M.C. Escher, self-portrait (1929)
Γεωμετρία και ζωγραφική
Αν τα μαθηματικά είναι κάτι το αφηρημένο, η γεωμετρία αποτελεί μια οπτικοποίησή τους. Γενικότερα μια σχηματοποίησή τους, αφού τα μαθηματικά σύμβολα, όπως οι νότες και τα γράμματα στην τέχνη, αποτελούν έναν τρόπο αναπαράστασης της αρμονίας του κόσμου, η οποία κρύβεται πίσω από τα μαθηματικά. Ένας καλλιτέχνης ζωγράφος, όπως και ένας επιστήμονας μαθηματικός, χρησιμοποιεί ‘ευθείες,’ ‘κύκλους,’ ‘τρίγωνα,’ ‘αφηρημένες τροχιές’ με τις οποίες καλείται να περιγράψει την ‘πραγματικότητα’ που τον απασχολεί.
Η μέθοδος του Escher
Ο Maurits Cornelis Escher (1898- 1972) υπήρξε αρχιτέκτονας και ζωγράφος. Οι πίνακές του διακρίνονται για την επιμονή τους, θα λέγαμε, στη συμμετρία. Χαρακτηριστική είναι η προσπάθειά του να γεμίσει ο πίνακας με σχήματα και με τέτοιον τρόπο ώστε να μην αφήνουν κενά. Η μέθοδος αυτή, που ονομάζεται ψηφίδωση (tessellation), ήταν ήδη γνωστή στους Μαυριτανούς, από την τέχνη των οποίων ο Escher πήρε την έμπνευση, ύστερα από επίσκεψή του στην Alhambra, στην νότια Ισπανία. Αυτή η τεχνοτροπία μεταμορφώθηκε από τον Escher σε μια σειρά ξυλόγλυπτα, από το 1936 και ύστερα, τα οποία ο ίδιος δημοσίευσε το 1958 στο βιβλίο του ‘The Regular Division of the Plane.’
Escher, Regular division of the plane
Το 5ο θεώρημα του Ευκλείδη
Στους προηγούμενους πίνακες φαίνεται αυτή ακριβώς η προσπάθεια του ζωγράφου να γεμίσει όλον το χώρο με σχήματα και τα αρνητικά τους. Για κάθε σχήμα που κινείται προς μία κατεύθυνση υπάρχει και το αντίθετό του που κινείται προς την άλλη κατεύθυνση, ενώ τα σχήματα μπορούν να μεγαλώνουν ή να μικραίνουν από τα μέσα προς τα έξω ή αντιστρόφως. Είναι έκδηλη στα προηγούμενα ξυλόγλυπτα η αναζήτηση της συμμετρίας με όσο το δυνατό απλούστερες δομές. Προφανώς ο ζωγράφος για να πετύχει το επιθυμητό αποτέλεσμα θα έπρεπε να προσδιορίσει πρώτα το χώρο του πίνακά του και τα όριά του, χαράσσοντας ευθείες, τρίγωνα, κύκλους, κοκ.
Ο Ευκλείδης (3ος αι. π.Χ.) από τη μεριά του χαρακτηρίζεται από την ίδια απλότητα στην προσπάθειά του να προσδιορίσει το χώρο με θεμελιώδη σχήματα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Τα βασικά του αξιώματα αναλύονται στο βιβλίο του ‘Στοιχεία.’ Σκοπός μας εδώ δεν είναι να απαριθμήσουμε τα αξιώματα του Ευκλείδη, τα οποία εξάλλου συνοψίζονται σε μια βασική αρχή:
Από δύο σημεία περνάει μία μόνο ευθεία. Αν ναι, τότε ορίζουμε μια δεύτερη ευθεία κάθετη στην πρώτη και που να περνάει από ένα από τα δύο σημεία. Ορίζουμε και μια τρίτη ευθεία κάθετη στην προηγούμενη που να περνάει από το άλλο σημείο. Εφόσον η πρώτη ευθεία είναι κάθετη στις άλλες δύο, αυτές θα είναι κάθετες μεταξύ τους.
