11/28/08

Το ρήμα 'Είμαι'





The Verb to Be


"I know despair in its broad outlines. Despair has no wings, it is not necessarily found at a cleared table upon a terrace, in the evening by the seaside. It is despair and it is not the return of a quantity of little facts like seeds leaving one furrow for another at nightfall. It is not moss upon a stone or a drinking glass. It is a boat riddled with snow, if you please, like birds falling, and their blood has not the slightest thickness. I know despair in its broad outlines. A very small form, fringed by jewels of hair. It is despair. A necklace of pearls for which a clasp can never be found and whose existence does not hold even by a thread, that is despair. As for the rest, let's not speak of it. We haven 't finished despairing if we begin. I myself despair of the lampshade around four o'clock, I despair of the fan around midnight, I despair of the condemned man's last cigarette. I know despair in its broad out- lines. Despair has no heart, the hand always remains in despair out of breath, in despair whose death we are never told about by mirrors. I live off this despair which so enchants me. I love that blue fly streaking in the sky at the hour when the stars hum their song. I know in its broad outlines despair with its long, slim breaches, the despair of pride, the despair of anger. I rise every day like everyone and I stretch out my arms on a flowered wall-paper, I remember nothing and it is always with despair that I discover the lovely uprooted trees of the night. The air of the room is lovely like drumsticks. It is time weather. I know despair in its broad outlines. It is like the curtain wind giving me a helping hand. Can you imagine such despair: Fire, fire! Ah they are still going to come… Help! There they are falling down the stairs…And the newspaper advertisements, and the illuminated signs along the canal. Sandpile, go on with you, you old sandpile! In its broad outlines despair has no importance. It is a drudgery of trees that is going to make a forest again, a drudgery of stars that is going to make one less day again, a drudgery of days fewer which will again make up my life."


Το Ρήμα Είμαι


«Γνωρίζω την απόγνωση σε γενικές γραμμές. Η απόγνωση δεν έχει φτερά, δεν έχει να κάνει απαραίτητα μ’ ένα συγυρισμένο τραπέζι σε μια ταράτσα, το απόγευμα, δίπλα στην ακροθαλασσιά. Είναι η απόγνωση και δεν είναι η επιστροφή μιας ποσότητας ασήμαντων γεγονότων σαν σπόρους που αφήνουν τη νύκτα που έρχεται ένα αυλάκι στη γη για ένα άλλο. Δεν είναι το μούσκλο πάνω στην πέτρα ή σ’ ένα ποτήρι. Είναι μια βάρκα γεμάτη με χιόνι, αν προτιμάτε, σαν πουλιά που πέφτουν, και το αίμα τους δεν έχει την παραμικρή πυκνότητα. Γνωρίζω την απόγνωση σε γενικές γραμμές. Μια πολύ μικρή μορφή, περιστοιχισμένη από κόσμημα μαλλιών. Είναι η απόγνωση. Ένα περιδέραιο με χάντρες για το οποίο δεν μπορεί ποτέ να βρεθεί μια αγκράφα και του οποίου η ύπαρξη δεν κρέμεται ούτε από μια κλωστή, να η απόγνωση. Όσο για τα υπόλοιπα, ας μη μιλήσουμε καλύτερα. Δεν τελειώσαμε να απελπιζόμαστε, αν ξεκινήσαμε ποτέ. Εγώ ο ίδιος απελπίζομαι για το κάλυμμα της λάμπας γύρω στις 4 η ώρα, απελπίζομαι με τον ανεμιστήρα τα μεσάνυχτα, απελπίζομαι με του καταδικασμένου το τελευταίο τσιγάρο. Γνωρίζω την απόγνωση σε γενικές γραμμές. Η απόγνωση δεν έχει καρδιά, το χέρι πάντα παραμένει μ’ απόγνωση χωρίς ανάσα, μ’ απόγνωση της οποίας το γυαλί δε θα μας πει ποτέ αν πέθανε. Ζω γι’ αυτήν την απόγνωση που τόσο με χαροποιεί. Μου αρέσει αυτή η μπλε μύγα που πετά στον ουρανό την ώρα που τ’ αστέρια σιγοτραγουδούνε. Γνωρίζω στις γενικές της γραμμές την απόγνωση με τις μακρόσυρτες, καταιγιστικές εκπλήξεις, την απόγνωση της υπερηφάνειας, την απόγνωση του θυμού. Σηκώνομαι κάθε μέρα όπως ο καθένας και απλώνω τα χέρια σε μια ταπετσαρία με λουλούδια, δε θυμάμαι τίποτα και είναι πάντα με απόγνωση που αποκαλύπτω υπέροχα δέντρα ξεριζωμένα από τη νύχτα. Ο αέρας του δωματίου είναι υπέροχος σαν μπαγκέτες τυμπάνου. Κάνει έναν καιρό των καιρών. Γνωρίζω την απόγνωση στις γενικές γραμμές. Είναι σαν τον άνεμο της κουρτίνας που μου δίνει ένα κράτημα. Δεν έχετε ιδέα μιας τέτοιας απόγνωσης! Φωτιά! Ω, και πάλι θα έρθουν… Βοήθεια! Να που πέφτουν από τις σκάλες… Και οι αγγελίες της εφημερίδας, και οι φωτεινές διαφημίσεις κατά μήκος του καναλιού. Σωροί της άμμου, χαθείτε, παλιοσωροί της άμμου! Σε γενικές γραμμές η απόγνωση δεν έχει σημασία. Είναι μια αγγαρεία των δέντρων που και πάλι θα φτιάξει ένα δάσος, είναι μια αγγαρεία των άστρων που θα κάνει ξανά μια μέρα λιγότερο, είναι αγγαρεία λιγότερων ημερών που και πάλι θα φτιάξουν τη ζωή μου.»

11/22/08

Εμπειρία κόντρα στη θεωρία



"Ό,τι κι αν ήταν πριν το δούμε και το ερμηνέψουμε, δε θα είναι ποτέ το ίδιο ξανά, καθώς υπάρχει μέσα στις σκέψεις μας και ταυτόχρονα μέσα στον ίδιο τον κόσμο."

Πίνακας: Nikolai Atanassov - Fragments of Reality, 2006.

Ζούμε σε μια αποσπασματική πραγματικότητα. Οι γνώσεις μας για τον κόσμο είναι ψήγματα μπροστά σε όλη τη γνώση που μπορεί να υπάρχει, έτσι ώστε αγωνιούμε για να ανασυνθέσουμε την πλήρη εικόνα του κόσμου, μέσα στον οποίο ζούμε. Ο εγκέφαλός μας παίρνει τα κομμάτια που συλλέγει από τις αισθήσεις και τα ανασυνθέτει, ώστε να σχηματίσει μια ολική εικόνα για την πραγματικότητα.


Impossible cube

Η λογική μας είναι το όπλο στην προσπάθεια κατανόησης του κόσμου. Θα μπορούσαμε να αναπαραστήσουμε τη λογική μας μ' έναν κύβο στη μέση του τίποτε. Ο ανθρώπινος εγκέφαλος, μέσω των αισθήσεων, προσπαθεί να αναπαραστήσει τον κόσμο ολιστικά. Ακόμη δηλαδή κι αν του δώσουμε μιαν αποσπασματική εικόνα, τότε θα προσπαθήσει αμέσως να την ανασυνθέσει εξολοκλήρου. Τα άτοπα στα οποία μπορεί ο εγκέφαλος και η ανθρώπινη λογική να καταλήξουν φαίνονται χαρακτηριστικά στο πώς κάποιος μπορεί να κατασκευάσει έναν 'μακροσκοπικό' απίθανο κύβο:




Photos of impossible figures

Αυτό που οι μαθηματικοί έκαναν μέσω της προβολής, οι ζωγράφοι το επίτευξαν μέσω της προοπτικής. Όλοι μας αναγνωρίζουμε σε κάποιον πίνακα το 'βάθος' του τοπίου. Οι κατακερματισμένες αλλά περίτεχνα βαλμένες πινελιές του ζωγράφου δίνουν μια συνολική εικόνα και αίσθηση. Στον επόμενο πίνακα ο Magritte μας υπενθυμίζει ότι η εικόνα (θεωρία) και το πραγματικό αντικείμενο (εμπειρία) δεν ταυτίζονται απαραίτητα.


