα και η μη μεταθετικότητα των τελεστών του χώρου και του χρόνου αγνoούνται.

• Σε μεγάλη κλίμακα, τα αποτελέσματα της μη μεταθετικότητας του χώρου και του χρόνου γίνονται κυρίαρχα, αλλά οι μετρήσεις δίνουν ημι- ντετερμινιστικά αποτελέσματα, ώστε οι τιμές των μετρήσεων να προσεγγίζονται από συνεχώς διαφορίσιμες συναρτήσεις. Σ' αυτήν την περίπτωση ο παρών φορμαλισμός (ΤΙΜ) γίνεται ταυτόσημος με τη γενική σχετικότητα, οπότε κι ενσωματώνει τις προβλέψεις της εξ ορισμού. Η γενική σχετικότητα μπορεί να θεωρηθεί επίσης ως μία προσέγγιση, όπου οι μετρήσεις αναγνωρίζονται στο συνεχές τους όριο.

• Η μετάβαση μεταξύ διαφορετικών μετρήσεων του χώρου και του χρόνου εισάγει έναν ειδικό παράγοντα ανάλυσης, που επικεντρώνεται στον παράγοντα κλίμακας τον οποίον επίσημα εισήγαγε ο Nottale στη θεωρία της σχετικότητας κλίμακας (scale relativity). Είναι επομένως αναμενόμενο ότι η παρούσα θέση επίσης ενσωματώνει τη σχετικότητα κλίμακας εξ ορισμού και παρέχει μια φυσική αιτιολόγηση.

Μελλοντικές εργασίες

Προφανώς δανειζόμενοι βασικές εξισώσεις κι ενσωματώνοντάς τες στην παρούσα θεωρία δεν είναι τόσο ικανοποιητικό. Το να βρεθεί μια θεμελιώδης εξίσωση, ιδανικά προερχόμενη από τις θεμελιώδεις αρχές της ΤΙΜ, θα πρέπει να γίνει τώρα το πιο ενεργό αντικείμενο έρευνας. Γι' αυτόν το σκοπό μπορούμε να κάνουμε μερικές ενδεικτικές νύξεις.

Πρώτον, όλες οι φυσικές θεωρίες έχουν τουλάχιστον έναν τοπικό κι ένα μακρινό θεμελιώδη νόμο.

• Ο τοπικής εμβέλειας νόμος περιγράφει πώς το σύστημα που μελετάμε συμπεριφέρεται.
• Ο νόμος της μακρινής απόστασης περιγράφει πώς το υπόλοιπο σύμπαν 'συμπεριλαμβάνεται' .

Προσπαθώντας να επιλύσουμε αυτήν την αντίθεση ερχόμαστε στη δεύτερη παρατήρηση, χρησιμοποιώντας τη βαρυτική αλληλεπίδραση. Η μάζα και η ενέργεια παίζουν δύο συμπληρωματικούς ρόλους στη γενική σχετικότητα. Τοπικά, η μάζα αντιστέκεται στην κίνηση. Συμπαντικά, η μάζα προκαλεί την αλλαγή. Η σχέση E = hν συνδέει αυτές τις δύο όψεις κι επομένως θα πρέπει να υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στην δυαδικότητα κύμα-σωματίδιο και στη δυαδικότητα τοπικό- μακρινό.

Η μακρινής κλίμακας προοπτική που 'περιλαμβάνει' το υπόλοιπο σύμπαν περιέχει από κατασκευή πολλούς περισσότερους βαθμούς ελευθερίας απ' ότι η τοπικής κλίμακας. Είναι επομένως εύλογο να υποθέσουμε ότι μία στατιστική ανάλυση είναι απαραίτητη ώστε να προκύψουν οι τοπικές και μακρινές σχέσεις από την ίδια αρχή. Μία άλλη παρατήρηση μας δίνει αισιοδοξία προς αυτή τη κατεύθυνση. Ο θεμελιώδης νόμος μαζί για την κβαντομηχανική και τη γενική σχετικότητα εστιάζει γύρω από την ενέργεια. Γνωρίζουμε από τον Boltzmann ότι υπάρχει μια σαφής σχέση ανάμεσα στους βαθμούς ελευθερίας και την εντροπία. Γνωρίζουμε επίσης ότι για ένα κλειστό σύστημα υπάρχει μια ευθεία σχέση ανάμεσα στην εντροπία και την ενέργεια (dU = T dS, όπου U η ενέργεια, S η εντροπία και T η θερμοκρασία). Είναι επομένως εύλογο να υποθέσουμε ότι η μελλοντική 'θεμελιώδης εξίσωση' θα προέλθει από τη μεταχείριση του χρόνου και της ενέργειας με όρους στατιστικής επιλογής.


ΥΣ1. Θα μπορούσαμε άραγε να αναπαραστήσουμε τα φυσικά φαινόμενα με άλλον τρόπο συμβολικό μη μαθηματικό; Υπάρχουν τα μαθηματικά (οι αριθμοί) ως αντικειμενικές φυσικές οντότητες μέσα στο σύμπαν ή είναι μία ανθρώπινη εφεύρεση για την κατανόηση ενός σύμπαντος που πρακτικά δεν έχει ούτε αρμονία ούτε γεωμετρία; Ήταν οι εξισώσεις απαραίτητες για να πάμε στο φεγγάρι ή αποτελούν μόνο ένα τρόπο να περιγράψουμε την ιστορία του ταξιδιού μας; Ο περισσότερος κόσμος πιστεύει πως τα μαθηματικά έχουν μίαν 'αντικειμενική' υπόσταση μέσα στο σύμπαν, το οποίο θα βασίζεται στη γεωμετρία για να εκφράσει την αρμονία και τη συμμετρία του. Στην πραγματικότητα όμως οι μαθηματικές σχέσεις προέκυψαν μέσα από την εξέλιξη του σύμπαντος, το οποίο ας μην ξεχνάμε κάποτε θα ήταν μία χωρίς μαθηματικά και γεωμετρία κουκίδα-μοναδικότητα. Θα πρέπει επίσης να θυμηθούμε ότι αρχαίοι λαοί χρησιμοποίησαν μη μαθηματικούς τρόπους κατανόησης και αντιμετώπισης του κόσμου, μέσω των ιερογλυφικών ή του διαλογισμού. Έχουν όμως όλες οι μέθοδοι προσέγγισης της πραγματικότητας μια βαθύτερη μαθηματική δομή; Το ερώτημα μπορεί και να αναστραφεί: Μήπως τα μαθηματικά, έχουν μια βαθύτερη και άγνωστη προς το παρόν ουσία; Δεν θα επιχειρηματολογήσω ούτε υπέρ ούτε κατά της μίας ή της άλλης άποψης. Αυτό που εδώ έχει σημασία είναι το πώς διαμορφώνονται τα όποια συμπεράσματά μας μέσα από τη φύση της διαδικασίας που χρησιμοποιούμε για να τα συνάγουμε. Πέρα δηλαδή από τις όποιες αρχικές μας συνθήκες και παραδοχές και πέρα από κάποιους συνειδητούς ή ενστικτώδεις μας 'πόθους' σχετικά με την έκβαση της διαδικασίας, η ίδια της η μορφή, η δομή και η εξέλιξη φαίνεται να μας επιβάλλει μια πραγματικότητα η οποία κάτω από διαφορετικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι και τελείως διαφορετική.


Το παραπάνω κείμενο (εκτός όπου αναφέρω) αποτελεί μετάφραση από το κείμενο 'A Theory of Incomplete Measurements', του Christophe de Dinechin.