Αυτό είναι το περίφημο 5ο θεώρημα του Ευκλείδη! (the parallel postulate) Ουσιαστικά πρόκειται για απλή λογική επαγωγή: Αν Α τότε Β. Αν Β τότε Γ. Οπότε αν Α τότε Γ. Αξίζει πάντως να το διατυπώσουμε με τα δικά του λόγια:
‘‘Αν δυο ευθείες τέμνονται από μια τρίτη ευθεία με τέτοιον τρόπο ώστε οι γωνίες που σχηματίζονται στην ίδια πλευρά να έχουν άθροισμα μικρότερο από δυο ορθές γωνίες, τότε οι δυο ευθείες τέμνονται στην ίδια πλευρά.’’
Αξίζει τον κόπο εδώ να κάνουμε μία επισήμανση: Ο Ευκλείδης διατύπωσε το θεώρημα με άρνηση, όχι κατάφαση. Είπε δηλαδή πότε δύο ευθείες δεν είναι παράλληλες. Γιατί άραγε; Τι είχε στο μυαλό του; Αυτό κανείς δεν το ξέρει. Αλλά ίσως πρόκειται για μία συνέπεια της λογικής επαγωγής. Είναι πιο εύκολο κάποιος να αποδείξει κάτι ότι ισχύει, παρά ότι δεν ισχύει: Σκεφτείτε το εξής: Αν ορίσουμε τι είναι κύκλος, μπορούμε εύκολα να το αποδείξουμε. Αν ορίσουμε τι δεν είναι κύκλος, τότε μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από ένα κύκλο…
Υπερβολική γεωμετρία
Escher, Circle limit
Ο τελευταίος συλλογισμός είναι ακριβώς η ατέρμονη ακολουθία μαθηματικών αποδείξεων που ξεκίνησαν μετά την εποχή του Ευκλείδη για να εξεταστούν οι συνέπειες του 5ου θεωρήματός του.
Ο Πρόκλος (410-485) έδωσε τον ακόλουθο ορισμό, ο οποίος, όπως απέδειξε με εις άτοπον επαγωγή, είναι ισοδύναμος με το 5ο θεώρημα του Ευκλείδη:
‘‘Έχοντας μια ευθεία και ένα σημείο που δεν βρίσκεται στην ευθεία, μπορεί να χαραχθεί μόνο μια ευθεία που να περνάει από το σημείο και να είναι παράλληλη στην αρχική ευθεία.’’
(Αλλιώς αξίωμα του Playfair)
Επειδή αυτός είναι ακριβώς ο απλούστερος τρόπος που μπορούμε να κατανοήσουμε το 5ο θεώρημα του Ευκλείδη, είναι αρκετό να περάσουμε κατευθείαν από τον Πρόκλο στον Lobachevsky, ο οποίος σε ένα κείμενό του (1840) εξηγεί παραστατικά το πώς θα μπορούσε να είναι η ‘μη’ Ευκλείδεια γεωμετρία:
Αυτό που μας λέει ο Lobachevsky είναι ότι από το σημείο Α μπορούν να υπάρχουν εκτός από την EE’ περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες (μη τέμνουσες) στην BC. Η λογική βεβαίως λέει πως κάτι τέτοιο είναι αδύνατο. Αν υπάρχουν κι άλλες τέτοιες ευθείες τότε δεν θα περνάνε από το σημείο Α. Αλλιώς το σημείο Α δεν είναι μοναδικό. Αλλιώς το Α είναι ευθεία… Η σκέψη μου με οδηγεί εδώ σε θεωρίες περισσοτέρων διαστάσεων (όπου μια ευθεία θα μπορούσε να φαίνεται σε εμάς σαν σημείο). Σκεφτείτε ότι κοιτάτε μια ευθεία ακριβώς μπροστά σας με τέτοιον τρόπο ώστε να φαίνεται μόνο το ‘πρώτο’ σημείο της. Αλλά αρκεί αυτή η σκέψη προς το παρόν. Εδώ θα διατυπώσουμε το θεώρημα του Lobachevsky με τα δικά του λόγια:
‘‘Υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες σε μια δεδομένη ευθεία που να περνούν από ένα σημείο το οποίο δεν βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία.’’
Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη σκέψη του Lobachevsky, θα πρέπει να ασχοληθούμε λίγο παραπάνω με την έννοια της υπερβολικής γεωμετρίας. Το τι είναι, σε αντιδιαστολή, η σφαιρική γεωμετρία μπορούμε σχετικά εύκολα να το οπτικοποιήσουμε με μια σφαίρα. Αν πάρουμε ένα σημείο στο ‘βόρειο πόλο’ της σφαίρας και θεωρήσουμε ως ‘ευθεία’ τον ισημερινό της, τότε ξέρουμε ότι όλες οι ‘ευθείες’ (μεσημβρινοί) που περνάνε από το πολικό σημείο θα τέμνουν ‘κάθετα’ τον ισημερινό. Με αυτήν την έννοια αυτές οι (άπειρες) ευθείες θα είναι ‘παράλληλες’ μεταξύ τους.