Magritte's pipe

Είναι η Γη σφαιρική;



Η στερεοσκοπική προβολή χρησιμοποιώντας συστήματα συντεταγμένων ήταν μια σοβαρή και δύσκολη προσπάθεια του ανθρώπινου μυαλού, μέσω των μαθηματικών να πραγματοποιήσει το φαινομενικά αδύνατο: Να αποτυπώσει σε ένα επίπεδο ένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Τα κατάφερε. Πώς όμως; Επειδή ο εγκέφαλος μας επιβάλλει την άποψη πως η Γη είναι σφαιρική. Στην πραγματικότητα δηλαδή τα μάτια μας βλέπουν αυτό που ο εγκέφαλος θέλει. Αν 'ξεχάσουμε' προς στιγμή πως η Γη είναι σφαιρική, τότε απλά θα δούμε ένα 'γήινο δίσκο' πάνω σε μια επιφάνεια.

Περισσότερες διαστάσεις απ' όσες το μάτι μπορεί να δει


A manifold

Πριν 500 χρόνια πιστεύαμε πως η Γη ήταν επίπεδη. Τώρα είμαστε σίγουροι πως η Γη είναι σφαιρική. Τι άλλαξε; Μια νέα θεωρία, επέβαλε την άποψή της στην προηγούμενη εμπειρία. Μία ακόμη πιο νέα θεωρία, λέει πης η Γη είναι κάτι σαν ένα 4- διάστατο συνεχές μέσα σ' έναν υπερχώρο συνολικά 10-11 διαστάσεων. Άραγε θα καταφέρουμε κάποτε να δούμε τη Γη σαν μία υπερσφαίρα;

Υπάρχει μια ενιαία θεωρία των πάντων;


Einstein's field equation

Ο εγκέφαλός μας όταν αναγνωρίζει μια πρόταση, σπεύδει να την κατανοήσει μ' έναν όσο το δυνατό απλούστερο και άμεσο τρόπο. Η παραπάνω ερώτηση και τύπος (εξισώσεις πεδίου της σχετικότητας) αποτελούνται στην πραγματικότητα από ετερόκλητες λέξεις και σύμβολα οι οποίες αποκτούν για τον εγκέφαλο μια καθολική και αναμφισβήτητη σχέση και σημασία.

Αυτό δεν είναι ένα UFO.


Lenticular cloud

Ο εγκέφαλός μας πάντως, πολλές φορές μας επιβάλλει εικόνες από πράγματα που δεν υπάρχουν, το βλέπουμε χαρακτηριστικά και στην προηγούμενη φωτογραφία. Αν δεν ξέραμε ότι πρόκειται για ένα ατμοσφαιρικό φαινόμενο, θα ήμασταν πεπεισμένοι ότι πρόκειται για ιπτάμενο δίσκο. Σε αυτήν την περίπτωση θα υπήρχε πλήρης διάσταση ανάμεσα σε αυτό που βλέπουμε και αυτό που νομίζουμε πως βλέπουμε.

Η σχέση ανάμεσα στη θεωρία και στην εμπειρία.


Gershon's chess

Η σύγκρουση ανάμεσα στην εμπειρία και στη θεωρία μοιάζει με μια παρτίδα σκάκι. Τα μάτια μας εντοπίζουν τη θέση των διάφορων πιονιών πάνω στη σκακιέρα, ενώ το μυαλό μας ταυτόχρονα καταστρώνει τις επόμενες στρατηγικές κινήσεις, χρησιμοποιώντας κάποιους λογικούς επιτρεπτούς συνδυασμούς. Οι κανόνες με τους οποίους λειτουργούν τόσο οι αισθήσεις όσο και ο εγκέφαλος είναι δεδομένοι και απαράβατοι. Σε αντίθετη περίπτωση χάνουμε το 'παιχνίδι της πραγματικότητας'. Αυτή η διαπίστωση δεν μας εμποδίζει βέβαια ούτε να σκεφτόμαστε πρωτότυπα ούτε και να πιστεύουμε στα φαντάσματα. Έχει όμως σημασία να κατανοήσουμε πως όλες οι οπτασίες μας καθώς και όλες οι παράτολμες θεωρίες μας πηγάζουν μέσα από τις ανθρώπινες λειτουργίες και δομές. Η πρόταση: 'Τι να υπάρχει έξω από εμάς;' είναι αλήθεια πως βρίσκεται μέσα μας, μαζί με όλες τις θεωρίες, τις πεποιθήσεις και τα οράματά μας.

Περαιτέρω: Beyond Escher for Real

11/17/08

Το κυνήγι των Squarks


Αν το φορτίο του να γράφει κάποιος αηδίες ερχόταν ενώπιον του συγγραφέα, θα βασιζόταν στην παρακάτω πρόταση: “Τότε το κοντάρι της πλώρης μπερδεύτηκε με το πηδάλιο.” Εν όψει αυτής της οδυνηρής πιθανότητας, δε θα στηριχτώ στ' άλλα μου γραπτά σαν απόδειξη ότι είμαι ανήμπορος για κάτι τέτοιο: Δεν θα τονίσω τον ισχυρό ηθικό σκοπό αυτού του ποιήματος, τις αριθμητικές αρχές τόσο προσεχτικά ενσωματωμένες, ή τις ευγενείς διδαχές του στη φυσική ιστορία... Αφήστε με όμως να εξηγήσω πώς προφέρεται η έκφραση “slithy toves.” Το “i” στο “slithy” είναι μακρύ, όπως στο “writhe” και η λέξη “toves” προφέρεται έτσι ώστε να κάνει ρίμα με τη λέξη “groves.” Πάλι, το πρώτο “o” στο “borogoves” προφέρεται σαν το “o” στο “borrow.” Έχω ακούσει ανθρώπους να το προφέρουν σαν το “o” στο “worry”. Τέτοια είναι η Ανθρώπινη Διαστροφή. Αυτό μοιάζει επίσης μια ταιριαστή περίπτωση να παρατηρήσουμε τις άλλες δύσκολες λέξεις στο ποίημα..., η περίπτωση δύο νοημάτων μέσα σε μία λέξη όπως σ' ένα portmanteau, μου φαίνεται η κατάλληλη εξήγηση για όλα. Για παράδειγμα, πάρτε τις λέξεις “fuming” and “furious.” Αν οι σκέψεις σας τείνουν έστω και λίγο στο “fuming,” θα πείτε “fuming-furious”, αν τείνουν στο “furious,” θα πείτε “furious-fuming”. Αν όμως έχετε το σπανιότερο των ταλέντων, ένα πλήρως ισορροπημένο μυαλό, θα πείτε “frumious.”

Lewis Carroll, from 'The Hunting of the Snark'.

Κάτι σχετικά με τα φαντάσματα


Ένα φάντασμα είναι μια φανταστική οντότητα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει σ' ένα φανταστικό κόσμο, όχι σ' έναν ανύπαρκτο. Προσωπικά δεν έχω δει κάποιο φάντασμα- τουλάχιστον έτσι πιστεύω, αλλά επίσης πιστεύω άλλους ανθρώπους που έχουν δει. Πιστεύω επίσης και άλλους ανθρώπους που έχουν δει στοιχειώδη σωματίδια και μιλάνε με βεβαιότητα για έννοιες όπως ενέργεια, βαρύτητα, εντροπία, κοκ, παρότι οι ίδιοι μπορεί να μην πιστεύουν σε φαντάσματα. Κατά τη γνώμη μου, αυτό που μένει τελικά είναι μάλλον να αποδεκτούμε την ύπαρξη των φαντασμάτων, αλλά να συμφωνήσουμε για το τι είναι πράγματι φαντάσματα. (Η εικόνα από εδώ).

Ο ζωολογικός κήπος των στοιχειωδών σωματιδίων.

 
Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το βασικό μοντέλο ενός ατόμου υδρογόνου. Ο πυρήνας του αποτελείται από ένα πρωτόνιο, το οποίο με τη σειρά του συντίθεται από τρία quarks, δύο 'up' και ένα 'down'. Τα quarks δένονται μεταξύ τους με τα γκλουόνια (gluons), τα οποία είναι φορείς της ισχυρής πυρηνικής δύναμης. Το ηλεκτρόνιο δένεται με τη σειρά του με το πυρήνα με τα φωτόνια, τα οποία είναι φορείς της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης. Το μοντέλο των quarks, προτάθηκε ανεξάρτητα από τους Murray Gell-Mann και George Zweig, το 1964. Η θεωρία αυτή αποδείχθηκε το 1968, όταν μέσω συγκρούσεων ηλεκτρονίων και πρωτονίων αποκαλύφτηκε μια βαθύτερη δομή 'τριών σφαιρικών περιοχών' μέσα στο πρωτόνιο.



