Η σύγχρονη γραμμική αντίληψη και ο μη γραμμικός κόσμος
Στην απλή φυσική και μαθηματικά αλλά και στην καθημερινότητά μας αναπαριστούμε και φανταζόμαστε τον κόσμο και τα φαινόμενά του σαν διαδικασίες οι οποίες εξελίσσονται μονόδρομα, δηλαδή με τρόπο γραμμικό, από το παρόν προς το μέλλον. Η φύση όμως αποτελείται από δυναμικές διαδικασίες οι οποίες υπακούουν σε κανόνες συμμετρίας. Η συμμετρία έχει πάντοτε το χαρακτήρα της μη γραμμικότητας, με την έννοια ότι όπως κάτι είναι συμμετρικό στο χώρο θα μπορούσε να είναι συμμετρικό και στο χρόνο. Αυτή η τελευταία διαπίστωση ωστόσο, αν αποδεικνυόταν αληθινή, θα κλόνιζε τα θεμέλια της αιτιότητας, της μονόδρομης δηλαδή ακολουθίας γεγονότων μέσα από μία σχέση αιτίας- αποτελέσματος, και θα απαιτούσε έναν νέο, ολιστικό, τρόπο κατανόησης του κόσμου.
Η κανονική κατανομή (normal distribution)
Πρόκειται για μια συνάρτηση της παραπάνω μορφής με ένα πραγματικά μεγάλο πεδίο εφαρμογών, από τα μαθηματικά και τη φυσική, έως την οικονομία και την κοινωνιολογία. Ονομάζεται και Gaussian από το όνομα του Gauss που την ανακάλυψε, καθώς επίσης και ‘καμπάνα’ (bell curve). Οι παράμετροι b και c (μ και σ στο γράφημα) εκφράζουν τα διάφορα χαρακτηριστικά της (το ύψος και το πλάτος αντίστοιχα της κατανομής), ενώ το a είναι μια παράμετρος κανονικοποίησης (ώστε η συνολική πιθανότητα να είναι μονάδα). Στην απλούστερη περίπτωση, η κατανομή εκφράζεται από τη συνάρτηση:
της οποίας το γράφημα είναι το ακόλουθο [1]:
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση εμφανίζει μια χαρακτηριστική συμμετρία εκατέρωθεν του άξονα (γενικότερα του μεγίστου της). Αυτή η συμμετρία, καθώς και η ομαλότητα με την οποία τείνει στο μηδέν για μεγάλες τιμές της μεταβλητής είναι που καθιστούν τη συνάρτηση το άριστο εποπτικό μοντέλο για την περιγραφή πληθώρας φαινομένων.
Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου (cosmic microwave background radiation)
Η κοσμική μικροκυματική ακτινοβολία υποβάθρου ανακαλύφθηκε τυχαία από τους Arno Penzias και Robert Wilson, το 1964, οι οποίοι παρατήρησαν έναν ανεξήγητο ‘θόρυβο’ στη λήψη του ραδιοτηλεσκοπίου τους. Μάλιστα, οι ίδιοι ήταν τόσο καχύποπτοι με την ανακάλυψη, ώστε καθάρισαν με πάρα πολύ μεγάλη προσοχή τα πιάτα του τηλεσκοπίου από τις ακαθαρσίες των περιστεριών που φώλιαζαν εκεί, για να σιγουρευτούν ότι αυτός ο θόρυβος προερχόταν από τα βάθη του σύμπαντος. Πρόκειται για μία από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις στον τομέα της κοσμολογίας, γιατί επιβεβαίωσε τις θεωρητικές προβλέψεις σχετικά με την καταγωγή του σύμπαντος (θεωρία Big Bang).
Ο τρόπος που κατανέμεται αυτή η ακτινοβολία που διαποτίζει όλο το σύμπαν αναπαρίσταται με μια Gaussian κατανομή, όμοια με εκείνη ενός μέλανος σώματος. Η ένταση αυτής της ακτινοβολίας, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα, αυξάνεται καθώς αυξάνεται η συχνότητά της (ή αντίστροφα μειώνεται το μήκος κύματος), φτάνει σε ένα μέγιστο για κάποια συχνότητα, και στη συνέχεια, για συχνότητες μεγαλύτερες, μειώνεται μέχρι και το μηδέν. Το χαρακτηριστικό γράφημα αυτής της κατανομής μας δείχνει πως το σύμπαν καταφέρνει να ρυθμίζει όλη την ενέργεια που περιέχει με έναν τρόπο ώστε αυτή η ενέργεια να μη γίνεται ποτέ άπειρη ούτε και μηδενική.
