9/19/08

O Gödel και το θεώρημα της μη πληρότητας




"Κάποιοι δεν μπορούν να πουν την αλήθεια, άλλοι δεν μπορούν να πουν ψέματα, αλλά κανείς απ' ότι φαίνεται δεν ξέρει τη διαφορά."

Φανταστείτε ότι φτιάχνετε ένα πρόγραμμα για υπολογιστή στο οποίο περιλαμβάνετε την ακόλουθη πρόταση:"Αυτή η πρόταση είναι ψευδής".Ύστερα ρωτάτε τον υπολογιστή να σας απαντήσει αν η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή ή λάθος.Αν ο υπολογιστής απαντήσει 'σωστό', τότε η πρόταση είναι ψευδής. Αν απαντήσει 'λάθος', τότε η πρόταση είναι αληθής.Ο υπολογιστής θα πέσει σ' έναν ατέρμονο βρόγχο (loop), από τον οποίο δεν θα καταφέρει να βγει παρά μόνο με black- out! Το προηγούμενο παράδοξο ονομάζεται 'παράδοξο του ψεύτη' (liar paradox). Σαν κάποιος (εικόνα του post) να μας λέει με .... απόλυτη ειλικρίνεια: 'Μην πιστεύεις τίποτε απ' ό,τι σου λέω!'.

Υπάρχουν παραλλαγές του παραδόξου όπως οι προτάσεις: 'Η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή', 'η επόμενη είναι λάθος', κοκ. Η βασική αρχή πάντως που παραβιάζεται σε κάθε περίπτωση είναι η συνέπεια (consistency). Κάθε λογική μας πρόταση θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από συνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστή και λάθος, συντακτικά και νοηματικά. Αυτή είναι και η βασική αρχή της επαγωγικής λογικής. Αυτό θα μπορούσε κάποιος αμέσως να σκεφτεί στην προηγούμενη ερώτηση: "Ποια ερώτηση;". Θα χρειαζόταν δηλαδή κάποια επιπλέον πρόταση, η οποία δεν περιέχεται στην προηγούμενη πρότασή μας.



Ο Gödel ήταν αυτός που επεξέτεινε το παραπάνω παράδοξο για να δείξει ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί ποτέ μια 'τέλεια μηχανή της αλήθειας', γιατί ακριβώς δε θα μπορούσε να απαντήσει αν η πρόταση: "Δεν θα πεις ποτέ ότι αυτή η πρόταση είναι αληθής", είναι αληθής ή ψευδής. Κατάφερε μάλιστα να μαθηματικοποιήσει το παραπάνω παράδοξο, στο θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο απλά λέει ότι σε κάθε σύστημα υπάρχει πάντοτε μία παραδοχή η οποία είναι αληθής, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα. Σε συντομία, για κάθε θεωρία Τ υπάρχει η αντίστοιχη πρόταση G που λέει "Η πρόταση G δεν μπορεί να απαντηθεί μέσα από τη θεωρία Τ." Αν η G ήταν αποδείξιμη με τα αξιώματα της Τ και τους επαγωγικούς κανόνες, τότε η Τ θα είχε ένα θεώρημα G, πράγμα που ακυρώνει την αρχική υπόθεση, πράγμα που αποτελεί αντίφαση και επομένως η θεωρία Τ θα ήταν ασυνεπής. Αν η θεωρία Τ είναι συνεπής, τότε η πρόταση G δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από τη θεωρία, οπότε η θεωρία Τ είναι ατελής (μη πλήρης).



Το βασικό χαρακτηριστικό του προηγούμενου παραδόξου και του θεωρήματος της μη πληρότητας του Gödel είναι η λεγόμενη 'αυτοαναφορά' (self-reference), μία πρόταση δηλαδή που αναφέρεται κατευθείαν στον εαυτό της. Σκεφτείτε για παράδειγμα την παραδοχή: "Είμαι όμορφος". Μόλις είπα κάτι που ούτε μπορεί να αποδειχτεί, ούτε ίσως έχει νόημα για τον κόσμο. Κατά τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα του Gödel μας λέει ότι υπάρχουν παραδοχές οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν με τα αξιώματα του (ίδιου) συστήματος, γιατί αναφέρονται ακριβώς σε αυτά τα αξιώματα των οποίων αποτελούν λογική συνέπεια.

