12/20/09

O Escher και ο διανυσματικός λογισμός


Day and Night, Escher

Αν και μου άρεσε αυτός ο τίτλος για το συγκεκριμένο post ο διανυσματικός λογισμός είναι μία πτυχή του έργου του MC Escher. Παρότι ο ίδιος δεν ήταν μαθηματικός φαίνεται ότι εντυπωσιάστηκε και ασχολήθηκε στο ζωγραφικό και εικαστικό του έργο από μαθηματικές φόρμες και γεωμετρικές δομές αυτοαναπαραγόμενες και με τέτοιον τρόπο ώστε να γεμίζουν το χώρο χωρίς να αφήνουν κενά.

Χαρακτηριστικά ο ίδιος σχετικά με τον πίνακά του 'Day and Night' αναφέρει:

"Πολύ πριν ανακαλύψω στην Αλάμπρα μια συγγένεια με την τέχνη των Μαυριτανών στην κανονική διαίρεση του επιπέδου, είχα αναγνωρίσει αυτό το ενδιαφέρον στον εαυτό μου. Στην αρχή δεν είχα καμία ιδέα για τη δυνατότητα να κτίσω με αυτόν τον τρόπο τις μορφές μου. Δεν ήξερα κανέναν 'κανόνα υποβάθρου' και προσπάθησα, χωρίς σχεδόν να ξέρω τι κάνω, να ταιριάξω συναφή σχήματα στα οποία προσπάθησα να δώσω τη μορφή ζώων... Η εμπειρία μου έδειξε ότι οι σιλουέτες πουλιών και ψαριών είναι οι πιο κατάλληλες για χρήση στο παιχνίδι της διαίρεσης του επιπέδου. Η σιλουέτα ενός πουλιού που πετάει έχει ακριβώς την απαραίτητη κλίση, ενώ οι όγκοι και οι προεξοχές στα περιγράμματα δεν είναι ούτε πολύ τονισμένες ούτε πολύ αχνές. Επιπλέον, έχει ένα χαρακτηριστικό σχήμα, από πάνω και από κάτω, από μπροστά και από πίσω... Εδώ είναι που η αναπαράσταση κάθε λογής αντιθέτων εμφανίζεται. Γιατί δεν οδηγείται κάποιος με τρόπο φυσικό σε ένα θέμα σαν και αυτό του 'Day and Night' από τη διπλή λειτουργία των μαύρων και άσπρων μοτίβων; Είναι νύχτα όταν το λευκό σαν αντικείμενο εμφανίζεται σε αντίθεση με το μαύρο σαν υπόβαθρο, και είναι μέρα όταν οι μαύρες φιγούρες εμφανίζονται κόντρα στο λευκό." (Πηγή)


Escher

Η κανονική διαίρεση του επιπέδου (regular division of the plane) στην οποία αναφέρεται ο Escher βασίζεται στην αρχή της 'ψηφίδωσης' (tessellation), το γέμισμα δηλαδή του επιπέδου με σχήματα και με τέτοιον τρόπο ώστε να μην αφήνουν μεταξύ τους κενά.


Alhambra

Η έμπνευση για αυτά τα έργα του Escher είχε μια τελείως ανατολίτικη προέλευση όταν ο ίδιος επισκέφτηκε την Alhambra στη Γρανάδα της Ισπανίας. Η τεχνική της ψηφίδωσης όπως φαίνεται ήταν πολύ διαδεδομένη στους Μαυριτανούς, οι οποίοι βέβαια κληροδότησαν τη γνώση της γεωμετρίας και των μαθηματικών από τους Ρωμαίους και τους Έλληνες. Το 1958 ο Escher δημοσίευσε το βιβλίο του 'The Regular Division of the Plane' στο οποίο υπάρχουν πολλά αντίγραφα ξυλόγλυπτων που επιδεικνύουν την έννοια.






Αραβουργήματα

Για την τέχνη των Μαυριτανών βέβαια γνώριζα ελάχιστα πριν από αυτές τις αναφορές σχετικά με τον Escher, όπως και λίγα ξέρω για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους. Το θαυμαστό πάντως είναι ότι λύσεις αυτών των εξισώσεων (που υπόψιν έχουν να κάνουν με καθημερινά προβλήματα) δίνουν γραφήματα που μοιάζουν κατά πολύ με αυτά που χρησιμοποίησε ο Escher στην τεχνική του, όπως το παρακάτω:



Finite Element Triangulation


Βεβαίως αυτό το τελευταίο σχέδιο είναι κατασκευασμένο από υπολογιστή και αποτελείται από πλέγματα αλληλοκαλυπτόμενα μεν αλλά χωρίς συγκεκριμένη μορφή, για παράδειγμα ανθών, άστρων ή ζώων όπως αυτά που χρησιμοποίησαν οι Μαυριτανοί και ο Escher. Αυτό είναι άλλωστε για να μας υπενθυμίζει ότι όπως η τέχνη μιμείται τη φύση έτσι και τα μαθηματικά μιμούνται την τέχνη μ' έναν τρόπο μάλλον υποτυπώδη και μηχανικό.

3 comments:

  1. Καλημέρα!Τις καλύτερες ευχές μου για τις μέρες που έρχονται και ένα όσο το δυνατόν πιό ευχάριστο 2010........
    ...ήταν ευχάριστη έκπληξη για μένα η ανάρτησή σας για τον Escher,το έργο του οποίου μελετάω το τελευταίο διάστημα......
    ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!!!!!!!!!!!!

    ReplyDelete
  2. Πολύ καλή και αυτή η ανάρτηση φίλε μου, όμως γιατί στο άρθρο σου αυτό δεν έγραψες δυο λόγια για τα fractals και τη θεωρία του χάους που τόση συνάφεια έχει;
    Χρόνια Πολλά με την ευκαιρία!

    ReplyDelete
  3. Ευχαριστώ για τα σχόλια και χρόνια πολλά. Σπουδαίος ο Escher. Σε ό,τι αφορά τα fractals σωστή παρατήρηση. Αυτό που ο Escher ονόμαζε regular division of the plane θέλει προφανώς περισσότερο ψάξιμο. Η σχέση δηλαδή ανάμεσα στην αυτοαναπαραγόμενη δομή που γεμίζει τον πίνακα και στην εικόνα του πίνακα ως σύνολο.

    ReplyDelete