Εκτός από τα quarks, 6 στο σύνολο, υπάρχουν άλλα 6 λεπτόνια (ηλεκτρόνιο, μιόνιο και ταυ σωματίδιο, καθώς και τα 3 νετρίνα των προηγουμένων.) Τα προηγούμενα είναι τα στοιχειώδη σωματίδια που δομούν την ύλη. Υπάρχουν επίσης τα στοιχειώδη σωματίδια φορείς των δυνάμεων. Τα φωτόνια της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης, τα W+/W- και Z της ασθενούς πυρηνικής δύναμης, τα (8 στον αριθμό) g γκλουόνια της ισχυρής πυρηνικής δύναμης, καθώς βέβαια και το Higgs μποσόνιο, που ακόμη δεν έχει ανακαλυφτεί. Όλα αυτά στο Πρότυπο Μοντέλο (Standard Model) της πυρηνικής φυσικής, γιατί από την άλλη μεριά στην 'μακροσκοπική' φυσική, υπάρχουν τα γκραβιτόνια, φορείς της βαρύτητας, καθώς κι ένα πλήθος άλλων σωματιδίων υποθετικών, δηλαδή theoreticals, όπως τα ταχυόνια, που θα τρέχουν με ταχύτητα μεγαλύτερη από το φως, τα αξιόνια, σωματίδια που ζουν σε ανώτερες διαστάσεις, καθώς επίσης και τα αποκαταστασιόνια, τα οποία ανακάλυψε πρόσφατα ένας φίλος φυσικός (και μπορείτε φαντάζομαι να μαντέψετε τι είναι). Εξού λοιπόν και η ορολογία 'Ο ζωολογικός κήπος των στοιχειωδών σωματιδίων' (Particle Zoo).

As a matter of speach (Σαν τρόπος του λέγειν)




Η κοινή γλώσσα έχει τη δική της δομή. Αποτελείται από θεμελιώδεις οντότητες που ονομάζονται γράμματα (letters ή lettrons αν θέλετε), με τα οποία μπορούμε να σχηματίσουμε μεγαλύτερες δομές, μόρια- λέξεις και φράσεις- κύτταρα. Έχει επίσης τους δικούς της 'φυσικούς' νόμους συνοχής και συνέπειας και, παραδόξως, μπορεί να έχει και νόημα. Μα η μεγαλύτερη αλήθεια απ' όλες της γλώσσας, είναι ότι ο Λόγος μπορεί να δημιουργήσει την Ύλη. Λέμε για παράδειγμα: Άτομα, μόρια, δυνάμεις, ενέργεια, εντροπία, και σε τελική ανάλυση είναι η δομή και η δύναμη των λέξεων που δίνει ύπαρξη σ' αυτές τις έννοιες και οντότητες, οι οποίες βέβαια στη συνέχεια μένει να ανακαλυφτούν σε κάποιο εργαστήρι. Υπάρχουν πράγματι τα φωτόνια; Τα υποθέτουμε, τα μετράμε, τα 'βλέπουμε', αλλά τελικά δεν υπάρχουν. Άρα δεν είναι μόνον ''As a matter of speech'', είναι επίσης και ίσως περισσότερο 'As a speach of matter'. Και της ενέργειας ισοδύναμα. (Η φωτογραφία από εδώ.)

Η ηθική σαν ένα λογικό σύστημα (και το κυνήγι των Squark)

(Πίνακας M.C Escher) 

Τα portmanteau (σύνθετες λέξεις), όπως και η καρκινική γραφή (φράση που διαβάζεται και ανάποδα), είναι κοινή τεχνική όχι μόνο στη τέχνη, αλλά και στη φυσική. Μιλάμε για κυματοσωματίδια ή απλά κυματίδια (Wavicles), για χωροχρόνο (Spacetime), θα μπορούσαμε επίσης να μιλάμε για Υλενέργεια (Mattergy) ή ακόμη και για Ονειρότητα (Dreamality). Κάνουμε λόγο επίσης για ζεύγη ύλη- αντιύλη, ύλη- υπερσυμμετρική ύλη, άνδρας-γυναίκα, καλό-κακό, κοκ. Θεωρούμε επίσης πως όλες οι φυσικές διαδικασίες είναι γραμμικές, ομογενείς και αντιστρεπτές, ώστε να εκφράζονται μέσα από ισότητες. Εξαιρούμε βεβαίως τον αμείλικτο 2ο Θερμοδυναμικό νόμο. Ο οποίος όμως ισχύει πάντοτε. Τότε, και για να απαλλάξουμε τις σκέψεις μας από αυτόν το φαύλο κύκλο, 'εφευρίσκουμε' νέες καταστάσεις, έξω από το συνηθισμένο μας κόσμο, όπως επιπλέον διαστάσεις, υπερσυμμετρία, νέα θρησκεία, νεο- Σουρεαλισμό, κοκ. Θα μπορούσαμε ακόμη να υποθέσουμε έναν κόσμο που να αποτελείται πλέον όχι από σωματίδια, αλλά από ιδεόνια (ideals ή ideons). Δεν ξέρω αν αυτή η έννοια επίσημα υπάρχει. Έτσι κι αλλιώς υπάρχει τουλάχιστον από τώρα. Η σκέψη μας σαν ένα λογικό-ηθικό σύστημα (δηλαδή boolean και αιτιολογικό), αγκαλιάζει αυτά τα 'ψυχοειδή', τα ideons, των 'άλλων' διαστάσεων. Η ανθρώπινη δύναμη της αναδημιουργίας. Τα όριά μας. Τι έρχεται μετά; O Carrol Lewis έγραψε το The hunting of the Snark. Εμείς θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για το 'The hunting of the Squarks', όπου Squarks= Silly quirky larks . Είμαι βέβαιος ότι στο τέλος θα τα βρούμε...


11/11/08

Η παντοδυναμία των υποθέσεων και το παράδοξο του Θεού


Για πολλούς, η ύπαρξη του θεού είναι θέμα πίστης. Η πίστη, θα έλεγε κάποιος, είναι μια ιδιότητα του ανθρώπου έξω από τη σφαίρα της λογικής. Πιστεύω όμως πως η πίστη τελικά είναι ένα άλλο λογικό σύστημα, το οποίο ωστόσο εμπεριέχει και την αντίφαση, ως ένα πιθανό και θεμιτό ενδεχόμενο. Για παράδειγμα αν δεχτούμε την ύπαρξη του θεού, τότε πώς εξηγούμε το γεγονός ότι την αντιλαμβανόμαστε; Αυτά βεβαίως είναι λογικά επιχειρήματα. Στην πραγματικότητα όμως η πίστη μας στο θεό και γενικότερα στο υπερφυσικό στηρίζεται σε μια ερμηνεία που ο άνθρωπος έδωσε, κάποια στιγμή στην εξέλιξή του, και η οποία στη συνέχεια διαδόθηκε ιστορικά, σχετικά με το σύνολο των πραγμάτων που δεν καταλάβαινε. Η πίστη ουσιαστικά ανήκει στο λογικό σύστημα, ως μία ατεκμηρίωτη απόδοση μιας, εκ φύσεως πραγματικής, υπόθεσης.

Η λογική διαδικασία

"Σαν βγεις στον πηγαιμό για την Ιθάκη..."

Στη λογική μας τεκμηρίωση χρησιμοποιούμε παραδοχές (υποθέσεις) τις οποίες θεωρούμε αξιωματικά σωστές και με τις οποίες βγάζουμε λογικά συμπεράσματα (συνέπειες), χρησιμοποιώντας κάποιους θεμιτούς λογικούς συλλογισμούς. Ωστόσο, θεωρώντας μιαν υπόθεση αληθινή πέρα από κάθε λογική αμφιβολία, κτίζουμε μία πραγματικότητα που πολλές φορές μπορεί να είναι παράλογη ή αδιέξοδη, χωρίς να μπορούμε να διορθώσουμε αυτήν την παραδοξότητα, μόλις τα συμπεράσματα των παραδοχών μας αποδειχτούν αντιφατικά.