Η οπτικοποίηση, από την άλλη μεριά, μιας υπερβολικής γεωμετρίας είναι πιο δύσκολη. Ένα σύνηθες σχήμα που χρησιμοποιείται είναι αυτό ενός σαμαριού. Μπορεί να μας βοηθήσει και το ακόλουθο σχήμα:
Μπορούμε να φανταστούμε τις δύο ευθείες που περνούν από το σημείο Ρ να ‘καμπυλώνονται,’ σαν πάνω στην επιφάνεια ενός σαμαριού, με τέτοιον τρόπο ώστε να κατευθύνονται ασύμπτωτα προς την ευθεία l, να την προσεγγίζουν δηλαδή διαρκώς στο άπειρο. Ουσιαστικά, η υπερβολική γεωμετρία είναι αυτή στην οποία δεν ισχύει το 5ο θεώρημα του Ευκλείδη. Δηλαδή, παρότι η γωνία ΑΡΒ είναι μικρότερη από δύο ορθές (<180 μοίρες) οι δύο ευθείες δεν βρίσκουν ποτέ την ευθεία l.
Τι είναι τελικά η (μη) Ευκλείδεια γεωμετρία
Στην πραγματικότητα, μέχρις εδώ έχουμε καταλήξει ουσιαστικά σε άτοπο: Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν οι δύο ευθείες δεν τέμνουν την ευθεία l, τότε δεν είναι ευθείες. Είναι καμπύλες γραμμές. Από την άλλη μεριά, έχουμε δεχτεί αξιωματικά την ύπαρξη της ευθείας και του σημείου. Πότε μια γραμμή είναι ευθεία; Βλέπουμε ότι αμέσως δυσκολευόμαστε να δώσουμε ένα σαφή και ικανοποιητικό ορισμό. Αν ευθεία είναι μια συλλογή άπειρων σημείων, και πάλι μπορεί να είναι καμπύλη ή ακόμα και επίπεδο ή ο ίδιος ο ‘χώρος.’
Αυτή η αδυναμία ορισμού μιας ευθείας, σε αντιδιαστολή με μια καμπύλη, οδήγησε τον Einstein στο να χρησιμοποιήσει την έννοια των γεωδαισικών κοσμικών γραμμών ως των πραγματικών ‘ευθειών,’ πάνω στις οποίες χαράζεται η διαδρομή ενός αντικειμένου. Σε αυτήν την περίπτωση δυο ‘ευθείες’ είναι παράλληλες όταν το μεταξύ τους διάστημα μένει σταθερό. Μόνο που σε αυτήν την περίπτωση στο ‘διάστημα’ συμπεριλαμβάνεται και ο χρόνος.
Μπορούμε επομένως να πούμε ότι στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν ευθείες. Ένα ευθύγραμμο τμήμα αν προεκταθεί στο άπειρο θα μας αποκαλύψει αργά ή γρήγορα ‘παραμορφώσεις’ που θα οφείλονται σε καμπυλώσεις του χώρου-χρόνου. Η γεωμετρία άλλωστε δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητη της φύσης την οποία και καλείται να περιγράψει.