Ποια είναι άραγε η κατανομή που αντιστοιχεί στη δικαιότερη αναδιανομή εισοδήματος μεταξύ των ανθρώπων; Κάποιος θα έλεγε ότι η δικαιότερη κατανομή είναι να παίρνουν όλοι τα ίδια. Αυτό όμως δεν είναι και το δικαιότερο, αν σκεφτούμε ότι κάποιοι δουλεύουν ενώ κάποιοι δεν δουλεύουν, ή, ακόμα και στην περίπτωση που όλοι θα δούλευαν, δεν μπορεί να υπάρξει ομοφωνία ως προς το ποια θα ήταν η κατάλληλη αμοιβή ανάλογα με την απασχόληση. Κατά καιρούς έχουν προταθεί διάφορα πολιτικά συστήματα επαυτού. Στην εποχή μας, σύμφωνα με τα διαθέσιμα στοιχεία, η κατανομή του κατά κεφαλήν εισοδήματος για όλους τους ανθρώπους έχει την ακόλουθη μορφή:
Κατανομή του παγκόσμιου κατά κεφαλή εισοδήματος, για το έτος 2009
Τα παραπάνω σχεδιαγράμματα, είναι ένα ιστόγραμμα και η αντίστοιχη κανονική κατανομή για το παγκόσμιο κατά κεφαλήν εισόδημα, σύμφωνα με τα αντίστοιχα εισοδήματα των κρατών, για το έτος 2009. [2] Παρατηρούμε ότι τα εισοδήματα μπορούν να αναπαρασταθούν με μια Gaussian με μια πολύ καλή προσέγγιση, παρότι η Gaussian αποκρύπτει τις ανωμαλίες μικρότερης κλίμακας (για παράδειγμα τις τρεις διακριτές ομάδες πληθυσμού, που δείχνει το ιστόγραμμα, για εισοδήματα γύρω στις 5000-15000, 30000-35000, και 50000 δολάρια αντίστοιχα). Το ζητούμενο επομένως είναι ποια κανονική κατανομή θα εξέφραζε τη δικαιότερη δυνατή αναδιανομή εισοδήματος μεταξύ των ανθρώπων, και πώς και κάτω από ποιες κοινωνικοπολιτικές συνθήκες θα μπορούσε να υλοποιηθεί.
Η κυματοσυνάρτηση
Η κανονική κατανομή είναι γενικότερα μια συνάρτηση πιθανοτήτων. Στη σύγχρονη κβαντική φυσική εκφράζει, μεταξύ άλλων, την ένταση της ακτινοβολίας των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, όπως είναι το φως. Το ίδιο το φως, περιγράφεται ως ένα ‘κυματοπακέτο’ η διάδοση του οποίου εκφράζεται με το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησής του. Όπως φαίνεται και το προηγούμενο σχήμα, πρόκειται για μια Gaussian συνάρτηση- κατανομή, όπου η κορφή της μας δείχνει την πιο πιθανή θέση του κβαντικού αντικειμένου υπό μελέτη.
Η μορφή βεβαίως μπορεί να είναι πιο σύνθετη, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα από τη συμβολή φωτεινών κυμάτων κατά το πείραμα των δύο οπών του Young. Σε κάθε περίπτωση, τα επιμέρους τμήματα της κατανομής θα εκφράζουν δύο ή περισσότερα συσχετιζόμενα φαινόμενα, τα οποία θα ακολουθούν μια σχέση συμμετρίας, η οποία εκφράζεται παραστατικά μέσα από την Gaussian κατανομή.
Η παγκόσμια κατανομή
‘Multiverse’*
Θα μπορούσαμε να φανταστούμε όλο το σύμπαν σαν μια Gaussian κατανομή, σύμφωνα με την οποία γεννιέται, αυξάνεται και πεθαίνει. Θα χρησιμοποιήσουμε τις έννοιες της ‘ζωής’ και του ‘θανάτου’ μεταφορικά σε αυτήν την περίπτωση, γιατί στην πραγματικότητα το σύμπαν αφενός εμφανίζεται εξαρχής με κάποιες ιδιότητες, και επομένως ξεκινάει όχι από το σημείο μηδέν (όπως άλλωστε υποδεικνύει και το γράφημα της έντασης της ακτινοβολίας του υποβάθρου), και αφετέρου ‘εξαφανίζεται’ (παρότι, βεβαίως δεν γνωρίζουμε ακόμη ποια θα είναι η μοίρα του σύμπαντος ούτε και αν αυτή είναι προκαθορισμένη) με έναν τρόπο που υποδεικνύει ότι πρόκειται περισσότερο για μια γιγαντιαία μη τοπική διακύμανση μέσα στο χώρο και στο χρόνο, παρά για την, επί του παρόντος θεωρούμενη, μονόδρομη και αιτιακή εξέλιξη κάποιας ‘μεγάλης έκρηξης.’ Προφανώς, μια τέτοια ‘λάμψη’ σαν τη γέννηση ενός σύμπαντος θα μοιάζει στα μικροσκοπικά μας μάτια σαν μια μεγάλη έκρηξη, αλλά από τη σκοπιά της ιστορίας όλων των συμπάντων που πιθανώς υπάρχουν ή ακόμα και από τη σκοπιά της πιο βαθιάς μας διάνοιας, δεν είναι τίποτε παραπάνω παρά μια τοπική διακύμανση και έκφανση της παγκόσμιας κατανομής.
Η παγκόσμια κατανομή @ 2008-2011
=============================================*Ταχύτητες ομάδας, φάσης και διάδοσης κυματοπακέτου
Τα δύο σχεδιαγράμματα με την κατανομή των εισοδημάτων είναι δικά μου (από στοιχεία της Wikipedia)