Η 'θεϊκή' προέλευση των υποθέσεων

«Είμαι σίγουρος ότι πρόκειται να πεθάνω,
αλλά έχω μια τάση να το αμφισβητώ διαρκώς.»

Στην προηγούμενη πρόταση βλέπουμε το βασικό χαρακτηριστικό των υποθετικών, την εκ των προτέρων ισχύ τους. Τα υποθετικά έχουν μια σχεδόν ‘θεία’ προέλευση, αφού τα δεχόμαστε ως αυθεντικά εξαρχής. Ακόμα κι αν στη συνέχεια τα αμφισβητήσουμε, τα δεχόμαστε τουλάχιστον ως μια 'βαθύτερη ουσία' της συλλογιστικής . Αυτό δεν είναι τυχαίο. Η λογική μας προέρχεται από τη βαθύτερη δομή και λειτουργία της σκέψης. Πρώτα 'σκεφτόμαστε' κι έπειτα συνειδητοποιούμε αυτό που σκεφτήκαμε, ανεξάρτητα αν το ερέθισμα είναι εξωτερικό ή οργανικό. Γι αυτό άλλωστε αποδίδουμε ενστικτωδώς μια 'μεταφυσική' σημασία στις σκέψεις, επομένως και στις υποθέσεις μας, αφού μοιάζουν να έχουν δημιουργηθεί πριν καλά- καλά να το αντιληφτούμε.

Η αυτοαναφορά (self- reference) των υποθετικών προτάσεων:

«Αυτή δεν είναι μία πρόταση»

Το σύνολο των διανοημάτων μας, αποτελεί ένα λογικό σύστημα. Ένα από τα χαρακτηριστικά ενός λογικού συστήματος θεωρείται η πληρότητα. Επομένως το σύστημα της λογικής θεωρείται ένα κλειστό σύστημα. Είναι κλειστό γιατί στερείται ενός 'εξωτερικού περιβάλλοντος' στη διαμόρφωση της πραγματικότητας. Η λογική λειτουργεί πάντοτε εγωκεντρικά και γι αυτό της είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποδεχτεί άλλες 'λογικές απόψεις' έξω από τις δικές της. Στην προηγούμενη πρόταση βλέπουμε την αδυναμία της λογικής να αναγνωρίσει το υποκείμενο και να διερωτηθεί, 'ποια πρόταση;'

Η αρχή της συνέπειας (bivalence)

«Κάτι μπορεί να είναι μαύρο και άσπρο,
αλλά όχι λάθος και σωστό»

Ένα υποθετικό ισχύει, ανεξάρτητα από το αν είναι σωστό ή λάθος. Επομένως δύο υποθέσεις μπορούν να είναι ή να οδηγούν σε αντικρουόμενα πορίσματα, τα οποία και θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε, χωρίς να εξαλείψουμε τα απαραίτητα υποθετικά. Μια υπόθεση μπορεί να έχει περισσότερες από μία συνέπειες (sequences). Όπως φαίνεται στην προηγούμενη πρόταση κάτι δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστό και λάθος, αλλά αν είναι λάθος, αυτό το γεγονός δεν εμποδίζει την υπόθεση να υπάρχει.

Η αρχή της συνοχής (soundness)

«Θεωρούμε πως στον κόσμο υπάρχει μια ενιαία οντότητα,
που καλείται χωροχρόνος»

Στην τέχνη, οι αντιφάσεις είναι μια καθημερινότητα, και όχι μόνο δεν εμποδίζουν τη φυσική τάξη του κόσμου και της σκέψης, αλλά και βοηθούνε στη σύνθεσή της. Ο σουρεαλισμός έφερε συχνά στο προσκήνιο αυτή τη φαινομενική δυσαρμονία, καταφέρνοντας όμως στο τέλος να αποδώσει μια, αν όχι κατανοητή, τουλάχιστον 'αποδεκτή' συνολική εικόνα. Πρόσφατα και η φυσική αναγνώρισε αυτή την αναγκαιότητα. Η ενότητα του χώρου και του χρόνου αποτελεί έναν από τους βασικούς δομικούς λίθους των σύγχρονων φυσικών μοντέλων. Σε κάθε περίπτωση, θα υπάρχουν κάποιοι μαθηματικοί, ή 'αισθητικοί' στην τέχνη, κανόνες, που θα οδηγούν στα 'αληθή' συμπεράσματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι οι αρχικές υποθέσεις παραμένουν ατεκμηρίωτες.

Η παντοδυναμία των υποθετικών

«Είναι δυνατόν ο Θεός να φτιάξει μια πέτρα
που να μην μπορεί να τη σηκώσει;»


Πρόκειται γα το κλασσικό 'Παράδοξο του Θεού' (The God paradox). Μπορούμε να αναλύσουμε το πρόβλημα στις εξής υποθέσεις- προτάσεις

(Α) Ο Θεός υπάρχει
(Β) Ο Θεός είναι παντοδύναμος
(C) O Θεός μπορεί να φτιάξει μια πέτρα πολύ βαριά να τη σηκώσει

Καταστρώνουμε λογικούς συλλογισμούς

Αν η (C) είναι αλήθεια τότε, αν η (Α) είναι αλήθεια, η (Β) δεν είναι αλήθεια.
Αν η (Α) είναι αλήθεια, τότε η (Β) είναι αλήθεια.

Βλέπουμε πόσο γρήγορα καταλήξαμε σε αντίφαση. Η (Β) είναι μαζί αλήθεια και ψέματα. Αν τώρα αλλάξουμε το τρίτο υποθετικό (C) να λέει 'O Θεός δεν μπορεί να φτιάξει μια πέτρα πολύ βαριά να τη σηκώσει', τότε καταλήγουμε πάλι σε άτοπο. Και στις δύο περιπτώσεις ο πρώτος συλλογισμός μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο Θεός δεν είναι παντοδύναμος, αλλά ο δεύτερος μας λέει ότι θα πρέπει να είναι. Επομένως ο Θεός λογικά δεν υπάρχει.

Η σχετικότητα των λογικών συλλογισμών

«Γιατί κάτι δεν μπορεί να είναι λάθος και αληθές;»

Στο προηγούμενο παράδειγμα διαπιστώσαμε το πόσο τρωτή είναι η λογική. Είδαμε την καθολική ισχύ των υποθέσεων, τις οποίες δεχόμαστε όπως έχουν, ως αληθινά δεδομένα, και τις οποίες χρησιμοποιούμε ύστερα για να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα. Μόνο που προηγουμένως αποδείξαμε πως αν ο Θεός είναι παντοδύναμος δεν μπορεί να υπάρχει. Η δύναμή του θα πρέπει να είναι σχετική. Κατά τον ίδιο τρόπο οι υποθέσεις μας έχουν καθεμιά τη δική της ισχύ και υπάρχουν ανεξάρτητα από την παραδοξότητά τους, αφού και αν τις αλλάξουμε, καταλήγουμε πάλι σε αντιφατικά συμπεράσματα. Αλλά και να τις καταργήσουμε δεν μπορούμε, γιατί σε αυτή την περίπτωση το λογικό μας σύστημα θα γίνει πιο φτωχό, δηλαδή όχι μόνο χωρίς θεό, αλλά χωρίς πληθώρα άλλων 'διασκεδαστικών' μας υποθέσεων.

Ωστόσο απ' όλη την προηγούμενη ανάλυση, βλέπουμε πως υπάρχει τελικά μια ποσότητα (ιδιότητα) της λογικής που διατηρείται. Είναι η συνέχεια του συστήματος, δηλαδή οι λογικές διαδικασίες που μεσολαβούν ανάμεσα στις υποθέσεις και στα συμπεράσματα. Αυτό που έχει σημασία είναι όχι τόσο η συνέπεια ή η πληρότητα, όσο αυτή η συνέχεια, καθώς και η απόδοση στο λόγο κάποιας αρμονίας και ουσίας. Και όσο κι αν ακούγεται κάτι τέτοιο 'μάταιο', θα πρέπει μάλλον να αρχίσουμε να το δεχόμαστε ως μια νέα παντοδύναμη υπόθεση!