Η έννοια της καμπυλότητας
Ερχόμαστε έτσι σ' ένα σημαντικό κριτήριο τού τι είναι ‘ευθεία παράλληλη (ή κάθετη) σε μια άλλη ευθεία.’ Ερχόμαστε δηλαδή στην έννοια της καμπυλότητας. Πρώτα απ’ όλα θα πρέπει να έχει ήδη γίνει κατανοητό ότι αυτός που ‘περπατάει’ πάνω σε μια καμπύλη δεν αντιλαμβάνεται την όποια καμπυλότητα. Αυτό μπορούμε να το κατανοήσουμε ως εξής: Αν αυτός ο παρατηρητής κρατά ένα ‘κοντάρι’ (που στα μαθηματικά λέγεται διάνυσμα) τέτοιο ώστε η ‘μύτη’ του κονταριού να δείχνει προς τα πάνω και η άλλη του άκρη να πατά στο ‘έδαφος,’ θα βλέπει συνέχεια το κοντάρι του προσανατολισμένο κάθετα προς τα ‘πάνω.’ Μόνο ένας ‘εξωτερικός’ παρατηρητής θα διαπιστώνει τις όποιες μεταβολές στην κατεύθυνση του κονταριού, κι αυτό βεβαίως σε σχέση με ένα δικό του κοντάρι. Αυτό είναι ένα γεγονός ανάλογο με το ότι ζώντας στη γη δεν αντιλαμβανόμαστε ούτε την καμπυλότητα ούτε την περιστροφή της, παρά μόνο αν βρεθούμε σε έναν διαστημικό σταθμό και κοιτάξουμε τη γη από ‘ψηλά.’ Ουσιαστικά, ένας παρατηρητής βιώνει το χώρο (και το χρόνο) στον οποίο ζει ‘αδρανειακά.’
Πώς τότε κάποιος χωρίς αναφορά σε κάποιον άλλο ‘αφ’ υψηλού’ παρατηρητή μπορεί να διαπιστώσει ότι ο χώρος στον οποίο ζει είναι ‘στρεβλός’; Εδώ ακριβώς ερχόμαστε στην περίφημη ταινία του Mobius. Αυτή η ταινία έχει πράγματι ένα μοναδικό χαρακτηριστικό: Αν κάποιος αρχίζει να βαδίζει από ένα σημείο στο εξωτερικό της ταινίας θα καταλήξει πίσω στο ‘ίδιο σημείο’ αλλά από την εσωτερική μεριά της ταινίας! Αυτό το γεγονός είναι τόσο παράδοξο όσο το να πούμε ότι ένα σημείο έχει δύο διαστάσεις. Αλλά ας περιοριστούμε προς το παρόν στο πείραμα με το κοντάρι: Αν ξεκινώντας το ταξίδι μας πάνω στην ταινία του Mobius έχουμε το κοντάρι μας να δείχνει προς τα πάνω, θα καταλήξουμε πίσω με το κοντάρι μας να δείχνει προς τα κάτω. Πρόκειται δηλαδή για αντιστροφή της καμπυλότητας. Μπορούμε μάλιστα ξεκινώντας να ‘μπήξουμε’ ένα κοντάρι στο ‘έδαφος’ δείχνοντας η αιχμή του προς τα πάνω, έτσι ώστε όταν επιστρέψουμε να δούμε ότι ένα άλλο κοντάρι που πήραμε μαζί μας θα δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με το πρώτο!
Οπτικές ψευδαισθήσεις και αδύνατα αντικείμενα
Διαπιστώνουμε πως όχι μόνον ο χώρος αλλά και τα καθημερινά μας αντικείμενα μπορούν να είναι ‘στρεβλά.’ Ίσως και ο τρόπος που ο ανθρώπινος εγκέφαλος αντιλαμβάνεται τα σχήματα. Το τρίγωνο του Penrose έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με την ταινία του Mobius, ενώ οι ‘σκάλες’ του Penrose, όπως και ο διπλανός πίνακας του Escher δημιουργούν την ψευδαίσθηση ενός αεικίνητου, καθώς κάποιος μπορεί να ανηφορίζει στα σκαλοπάτια χωρίς καμία προσπάθεια! Ωστόσο, η φωτογραφία με το ‘τρίγωνο,’ όπως πραγματικά φαίνεται μέσα στον καθρέφτη, δείχνει ότι τελικά το ‘τρίγωνο’ δεν ήταν τρίγωνο, αλλά τρία συνεχόμενα τμήματα τοποθετημένα σε τέτοια οπτική γωνιά ώστε να δίνουν την εντύπωση ενός αδύνατου αντικειμένου.
Άλλες γεωμετρίες και ‘αλλαγή διάστασης’
Θα τολμήσω, εντούτοις, να κάνω ένα βήμα παραπάνω σε αυτόν τον κόσμο του παραδόξου και των ψευδαισθήσεων: Τι αν τα απίστευτα αντικείμενα είναι κάτι παραπάνω από ένα ‘τρυκ;’ Θα μπορούσαν να αποτελούν αναπαραστάσεις σχημάτων σε έναν κόσμο περισσότερων ‘διαστάσεων’ απ’ όσες έχουμε ‘συνηθίσει’ να αντιλαμβανόμαστε; Αν και θεωρώ τον όρο ‘άλλη διάσταση’ παραπλανητικό, επειδή προϋποθέτει μια αδύνατη γεωμετρική αναπαράσταση, θα μπορούσαμε να σκεφτούμε το εξής: Αν μια ‘ευθεία’ είναι μια συλλογή ‘σημείων,’ θα μπορούσε κι ένα ‘σημείο’ να είναι μια συλλογή ‘ευθειών;’ Στην πραγματικότητα αυτό εκφράζει το πολύχωρο Calabi-Yau και ο ‘δράκος’ του Escher: έναν χώρο ‘παγιδευμένο’ μέσα σε ένα ‘σημείο.’
Μας ξενίζει βέβαια το γεγονός ότι ένα σημείο παύει να είναι αδιάστατο. Αλλά, αν το καλοσκεφτούμε, θα διαπιστώσουμε ότι δεν μπορεί να είναι αδιάστατο, γιατί τότε δεν θα είχε νόημα και ένα σύνολο αδιάστατων σημείων, δηλαδή μια ευθεία. Θα μπορούσα μάλιστα να προτείνω τον όρο ‘μηδενική διάσταση (zero dimension),’ για ένα σημείο.
Μέσα σε αυτόν τον ‘μηδενικό χώρο’ βρίσκονται παγιδευμένες οι επιπλέον ‘διαστάσεις’ της σύγχρονης θεωρίας των χορδών (M- Theory). Αυτές θα είναι, άλλωστε πράγμα αναμενόμενο, ‘μικροσκοπικές.’ Το πώς αυτές οι μικροσκοπικές διαστάσεις ‘ξεδιπλώνονται’ μέσα στον πολυδιάστατο χώρο και το πώς αλληλεπιδρούν με τις δικές μας τρεις διαστάσεις του χώρου (και τη μία επιπλέον του χρόνου), θέλει προφανώς αρκετή δημιουργική φαντασία. Μπορούμε ωστόσο να κάνουμε την εξής οπτικοποίηση: Αν ένα σημείο αποτελεί από μόνο του έναν ‘πολυχώρο,’ τότε σε κάθε επόμενη διάσταση όλες οι προηγούμενες μπορούν να αναπαρασταθούν με ένα σημείο. Μια συλλογή τέτοιων σημείων (‘ευθεία’) χαράζει το δρόμο που θα μας οδηγήσει στην ‘επόμενη διάσταση.’ Πρόκειται δηλαδή για μια αέναη ακολουθία σημείων που ‘ανοίγουν’ και ευθειών που ‘κλείνουν’ επεκτείνοντας διαρκώς το ‘χώρο και χρόνο’ μας.
Το ‘μυρμήγκι’ που φτάνει στο ‘τέρμα’ του κόσμου
Προς το παρόν δεν μπορώ να επεκταθώ περισσότερο, καθώς έχουμε μάλλον φτάσει στα ‘όρια’ του κόσμου μας! Εντούτοις, καταληκτικά θα ήθελα να κάνω την ακόλουθη επισήμανση: Θα μπορούσαμε να δείξουμε ότι το τρίγωνο του Penrose και το ‘αδύνατο’ τρίγωνο της φωτογραφίας, που φαίνεται παραπάνω, είναι, με κάποιον τρόπο, μαθηματικά ισοδύναμα. Θα μπορούσαν, λόγου χάρη, τα τρία ευθύγραμμα τμήματα που τα αποτελούν καθώς και οι μεταξύ τους γωνίες να είναι ίσα. Με άλλα λόγια θα μπορούσαμε να ‘ανοίξουμε’ το τρίγωνο του Penrose και να το αναλύσουμε σε τρία συνεχόμενα σκέλη. Ύστερα να τα ‘αναδιπλώσουμε,’ παίρνοντας πίσω το αδύνατο τρίγωνο. Σε γλώσσα ‘πολλών διαστάσεων,’ θα μπορούσαμε να πάρουμε μια επιπλέον διάσταση και να την ‘αναδιπλώσουμε’ στο δικό μας κόσμο. Η εμπειρία βέβαια που θα είχαμε αν κάτι τέτοιο συνέβαινε, θα ήταν να δούμε τους εαυτούς μας ως δια μαγείας να επιστρέφουν ακαριαία πίσω στο σημείο απ’ όπου ξεκινήσαμε. Για ακόμη μια φορά...
****************************************************