Υπάρχει κι άλλο ένα σημαντικό στοιχείο στο οποίο πρέπει να σταθούμε. Η έννοια της αλήθειας. Πώς μπορούμε να δεχόμαστε κάτι ως αληθινό αν δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι αληθινό; Υπάρχει και μία 'θεωρία της αλήθειας' (Redundancy theory of truth) που λέει ότι η αλήθεια είναι μία περίφραση, ένας πλεονασμός, καθώς πρόκειται για μια λέξη που αναφέρεται σε κάποιο συγκεκριμένο περιεχόμενο, στα ίδια της τα αξιώματα θα λέγαμε, παρά σε κάτι το πραγματικό. Ο Θεός, η ύπαρξή μας, η ζωή μετά θάνατο, είναι συνηθισμένες καθημερινές μας 'αλήθειες', που ισχύουν έστω κι αν δεν μπορούν να αποδειχθούν με στοιχεία από τον πραγματικό κόσμο.




Το θεώρημα (δύο θεωρήματα στην πραγματικότητα) της μη πληρότητας του Gödel, είναι θεώρημα της μαθηματικής λογικής. Εντούτοις θα μπορούσαμε να το γενικεύσουμε σε όλους τους τομείς της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Πολλές φορές η σκέψη μας οδηγείται σε παράδοξα και άτοπα, χωρίς να φαίνεται να υπάρχει κάποιο 'λογικό σφάλμα.' Δεχόμαστε αξιώματα ως προσωπικές ή 'αντικειμενικές' αλήθειες, οι οποίες και είναι αυτονόητες, δηλαδή δεν μπορούν ούτε και έχει νόημα να αποδειχθούν. Επίσης, η σύγχρονη φυσική ψάχνει τη μεγάλη ενοποιημένη θεωρία των πάντων. Αν δεχτούμε όμως ότι το θεώρημα του Gödel επεκτείνεται και στο χώρο της φυσικής, τότε οι προσπάθειές μας για αυτήν την ενοποίηση και την πλήρωση της ανθρώπινης γνώσης είναι ουτοπικές...

Παραπομπές:
Υπάρχει κι ένα φιλοσοφικό δοκίμιο Minds, Machines and Gödel του J. R. Lucas, 1959, στο οποίο δείχνει ότι ένας άνθρωπος μαθηματικός δεν μπορεί να ταυτιστεί μ' ένα αλγοριθμικό αυτόματο, γιατί σύμφωνα με το θεώρημα του Gödel θα υπάρχει κάποια μαθηματική υπόθεση που δε θα μπορεί από μία μηχανή να αποδειχτεί, αλλά την οποία ο άνθρωπος μαθηματικός θα βλέπει και θα υποδεικνύει ως σωστή.

6 comments:

  1. Καλησπέρα!
    Τα post σας είναι food for thought!
    Πάνω στο τελευταίο που αναφέρεται στο θεώρημα της μη πληρότητας, γνωρίζετε αν υπάρχει κάποιο βιβλίο στην ελληνική βιβλιογραφία το οποίο εσείς θα προτείνατε?
    Σας ευχαριστώ πολύ!

    ReplyDelete
  2. Το πιο γνωστό βιβλίο που κυκλοφορεί είναι το "Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid" του Hofstadter. Δεν γνωρίζω αν έχει μεταφραστεί στα ελληνικά.

    ReplyDelete
  3. χαχαχαχα
    Ακόμα γελάω...

    Καληνύχτα ποιητή :)

    ReplyDelete
  4. Παίρνω το θάρρος να αναφέρω ένα βιβλίο για τον Γκέντελ.Είναι το ''ΑΙΧΜΑΛΩΤΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ΚΟΥΡΤ ΓΚΕΝΤΕΛ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ''της REBECCA GOLDSTEIN εκδ.ΤΡΑΥΛΟΣ.Καλό σας βράδυ!!!

    ReplyDelete
  5. Ευχαριστώ για την πληροφορία!
    Δεν το ήξερα.

    ReplyDelete