ΥΣ. ---Το παρόν post έρχεται σαν απάντηση σε email σχετικά μ' ένα προηγούμενο post, 'Ένα λογικό παράδοξο, από τον Lewis Carroll'. ---




Ένα λογικό παράδοξο, του Lewis Carroll

«Ορίστε, τίποτε να κάνεις;» είπε ο Θείος Jim. «Τότε έλα μαζί μου στου Allen. Και μπορείς να βρεις κάτι να κάνεις όσο θα με ξυρίζει.»

«Εντάξει,» είπε ο θείος Joe. «Και το Cub καλύτερα να έρθει μαζί μας, υποθέτω;»

Το ‘Cub’ ήμουν εγώ, όπως ο αναγνώστης θα έχει μάλλον καταλάβει για τον εαυτό του. Μόλις έκλεισα τα δεκαπέντε- εδώ και περισσότερο από τρεις μήνες. Αλλά δεν έχει νόημα να αναφέρω αυτό στο θείο Joe. Θα έλεγε απλά «Πήγαινε στο κουββούκλι σου (cubbicle), μικρέ!» ή «Τότε να υποθέσω ότι μπορείς να λύσεις κυββικές (cubbic) εξισώσεις;» ή κάποια εξίσου αισχρά λογοπαίγνια. Μου ζήτησε χθες να του δώσω ένα παράδειγμα μιας Πρότασης στο Α. Και του είπα «Όλοι οι θείοι κάνουν αισχρά λογοπαίγνια». Και δε νομίζω ότι του άρεσε. Πάντως, ήμουν αρκετά χαρούμενος που θα πήγαινα. Όντως λατρεύω ν’ ακούω αυτούς τους θείους μου να ‘κατακρεουργούν τη λογική,’ όπως την ονομάζουν. Και είναι καλοί σ’ αυτό, εγώ σας βεβαιώνω!

«Αυτό δεν είναι λογική επαγωγή από το επιχείρημά μου,» είπε ο θείος Jim.

«Ποτέ δεν είπα ότι είναι,» απάντησε ο θείος Joe: «πρόκειται για επαγωγή σε άτοπο».

«Μία αδόκιμη συλλογιστική των Μικρών!» σιγογέλασε ο θείος Jim.

Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο συνεχίζουν, όποτε είμαι μαζί τους. Σαν να ήταν διασκεδαστικό να με αποκαλούν Μικρό!

Μετά από λίγο, ο θείος Jim άρχισε πάλι, μόλις είδαμε από μακριά το κουρείο. «Ελπίζω ότι ο Carr θα είναι μέσα,» είπε. «Ο Brown είναι τόσο αδέξιος. Και το χέρι του Allen τρέμει από τότε που πέρασε εκείνο το πυρετό.»

«Ο Carr σίγουρα θα είναι μέσα,» είπε ο θείος Joe.

«Βάζω στοίχημα ότι δεν είναι!», αποκρίθηκα.

«Άσε τα στοιχήματα,» είπε ο θείος Joe. «Εννοώ»-συνέχισε βιαστικά, βλέποντας από το μορφασμό στο πρόσωπό μου το ολίσθημα που είχε κάνει- «Εννοώ ότι μπορώ να το αποδείξω, λογικά. Δεν είναι θέμα τύχης

«Να το αποδείξεις λογικά!» σάρκασε ο θείος Jim. «Εμπρός λοιπόν! Σε προκαλώ να το κάνεις!»

«Για χάρη του επιχειρήματος,» ο θείος Joe ξεκίνησε να μιλά, «ας υποθέσουμε ότι ο Carr είναι έξω. Και ας δούμε αυτή η παραδοχή πού θα μας οδηγήσει. Θα το κάνω αυτό με την επαγωγή σε άτοπο.»

«Φυσικά έτσι θα κάνεις!» γρύλλισε ο θείος Jim. «Ποτέ δεν άκουσα δικό σου επιχείρημα που να μην καταλήγει σε κάτι άτοπο!»

«Χωρίς να με προκαλούν οι άνανδρές σου λοιδορίες,» είπε ο θείος Joe σ’ ένα χαμηλό τόνο, «συνεχίζω. Αν ο Carr είναι έξω, δέξου το αυτό, τότε αν ο Allen είναι επίσης έξω, ο Brown θα πρέπει να είναι μέσα;»

«Γιατί στο καλό θα πρέπει αυτός να είναι μέσα;» είπε ο θείος Jim. «Δε θέλω ο Brown να με ξυρίσει ! Παραείναι αδέξιος.»

«Η υπομονή είναι μία από εκείνες τις ανεκτίμητες αξίες-» πήγε να πει ο θείος Joe. Αλλά ο θείος Jim τον διέκοψε γρήγορα.

«Επιχειρηματολόγησε», του είπε. «Μην ηθικολογείς

«Ναι, αλλά όντως το δέχεσαι;» επέμεινε ο θείος Joe. «Δέχεσαι ότι αν ο Carr είναι έξω, προκύπτει ότι, αν ο Allen είναι έξω, ο Brown πρέπει να είναι μέσα;»

«Φυσικά και θα πρέπει,» απάντησε ο θείος Jim, «αλλιώς δε θα είναι κανείς στο μαγαζί.»

«Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η απουσία του Carr φέρνει στο προσκήνιο μία συγκεκριμένη Υπόθεση, της οποίας η πρόταση είναι ‘Ο Allen είναι έξω,’ και της οποίας η απόδοση είναι ‘Ο Brown είναι μέσα’. Και βλέπουμε επίσης ότι, όσο ο Carr μένει έξω, αυτή η Υπόθεση παραμένει σε ισχύ;»

«Ωραία, ας υποθέσουμε ότι ισχύει. Και τι μ’ αυτό;» ρώτησε ο θείος Jim.

«Θα δεχτείς επίσης ότι η αλήθεια μιας Υπόθεσης- εννοώ η εγκυρότητά της ως λογική συνέπεια- δεν εξαρτάται καθόλου από το κατά πόσο η πρότασή της είναι πράγματι αλήθεια, ούτε καν κατά πόσο είναι πιθανή. Η Υπόθεση, ‘Αν έτρεχες από εδώ στο Λονδίνο σε πέντε λεπτά θα ξάφνιαζες τον κόσμο,’ παραμένει αλήθεια ως συνέπεια, ανεξάρτητα από το αν μπορείς να το κάνεις ή όχι.»

«Δεν μπορώ,» αρκέστηκε ο θείος Jim.

«Θα πρέπει τώρα να θεωρήσουμε άλλη μία Υπόθεση. Τι μου είπες χθες για τον Allen;»

«Σου είπα», αποκρίθηκε ο θείος Jim, «πως από τότε που έπαθε εκείνο τον πυρετό τόσο φοβάται να βγει μόνος έξω ώστε πάντοτε παίρνει μαζί του τον Brown.»

«Ακριβώς,» είπε ο θείος Joe. «Οπότε η Υπόθεση, ‘αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι έξω’ είναι πάντα αλήθεια, δεν είναι;»

«Υποθέτω πως ναι,» είπε ο θείος Jim. (Φαινόταν να γίνεται κάπως νευρικός, ο ίδιος, τώρα.)

«Άρα αν ο Carr είναι έξω, έχουμε δύο Υποθέσεις, ‘αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι μέσα’ και ‘αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι έξω’, ταυτόχρονα σε ισχύ. Και δύο ασυμβίβαστες Υποθέσεις, υπόψη! Δεν μπορούν αλήθεια να είναι και οι δυο σωστές!»

«Δεν μπορούν;» απόρησε ο θείος Jim.

«Πώς μπορούν;» απάντησε ο θείος Joe. «Πώς μπορεί μία και μοναδική πρόταση να έχει δύο αντιφατικές μεταξύ τους αποδόσεις; Δέχεσαι ότι οι δύο αποδόσεις, ‘ο Brown είναι μέσα’ και ‘ο Brown είναι έξω’, είναι αντιφατικές, υποθέτω;»

«Ναι, το δέχομαι αυτό,» ομολόγησε ο θείος Jim.

«Τώρα μπορώ να συνοψίσω,» είπε ο θείος Joe. «Αν ο Carr είναι έξω, αυτές οι δύο Υποθέσεις είναι ταυτόχρονα σωστές. Και ξέρουμε πως δεν μπορούν. Άρα ο Carr δεν μπορεί να είναι έξω. Να μια ωραία σε άτοπο επαγωγή για σένα!»

Ο θείος Jim έμοιαζε εντελώς μπερδεμένος: αλλά μετά από λίγο βρήκε το κουράγιο και αντέτεινε. «Δεν είμαι σίγουρος για αυτήν την ασυμβατότητα. Γιατί να μην είναι και οι δύο υποθέσεις ταυτόχρονα αληθείς; Μου φαίνεται ξεκάθαρο ότι θα αποδείκνυε απλά πως ‘ο Allen είναι μέσα’. Βέβαια είναι σαφές πως η απόδοση των δύο Υποθέσεων είναι παράταιρη- ‘Ο Brown είναι μέσα’ και ‘ο Brown είναι έξω’. Αλλά γιατί να μην το θέσουμε έτσι; Αν ο Allen είναι έξω ο Brown είναι έξω. Αν ο Carr και ο Allen είναι μαζί έξω, ο Brown είναι μέσα. Το οποίο είναι άτοπο. Οπότε ο Carr και ο Allen δεν μπορούν και οι δύο να είναι έξω. Όμως, όσο ο Allen είναι μέσα δεν βλέπω τι εμποδίζει τον Carr να βγει έξω

«Καλέ μου, μα τόσο παράλογε, αδελφέ!»Απάντησε ο θείος Joe. (Κάθε φορά που ο θείος Joe αρχίζει να σε λέει ‘καλό’ του, μπορείς να είσαι αρκετά σίγουρος ότι σ’ έχει του χεριού του!)
«Δε βλέπεις ότι λανθασμένα χωρίζεις την πρόταση και την απόδοση της Υπόθεσης; Η πρόταση είναι απλά ‘Ο Carr είναι έξω’. Και η απόδοση είναι ένα είδος υπο- Υπόθεσης, ‘αν ο Allen είναι έξω ο Brown είναι μέσα’. Και τι παράλογη απόδοση που είναι, καθώς έρχεται σε αντίθεση με την άλλη Υπόθεση που ξέρουμε ότι είναι πάντοτε αλήθεια, ‘Αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι έξω’. Και είναι απλώς η παραδοχή, ‘Ο Carr είναι έξω’ που προκάλεσε αυτήν την παραδοξότητα. Άρα υπάρχει μόνο ένα πιθανό συμπέρασμα. Ο Carr είναι μέσα

Το πόσο αυτή η επιχειρηματολογία θα μπορούσε να διαρκέσει, δεν έχω την παραμικρή ιδέα. Πιστεύω πως καθένας από τους δύο θα μπορούσε να επιχειρηματολογεί για ώρες. Αλλά, εκείνη ακριβώς τη στιγμή φτάσαμε στο μαγαζί του κουρέα: και, μπαίνοντας μέσα, είδαμε ότι...-

Σημείωση (του Lewis Carroll)

Το παράδοξο, του οποίου το παραπάνω κείμενο είναι μια προφορική παρουσίαση, είναι, έχω λόγους να πιστεύω, μια πραγματική δυσκολία στη Θεωρία των Υποθετικών. Το αμφιλεγόμενο θέμα έχει συζητηθεί για αρκετό καιρό από διάφορους απασχολούμενους με τη λογική, στους οποίους το έθεσα. Και οι ποικίλες και αντικρουόμενες απόψεις, που η αλληλογραφία μου μαζί τους απέδωσε, με πείθουν ότι το θέμα χρειάζεται επιπλέον σκέψη, έτσι ώστε οι δάσκαλοι της λογικής και οι συγγραφείς να έρθουν σε κάποια συμφωνία σχετικά με το τι τα Υποθετικά (οι Λογικές Υποθέσεις) είναι και πώς θα έπρεπε να χρησιμοποιούνται.

Η αρχική διαφωνία, που δημιουργήθηκε, περισσότερο από ένα χρόνο πριν, μεταξύ δυο φοιτητών της Λογικής, μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως εξής:-

Υπάρχουν δυο Προτάσεις, Α και Β.

Δίνεται ότι

(1) Αν η C είναι σωστή, τότε αν η Α είναι σωστή, η Β είναι λάθος.
(2) Αν η Α είναι σωστή, η Β είναι σωστή.

Το ερώτημα είναι, μπορεί η C να είναι σωστή;

Ο αναγνώστης θα διαπιστώσει πως αν, σε αυτές τις δύο Προτάσεις, αντικαταστήσουμε τα γράμματα Α, Β και C με τα ονόματα αντίστοιχα Allen, Brown και Carr, και τις λέξεις ‘σωστό’ και ‘λάθος’ με τις λέξεις ‘μέσα’ και ‘έξω’
παίρνουμε

(1) Αν ο Carr είναι έξω, τότε, αν ο Allen είναι έξω, Ο Brown είναι μέσα.
(2) Αν ο Allen είναι έξω, τότε ο Brown είναι έξω.

Αυτές είναι ακριβώς οι δύο προτάσεις πάνω στις οποίες ο ‘θείος Joe’ κτίζει το επιχείρημά του.

Πολλές ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες προτάσεις ανακύπτουν σχετικά με το θέμα, όπως:

Μπορεί μία (λογική) Υπόθεση, της οποίας η πρόταση (το περιεχόμενο) είναι λάθος, να θεωρηθεί ως νόμιμη (δηλαδή ότι ισχύει) ;

Είναι δύο Υποθέσεις, του είδους ‘Αν Α τότε Β’ και ‘Αν Α τότε όχι- Β’, συνεπείς;

Ποια διαφορά στο νόημα, αν υπάρχει, έχουν οι παρακάτω Προτάσεις;

(1) A, B, C, δεν μπορούν αν είναι αλήθεια ταυτόχρονα.
(2) Αν οι C και A είναι αλήθεια, η B δεν είναι αλήθεια.
(3) Αν η C είναι αλήθεια, τότε, αν η A είναι αλήθεια, η B δεν είναι αλήθεια.
(4) Αν η A είναι αλήθεια, τότε, αν η C είναι αλήθεια, η B δεν είναι αλήθεια.

Η παρακάτω συμπαγής μορφή του παραδόξου μόλις στάλθηκε σε μένα, και πιθανώς, καθώς εμπεριέχει την αναγκαία αλήθεια, να ρίξει νέο φως στην υπόθεση.

Έστω τρεις γραμμές, KL, LM, MN, που σχηματίζουν στα σημεία L και M, ίσες και οξείες γωνίες στην ίδια πλευρά του LM.

Έστω η ‘Α’ σημαίνει ‘Τα σημεία K και N συμπίπτουν, ώστε οι τρεις γραμμές να σχηματίζουν ένα τρίγωνο’.
Έστω η ‘B’ σημαίνει ‘Το τρίγωνο έχει ίσες γωνίες βάσης’.
Έστω η ‘C’ σημαίνει ‘Οι γραμμές KL και MN είναι άνισες’.

Τότε έχουμε

(1) Αν η C είναι αληθής, τότε αν η A είναι αληθής, τότε η B δεν είναι αληθής.
(2) Αν η A είναι αληθής, η B είναι αληθής.

Η δεύτερη από αυτές τις Προτάσεις δε χρειάζεται απόδειξη. Και η πρώτη αποδεικνύεται από τον Ευκλείδη, στο Eυκ., i, 6, αν και βεβαίως τίθεται το ερώτημα κατά πόσον αντιπροσωπεύει το αρχικό νόημα του Ευκλείδη.

Πραγματικά ελπίζω ότι κάποιοι από τους αναγνώστες του Mind που έχουν κάποιο ενδιαφέρον στη Λογική θα βοηθήσουν ώστε να ξεκαθαρίσουν αυτές οι παράξενες δυσκολίες.


========================================================================
Το ‘A Logical Paradox’ γράφτηκε από τον Lewis Carroll, και δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Mind, το 1894. Τώρα είναι διαθέσιμο στο Κοινό.
Παραπομπές: Το κείμενο στ’ Αγγλικά, απ’ όπου και το μετέφρασα, εδώ.

11/3/08

Αυθόρμητη ρήξη της Συμμετρίας


"Υπάρχει κάτι σχετικά με το κενό - ο άδειος χώρος καθαυτός- που γνωρίζει τη διαφορά μεταξύ ενός 'πάνω' quark και ενός 'κάτω΄ quark, και είναι η επίδραση του κενού πάνω σε αυτά τα σωματίδια που τα κάνει να φαίνονται διαφορετικά σε εμάς''. [1]

Όποτε μιλάμε για συμμετρία αναφερόμαστε στην αρμονία. Αρμονία σημαίνει σύνθεση των αντιθέτων. Αν έχουμε ένα μόνο πράγμα, θα πρέπει να το 'κόψουμε' στα δύο, μόνο και μόνο για να συγκρίνουμε το ένα μισό σε σχέση με το άλλο, με βάση έναν κανόνα ή άξονα αναφοράς. Πώς όμως μια πεταλούδα 'ξέρει' ποια μεταμφίεση πρέπει να φορέσει ώστε να παραπλανά τους κυνηγούς της; Δεν το ξέρει. Ο άδειος χώρος, αυτό που ονομάζεται κενό (vacuum), χαρακτηρίζεται με αυτήν την παράξενη 'καθρεφτική' συμπεριφορά. Όχι μόνο μια πεταλούδα, αλλά όλα τα πλάσματα, καθώς και τα άψυχα αντικείμενα, 'κόβουν' το κενό στα δυο, και ταυτόχρονα φέρουν τη συμμετρία μέσα τους. Πρόκειται για μια συνεργασία μεταξύ της ύλης και του κενού χώρου, όπου η ύλη λειτουργεί σαν το μαχαίρι και το κενό σαν τη 'φέτα' που θα κοπεί. Αυτό πάντως που είναι σημαντικό, είναι πως η διαίρεση δε γίνεται 'από τη μία πλευρά προς την άλλη', αλλά ταυτόχρονα και προς τις δύο κατευθύνσεις. Αυτή άλλωστε είναι και η έννοια της ολότητας, την οποία κάποιοι ονόμασαν 'θεό'.


Smaller and Smaller, Escher, 1956

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τα πράγματα σε ομάδες (groups), μικρότερες ή μεγαλύτερες, έτσι ώστε να έχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να χρησιμοποιήσουμε μόνον ένα στοιχείο μιας ομάδας και πολλαπλασιάζοντάς το με κάποιον παράγοντα να δημιουργήσουμε τα υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου. Η γεωμετρική του απεικόνιση θα μπορούσε να είναι σαν τον προηγούμενο πίνακα του Escher. Εδώ αντί για τα σχέδια πάνω στα φτερά μιας πεταλούδας, η ομάδα αποτελείται από τριών χρωματικών αποχρώσεων σαύρες, που ξεκινάνε από το μηδέν και πολλαπλασιάζονται κυκλικά προς τα έξω. Όπως και να έχει, η συμμετρία μοιάζει σαν να προκύπτει από ένα θεμελιώδες μοτίβο το οποίο διαρκώς αναπαράγεται πιστά, έτσι ώστε το τελικό αποτέλεσμα να μην μπορεί παρά να είναι συμμετρικό. Η συμμετρία δηλαδή μοιάζει να προκύπτει από μία θεμελιώδη αυτοαναπαραγόμενη δομή, χαρακτηριστική της ύλης και του κενού.


 

Τα σωματίδια της ύλης υπόκεινται κι αυτά στις δικές τους συμμετρίες. Το πρότυπο μοντέλο (Standart Model) της ατομικής φυσικής, συμπληρώνεται με τρεις ομάδες συμμετρίας, U(1) για τον ηλεκτρομαγνητισμό, SU(2) για τις ασθενείς και SU(3) για τις ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις. Επίσης, εκτός από την ύλη και την αντιύλη υπάρχει και η υπερσυμμετρική ύλη, θεωρητικά τουλάχιστον. Πρόκειται για μία ακόμη συμμετρία μεταξύ των φερμιονίων (δομικών υλικών σωματιδίων) και των μποσονίων (σωματίδια φορείς των δυνάμεων). Η υπερσυμμετρία, αν ισχύει, θα διπλασιάσει τα σωματίδια της ύλης, αφού για το καθένα θα υπάρχει και το υπερσυμμετρικό αντίστοιχο. Σε κάθε περίπτωση, η συμμετρία στη φυσική έχει να κάνει με μετασχηματισμούς οι οποίοι αφήνουν τους νόμους της φύσης αναλλοίωτους. Ακόμη δηλαδή κι αν τα σωματίδια μετατρέπονται σε άλλα σωματίδια, θα υπάρχουν κάποιες ποσότητες που διατηρούνται. Γι' αυτό άλλωστε συμμετρία δε σημαίνει τόσο διατήρηση της μορφής των πραγμάτων και του κόσμου, όσο διατήρηση των νόμων που διέπουν τις μεταβολές, ανεξάρτητα αν τα πράγματα διατηρούν την αρχική τους μορφή. Η συμμετρία βρίσκεται βαθύτερα στην ουσία του κόσμου.


Πάντως, όση σημασία κι αν αποδόσουμε στη συμμετρία οφείλουμε να ομολογήσουμε ότι μπορεί κάποιος ή κάτι να είναι άσχημο, αλλά να διατηρεί τη γοητεία του. Ίσως τότε να είναι, στη ρίξη της συμμετρίας, που ο κόσμος αποκτά μια νέα, πιο ενδιαφέρουσα διάσταση. Από τους πρώτους που θεώρησαν τις επιπτώσεις της ρίξης της συμμετρίας ήταν ο Pierre Curie, ο οποίος πολύ απλά είπε πως για να υπάρξει φυσικό φαινόμενο θα πρέπει να υπάρξει προηγουμένως ρίξη της συμμετρίας.


 

Η συμμετρία ωστόσο δε χάνεται. Περνάει ανταυτού από ένα επίπεδο κρυφό σε ένα επίπεδο πραγματικότητας. Η διαδικασία ονομάζεται αυθόρμητη ρήξη της συμμετρίας (spotaneοus symmetry breaking), η οποία αναπαρίσταται με το διπλανό σχήμα, ενός δυναμικού σε σχήμα μεξικάνικου καπέλου. Το σωματίδιο που ταλαντώνεται στο βάθος του 'καπέλου' μόλις έχει συνειδητοποιήσει την πτώση του από την κορφή του καπέλου, όπου όλα δείχνουν το ίδιο, κάτω στο γείσο, όπου η ασυμμετρία είναι έκδηλη από την καμπυλότητα. Αυτή η ρίξη της συμμετρίας έχει ως αποτέλεσμα μεταξύ άλλων και την απόδοση μάζας στην ύλη, μέσω του μηχανισμού Higgs. Μία αντίστοιχη κατάσταση συμβαίνει και στην κοσμολογία, όπου η 'γούβες' στο χωροχρόνο, κάνουν τα σώματα να αποκτάνε βάρος. Η σχέση ανάμεσα στις διακυμάνσεις του χωροχρόνου και στις ταλαντώσεις του κενού από τη μία πλευρά και στην απόδοση των ιδιοτήτων της ύλης από την άλλη, δεν είναι γνωστή. Αν ήταν η φυσική θα είχε βρει τη θεωρία των πάντων.


 

Είδαμε πως η συμμετρία είναι ένας κανόνας με τον οποίο τα πράγματα παραμένουν αναλλοίωτα σε κάποιους μετασχηματισμούς. Ακόμη περισσότερο, αυτός ο κανόνας έχει ως αποτέλεσμα τη διατήρηση των νόμων της φύσης, ακόμη κι αν τα πράγματα μετατρέπονται σε νέες μορφές. Η ρίξη της συμμετρίας επιτρέπει τη μετάβαση από μία ασταθή κατάσταση 'υψηλής' συμμετρίας σε μία σταθερή κατάσταση 'χαμηλής' συμμετρίας. Άλλωστε, όλα τα εικονικά (βραχύβια) σωματίδια ξεπηδάνε μέσα από έναν αυθόρμητο 'τοκετό του κενού'. Η πιο ενδιαφέρουσα πάντως προοπτική είναι αυτή που ο άνθρωπος προκαλεί τη ρίξη της συμμετρίας. Μέσω της παρατήρησης και του πειράματος προκαλούμε με τρόπο ακούσιο ή καθορισμένο όχι μόνο την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης των σωματιδίων, αλλά και την ίδια την εμφάνισή τους, μέσα από τη διέγερση του κενού, σε μία διαρκή διαδικασία αναδιπλώσεων. Το κενό φαίνεται ότι μπορεί να 'νιώσει' την παρουσία μας και τη βούλησή μας και με τέτοιον τρόπο ώστε ο εαυτός μας- αυτός ο υπερσυμμετρικός μας σύντροφος, καθώς και όλος ο κόσμος, να αποκτάνε ύλη, ουσία και πραγματικότητα.


11/1/08

Θεωρία Kaluza- Klein: Η αόρατη αρχιτεκτονική



Στην αρχή του 20ού αιώνα ο Gunnar Nordstrom πρώτα και οι Theodor Kaluza και Oscar Klein στη συνέχεια πρότειναν ανεξάρτητα ο καθένας μιαν επέκταση στη θεωρία της γενικής σχετικότητας του Einstein για να περιλάβει μια πρόσθετη διάσταση του χώρου. Για να είναι μαθηματικά σωστή αυτή η επέκταση, ο Klein πρότεινε πως η πρόσθετη χωρική διάσταση είναι ''συμπακτωμένη'' (compactified).




Πρότεινε δηλαδή ότι η επιπλέον 5η διάσταση του χώρου-χρόνου θα μοιάζει τυλιγμένη στην περίμετρο ενός κύκλου. Ο τύπος p=k/R που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα λέει απλά ότι η ορμή p σ' εκείνη την επιπλέον διάσταση μπορεί να ποσοτικοποιηθεί και είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας R της διάστασης. Τα σωματίδια που αντιλαμβανόμαστε ή μάλλον μετράμε στον δικό μας τετραδιάστατο χώρο- χρόνο, αντιστοιχούν σε χορδές τυλιγμένες στην επιπλέον διάσταση και οι μάζες τους δίνονται από μια σχέση της μορφής m^2=m0^2+(k/R)^2, όπου m0 η μάζα ηρεμίας του σωματιδίου. Απλό και λειτουργικό.

Από εκεί και πέρα, οι φυσικοί πήραν φόρα. Τα μαθηματικά τους έδειξαν ότι σύμφωνα με τη θεωρία των υπερχορδών και την Μ- θεωρία, γνήσιοι απόγονοι της θεωρίας των Kaluza- Klein, απαιτούν 10- 11 διαστάσεις. Πού βρίσκονται αυτές οι 6-7 ακόμη διαστάσεις; Ακολουθώντας τα χνάρια των Kaluza- Klein προτάθηκε ότι οι 6 (στη θεωρία των υπερχορδών) επιπλέον διαστάσεις θα είναι συμπακτωμένες σε μία καθορισμένη περιοχή του δικού μας χώρου- χρόνου (στην πραγματικότητα σε κάθε σημείο).





Οι υπερχορδές, οι οποίες έχουν την άνεση να τυλίγονται γύρω από αυτές τις επιπλέον διαστάσεις, δίνουν ανάλογα με τον τρόπο περιέλιξης (winding mode) τη μάζα των καθημερινών μας σωματιδίων. Πώς μπορούμε άραγε να αναπαραστήσουμε γραφικά αυτές τις επιπλέον διαστάσεις; Μπορούμε να φανταστούμε μια κορδέλα περιτυλίγματος, κάτι σαν φιόγκο. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φαντασία της Meson (πίνακας του post). Μπορούμε βέβαια να χρησιμοποιήσουμε και τον 'δαίμονα' του Escher.


M.C.Escher, Dragon

Στην κυριολεξία πρόκειται για δράκο. Είναι ένας 6- διαστάσεων διαστημικός δράκος, ο οποίος γραπώνει με τα νύχια του τον δικό μας κόσμο. Είμαι βέβαιος ότι ο Escher είχε υπόψη του τον παραλληλισμό.

Μπορούμε τώρα σταδιακά από το χώρο της ζωγραφικής να περάσουμε στο χώρο της φυσικής, όπου ο υπερχώρος των 6 επιπλέον διαστάσεων αναπαρίσταται με το λεγόμενο Calabi- Yau πολύχωρο (Calabi- Yau manifold).






Calabi- Yau manifold



Κατ' αυτόν τον τρόπο περνάμε από το δράκο του Escher, σε κάτι που του μοιάζει, στo πολύχωρο Calabi- Yau, ιδωμένο από διαφορετικές οπτικές 'γωνιές'. Η μαθηματική αναπαράσταση είναι η ενδιάμεση από τις παραπάνω, αλλά βλέπουμε η πρώτη αναπαράσταση πόσο μοιάζει στη ζωγραφιά του Escher και η τελευταία στη ζωγραφιά της Meson.

Η ιστορία μοιάζει υπέροχη: Υπάρχουν κι άλλες διαστάσεις. Αυτές οι διαστάσεις είναι συμπακτωμένες. Είναι επίσης μικροσκοπικές, γι' αυτό και δεν τις βλέπουμε. Οι υπερχορδές είναι οι φυσικές οντότητες που κυμαίνονται μέσα στον υπερχώρο (bulk) των επιπλέον διαστάσεων
και οι δονήσεις τους, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο περιελίσσονται γύρω από τις επιπλέον διαστάσεις, εκφαίνουν αυτό που ονομάζουμε σωματίδια της ύλης, καθώς οι υπερχορδές αγγίζουν τη βράνη (brane) του δικού μας κόσμου. Πρόσφατα πάντως διατυπώθηκε μια θεωρία από τους Arkani- Hamed, Δημόπουλος και Dvali, ότι οι επιπλέον διαστάσεις δεν είναι τόσο μικροσκοπικές, της κλίμακας Plank, δηλαδή 10^35 m. Προτάθηκε ότι έχουν μέγεθος χιλιοστού, δηλαδή τεράστιο! Σε αυτήν την περίπτωση οι σύγχρονοι επιταχυντές μπορούν να παράξουν αρκετή ενέργεια, ώστε οι επιπλέον διαστάσεις να ξεδιπλωθούν και να ανιχνευτούν έμμεσα από διαφυγή γκραβιτονίων (φορείς της βαρύτητας) προς τον υπερχώρο. Βέβαια ακόμη δεν έχουν ανιχνευτεί γκραβιτόνια, αλλά το έλλειμμα μάζας από τη διαφυγή τους και το οποίο είναι μετρήσιμο, θα μας δώσει τις πρώτες ενδείξεις της ύπαρξης των επιπλέον διαστάσεων.

Σύμφωνα με τη φιλοσοφία του Bohm, τα πάντα είναι θέμα τάξης (order) και μεγέθους (measure). Δεν είναι μόνον ο τρόπος που μετράμε τον κόσμο που καθορίζει και το τι είναι αυτό που αντιλαμβανόμαστε ότι μετράμε, είναι και οι κλίμακες που θέτουμε, οι οποίες καθορίζουν αν αυτό που μετράμε είναι κοντινό ή μακρινό, δικό μας ή ξένο. Η επιστήμη και η τέχνη αποτελούν δύο διαφορετικά επίπεδα αναφοράς. Χρησιμοποιούν διαφορετικές μεθόδους μέτρησης και αποδίδουν διαφορετικές κλίμακες στον κόσμο. Για τον φυσικό, το σύμπαν και ο μικρόκοσμος έχουν μια σαφή αντίθεση κλίμακας, όπου το σύμπαν είναι γιγάντιο ενώ ο μικρόκοσμος είναι απειροελάχιστος. Για την τέχνη πέρα της προοπτικής και των αποχρώσεων με τις οποίες αποδίδονται οι αποστάσεις στον πίνακα, οι κλίμακες είναι σχετικές και οι μαθηματικές πράξεις δευτερεύουσες. Η Meson αποτυπώνει τη μορφή που θα μπορούσε να έχει ένας υπερχώρος μέσω χρωματικών αποχρώσεων. Σε τελική ανάλυση το φως είναι αυτό που μας αποκαλύπτει τον κόσμο, όπως κι αν είναι. Ο Escher από τη μεριά του ζωγραφίζοντας ένα γιγάντιο δράκο πάνω από το μικρό μας κόσμο, τονίζει το ενδεχόμενο οι άγνωστες διαστάσεις να είναι και μακροσκοπικές ή μόνο μακροσκοπικές, ενώ αντίθετα ο δικός μας μικρόκοσμος είναι περιορισμένων διαστάσεων. Πλήρης αντιστροφή για την ισχύουσα άποψη μέσω της τέχνης, σχετικά με τη σημασία και το μέγεθος των 'άλλων' διαστάσεων. Τίθεται βέβαια και το ερώτημα τι είναι διαστάσεις.



Παραπομπές: