10/15/12

Ο Gödel και το τέλος της φυσικής

του S. W. Hawking 

Σε αυτή την κουβέντα, θέλω να ρωτήσω πόσο μακριά μπορούμε να φτάσουμε, στην αναζήτησή μας για την κατανόηση του κόσμου και τη γνώση, αν θα ανακαλύψουμε ποτέ μια ολοκληρωμένη μορφή των νόμων της φύσης. Όταν λέω μια ολοκληρωμένη μορφή, εννοώ ένα σύνολο κανόνων, που αρχικά τουλάχιστον, μας επιτρέπει να προβλέψουμε το μέλλον με αυθαίρετη ακρίβεια, γνωρίζοντας κάποια δεδομένη στιγμή την κατάσταση του σύμπαντος. Μια ποιοτική κατανόηση των νόμων, υπήρξε ο στόχος των φιλοσόφων και επιστημόνων, από τον Αριστοτέλη και έπειτα. Αλλά ήταν η Principia Mathematica του Νεύτωνα το 1687, που περιείχε τη θεωρία της παγκόσμιας έλξης, που έκανε τους νόμους ποσοτικούς και ακριβείς. Αυτό οδήγησε στην ιδέα του επιστημονικού ντετερμινισμού, που φαίνεται να εκφράστηκε αρχικά από τον Laplace. Αν κάποια δεδομένη στιγμή, κάποιος ήξερε τις θέσεις και τις ταχύτητες όλων των σωματιδίων του σύμπαντος, οι νόμοι της επιστήμης του επέτρεπαν να υπολογίσει τις θέσεις και τις ταχύτητες, οποιαδήποτε άλλη στιγμή, στο παρελθόν ή στο μέλλον. Οι νόμοι μπορεί να τέθηκαν ή όχι από το Θεό, αλλά ο επιστημονικός ντετερμινισμός ισχυρίζεται ότι Εκείνος δεν παρεμβαίνει, να τους αλλάξει. 

 Στην αρχή, φαινόταν ότι αυτές οι ελπίδες για έναν πλήρη ντετερμινισμό θα διαψεύδονταν, από την ανακάλυψη στις αρχές του 20ού αιώνα, ότι γεγονότα όπως η διάσπαση των ραδιενεργών ατόμων, φαινόταν να πραγματοποιούνται τυχαία. Ήταν σαν ο Θεός να έπαιζε ζάρια, κατά την έκφραση του Einstein. Όμως, η επιστήμη πήρε τη νίκη μέσα από τα σαγόνια της ήττας, αναθεωρώντας τους στόχους, και επανακαθορίζοντας την έννοια μιας πλήρης γνώσης του σύμπαντος. Ήταν μια αναλαμπή της ευφυΐας, οι φιλοσοφικές συνέπειες της οποίας δεν έχουν ακόμη εκτιμηθεί πλήρως. Ένα μεγάλο μέρος της επιτυχίας ανήκει στον Paul Dirac, ο οποίος ήταν προκάτοχός μου στην έδρα των μαθηματικών του Cambridge, παρότι τότε η επιτυχία δεν του είχε αναγνωριστεί. Ο Dirac έδειξε πως το έργο των Erwin Schrödinger και Werner Heisenberg, θα μπορούσε να ενσωματωθεί στη νέα εικόνα της πραγματικότητας, που ονομάζεται κβαντική θεωρία. Στην κβαντική θεωρία, ένα σωματίδιο δεν χαρακτηρίζεται από τις δύο ποσότητες, τη θέση και την ταχύτητα, όπως στην κλασική Νευτώνεια θεωρία. Αντίθετα περιγράφεται με μία μόνο ποσότητα, την κυματοσυνάρτηση. Το μέγεθος της κυματοσυνάρτησης σε ένα σημείο, δίνει την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε αυτό το σημείο, και ο ρυθμός με τον οποίο η κυματοσυνάρτηση αλλάζει από σημείο σε σημείο, δίνει την πιθανότητα των διαφορετικών ταχυτήτων. Κάποιος μπορεί να έχει μια κυματοσυνάρτηση με μια οξεία κορυφή σε ένα σημείο. Αυτό αντιστοιχεί σε μια κατάσταση στην οποία υπάρχει μικρή αβεβαιότητα για τη θέση του σωματιδίου. Ωστόσο, η κυματοσυνάρτηση ποικίλλει ταχέως, ώστε να υπάρχει μεγάλη αβεβαιότητα στην ταχύτητα. Παρομοίως, μια μεγάλη σειρά κυμάτων έχει μια μεγάλη αβεβαιότητα στην θέση, αλλά μια μικρή αβεβαιότητα στην ταχύτητα. Κάποιος μπορεί να έχει μια καλά καθορισμένη θέση, ή μια καλά καθορισμένη ταχύτητα, αλλά όχι και τα δύο. 

 Κάτι τέτοιο φαίνεται να καθιστά αδύνατο τον πλήρη ντετερμινισμό. Αν δεν είναι δυνατό να καθοριστούν με ακρίβεια τόσο η θέση όσο και η ταχύτητα, των σωματιδίων σε κάποια δεδομένη χρονική στιγμή, πώς μπορεί κάποιος να προβλέψει τι τιμές θα έχουν στο μέλλον; Είναι σαν την πρόγνωση του καιρού. Αυτοί που κάνουν την πρόγνωση, δεν έχουν μια ακριβή γνώση της ατμόσφαιρας κάποια δεδομένη στιγμή. Μόνο μερικές μετρήσεις στο επίπεδο του εδάφους, και ό,τι μπορεί κάποιος να μάθει από δορυφορικές φωτογραφίες. Για το λόγο αυτό οι καιρικές προβλέψεις είναι τόσο αναξιόπιστες. Ωστόσο, στην κβαντική θεωρία, προκύπτει ότι κάποιος δεν χρειάζεται να γνωρίζει και τη θέση και την ταχύτητα. Αν κάποιος γνωρίζει τους νόμους της φυσικής, και την κυματοσυνάρτηση σε κάποια χρονική στιγμή, τότε αυτό που ονομάζεται εξίσωση του Schrödinger, θα του πει πόσο γρήγορα η κυματοσυνάρτηση αλλάζει με το χρόνο. Αυτό θα του επιτρέψει να υπολογίσει την κυματοσυνάρτηση οποιαδήποτε άλλη στιγμή. Κάποιος λοιπόν μπορεί να ισχυριστεί ότι εξακολουθεί να υπάρχει ντετερμινισμός, αλλά είναι ντετερμινισμός σε ένα μειωμένο επίπεδο. Αντί να μπορούμε με ακρίβεια να προβλέψουμε δύο ποσότητες, τη θέση και την ταχύτητα, μπορούμε να προβλέψουμε μόνο μια ενιαία ποσότητα, την κυματοσυνάρτηση. Έχουμε επανακαθορίσει το ντετερμινισμό, να είναι μόλις το μισό από ό,τι ο Laplace πίστευε. Κάποιοι προσπάθησαν να συνδέσουν τον απρόβλεπτο παράγοντα του άλλου μισού, με τη συνείδηση, ή με την παρέμβαση υπερφυσικών όντων. Αλλά είναι δύσκολο να αποδειχθεί είτε η μία ή η άλλη υπόθεση, για κάτι που είναι εντελώς τυχαίο. 

 Προκειμένου να υπολογίσουμε πώς η κυματοσυνάρτηση εξελίσσεται στο χρόνο, χρειάζονται οι κβαντικοί νόμοι που διέπουν το σύμπαν. Αλλά πόσο καλά γνωρίζουμε αυτούς τους νόμους; Όπως παρατήρησε ο Dirac, οι εξισώσεις του Maxwell για το φως, και η σχετικιστική κυματοσυνάρτηση, που ο ίδιος ήταν πολύ μετριόφρων για να την ονομάσει εξίσωση του Dirac, διέπουν το μεγαλύτερο μέρος της φυσικής, και ολόκληρη τη χημεία και τη βιολογία. Οπότε κατ’ ουσία, θα έπρεπε να είμαστε σε θέση να προβλέψουμε την ανθρώπινη συμπεριφορά, παρότι δεν μπορώ να πω ότι είχα προσωπικά μεγάλη επιτυχία σε αυτό το πρόβλημα. Το πρόβλημα είναι ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος περιέχει πάρα πολλά σωματίδια, για να μπορέσουμε να λύσουμε τις εξισώσεις. Αλλά είναι παρήγορο να πιστεύουμε ότι μπορούμε να προβλέψουμε τη συμπεριφορά του νηματοειδούς σκουληκιού, ακόμα και αν δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με τον άνθρωπο. Η κβαντική θεωρία και οι εξισώσεις του Maxwell και του Dirac, πράγματι διέπουν ένα μεγάλο μέρος της ζωής μας, αλλά υπάρχουν δύο σημαντικοί τομείς πέρα από το πεδίο εφαρμογής τους. Ένας είναι οι πυρηνικές δυνάμεις. Ο άλλος είναι η βαρύτητα. Οι πυρηνικές δυνάμεις είναι υπεύθυνες για τον ήλιο που λάμπει, και για το σχηματισμό των στοιχείων, συμπεριλαμβανομένων του άνθρακα και του οξυγόνου, στοιχεία από τα οποία έχουμε σχηματιστεί. Και η βαρύτητα προκάλεσε το σχηματισμό των άστρων και των πλανητών, και πράγματι, του ίδιου, του σύμπαντος. Είναι λοιπόν σημαντικό να φέρουμε αυτές τις δυνάμεις στο προσκήνιο. 

 Οι λεγόμενες ασθενείς πυρηνικές δυνάμεις, έχουν ήδη ενοποιηθεί με τις εξισώσεις του Maxwell, από τους Abdus Salahm και Stephen Weinberg, σε αυτό, που είναι γνωστό ως, ηλεκτρασθενής θεωρία. Έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά οι προβλέψεις της θεωρίας αυτής, και οι προαναφερθέντες επιβραβεύθηκαν με το βραβείο Νόμπελ. Οι άλλες πυρηνικές δυνάμεις, οι λεγόμενες ισχυρές δυνάμεις, δεν έχουν ακόμη επιτυχώς ενοποιηθεί με τις ηλεκτρασθενείς δυνάμεις, με έναν πειραματικά ελεγχόμενο τρόπο. Αντίθετα, φαίνεται ότι μπορούν να περιγραφούν από μια παρόμοια αλλά ξεχωριστή θεωρία, που ονομάζεται QCD (Quantum Chromo- Dynamics). Δεν είναι σαφές ποιος, αν κάποιος πρόκειται, θα πάρει το Νόμπελ για την QCD, αλλά οι David Gross και Gerard t’ Hooft, μοιράζονται την επιτυχία για τη διαπίστωση ότι η θεωρία παίρνει απλούστερη μορφή στις υψηλές ενέργειες. Χρειάστηκα αρκετή δουλειά για να κάνω το συνθεσάιζερ ομιλίας μου να προφέρει το επώνυμο του Gerard. Δεν ήταν εξοικειωμένο με την απόστροφο στο ‘t’. Η ηλεκτρασθενής θεωρία, και η QCD, αποτελούν από κοινού το αποκαλούμενο καθιερωμένο μοντέλο της σωματιδιακής φυσικής (Standard Model), το οποίο αποσκοπεί να περιγράψει τα πάντα εκτός από τη βαρύτητα. 

 Το καθιερωμένο μοντέλο φαίνεται να είναι κατάλληλο για όλους τους πρακτικούς σκοπούς, τουλάχιστον για τα επόμενα εκατό χρόνια. Αλλά οι πρακτικοί ή οι οικονομικοί λόγοι, ποτέ δεν ήταν η κινητήρια δύναμη στην αναζήτησή μας για μια πλήρη θεωρία για το σύμπαν. Κανείς από όσους έχουν εργαστεί πάνω στη βασική θεωρία, από τον Galileo και έπειτα, δεν έχει πραγματοποιήσει τις έρευνές του για να βγάλει λεφτά, αν και ο Dirac θα είχε κάνει μια περιουσία αν είχε κατοχυρώσει με πατέντα την εξίσωση με το όνομά του. Θα είχε τα πνευματικά δικαιώματα σε κάθε τηλεόραση, ραδιόφωνο, βίντεο και υπολογιστή. 

 Ο πραγματικός λόγος που επιζητούμε μια πλήρη θεωρία, είναι ότι θέλουμε να κατανοήσουμε το σύμπαν, και να αισθανόμαστε ότι δεν είμαστε απλά τα θύματα σκοτεινών και μυστηριωδών δυνάμεων. Αν κατανοήσουμε το σύμπαν, τότε μπορούμε να το ελέγξουμε, κατά μια έννοια. Το καθιερωμένο μοντέλο είναι σαφώς ανεπαρκές από την άποψη αυτή, πρώτα από όλα, είναι άσχημο και περιοριστικό. Τα σωματίδια χωρίζονται με έναν φαινομενικά αυθαίρετο τρόπο, και το καθιερωμένο μοντέλο εξαρτάται από 24 αριθμούς, των οποίων οι τιμές δεν μπορούν να συναχθούν από τα αξιώματα, αλλά πρέπει να επιλέγονται κάθε φορά ώστε να ταιριάζουν στις παρατηρήσεις. Τι νόημα υπάρχει σε αυτό; Μπορεί κάτι τέτοιο να είναι η τελευταία λέξη της φύσης; Η δεύτερη αποτυχία του καθιερωμένου μοντέλου, είναι ότι δεν περιλαμβάνει τη βαρύτητα. Αντίθετα, η βαρύτητα περιγράφεται από τη γενική θεωρία της σχετικότητας του Einstein. Η γενική σχετικότητα, δεν είναι μια κβαντική θεωρία, σε αντίθεση με τους νόμους που διέπουν οτιδήποτε άλλο στο σύμπαν. Αν και δεν είναι συνεπές να χρησιμοποιήσουμε την μη κβαντική γενική σχετικότητα, με το κβαντικό καθιερωμένο μοντέλο, αυτό δεν έχει πρακτική σημασία στο παρόν στάδιο του σύμπαντος, επειδή τα βαρυτικά πεδία είναι ιδιαίτερα αδύναμα. Ωστόσο, στο πολύ πρώιμο σύμπαν, τα βαρυτικά πεδία θα ήταν πολύ ισχυρότερα και η κβαντική βαρύτητα θα ήταν σημαντική. Πράγματι, έχουμε αποδείξεις ότι η κβαντική αβεβαιότητα στο πρώιμο σύμπαν, έκανε ορισμένες περιοχές ελαφρώς περισσότερο ή λιγότερο πυκνές, από το κατά τα άλλα ομοιόμορφο υπόβαθρο. Αυτό μπορούμε να το δούμε σε μικρές διαφορές στα μικροκύματα της ακτινοβολίας υποβάθρου σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Οι θερμότερες, πυκνότερες περιοχές ξεχωρίζουν από τη διαστολή του σύμπαντος ως γαλαξίες, αστέρια και πλανήτες. Όλες οι δομές στο σύμπαν, συμπεριλαμβάνοντας και εμάς τους ίδιους, μπορούν να αναχθούν σε κβαντικά φαινόμενα σε ένα πολύ πρώιμο στάδιο. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να έχουμε μια πλήρως συνεπή θεωρία κβαντικής βαρύτητας, αν θέλουμε να κατανοήσουμε το σύμπαν. 

 Η κατασκευή μιας κβαντικής θεωρίας της βαρύτητας, αποτέλεσε το εξέχον πρόβλημα στη θεωρητική φυσική, τα τελευταία 30 χρόνια. Είναι ένα πρόβλημα πολύ πιο δύσκολο από ό, τι οι κβαντικές θεωρίες των ισχυρών και ηλεκτρασθενών δυνάμεων. Αυτές διαδίδονται μέσα σε ένα σταθερό υπόβαθρο στο χώρο και στο χρόνο. Κάποιος μπορεί να καθορίσει την κυματοσυνάρτηση, και να χρησιμοποιήσει την εξίσωση του Schrödinger για τη χρονική εξέλιξη. Αλλά σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, η βαρύτητα ταυτίζεται με το χώρο και το χρόνο. Επομένως, πώς μπορεί η κυματοσυνάρτηση για τη βαρύτητα, να εξελίσσεται στο χρόνο; Και τέλος πάντων, τι μπορεί κάποιος να εννοεί με μια κυματοσυνάρτηση για τη βαρύτητα; Αποδεικνύεται ότι, με μια τυπική έννοια, κάποιος μπορεί να ορίσει μια κυματοσυνάρτηση, και μια εξίσωση του Schrödinger για τη βαρύτητα, αλλά έχουν ελάχιστη χρησιμότητα σε πραγματικούς υπολογισμούς. 

 Αντίθετα, η συνηθισμένη προσέγγιση είναι να θεωρήσουμε τον κβαντικό χωροχρόνο, ως μια μικρή διαταραχή κάποιου χωροχρόνου υποβάθρου, γενικά το επίπεδο διάστημα. Οι διαταραχές μπορούν τότε να αντιμετωπιστούν ως κβαντικά πεδία, όπως το ηλεκτρασθενές και το QCD πεδίο, τα οποία διαδίδονται στο χωροχρόνο του υποβάθρου. Στους υπολογισμούς της θεωρίας διαταραχών (perturbation theory), γενικά υπάρχει κάποια ποσότητα, η οποία ονομάζεται ενεργή σύζευξη (effective coupling), που υπολογίζει πόση επιπλέον διαταραχή, δημιουργεί μια συγκεκριμένη διαταραχή. Εάν η σύζευξη είναι μικρή, μια μικρή διαταραχή, δημιουργεί μια μικρότερη διόρθωση, που δίνει μια ακόμα μικρότερη δεύτερη διόρθωση, και ούτω καθεξής. Η θεωρία διαταραχών λειτουργεί, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τους υπολογισμούς με οποιοδήποτε βαθμό ακρίβειας. Ένα παράδειγμα είναι ο τραπεζικός σας λογαριασμός. Οι τόκοι επί του λογαριασμού, είναι μια μικρή διαταραχή (μια πολύ μικρή διαταραχή αν είστε σε μία από τις μεγάλες τράπεζες). Ο τόκος είναι σύνθετος. Αυτό σημαίνει, ότι υπάρχει τόκος επί του κεφαλαίου, και τόκος επί του τοκισμένου κεφαλαίου. Ωστόσο, τα ποσά είναι μικρά. Με μια πολύ καλή προσέγγιση, τα χρήματα στο λογαριασμό σας, είναι περίπου όσα τοποθετήσατε αρχικά. Από την άλλη πλευρά, εάν η σύζευξη είναι υψηλή, η διαταραχή δημιουργεί μεγαλύτερη διαταραχή, που με τη σειρά της δημιουργεί μια ακόμα μεγαλύτερη διαταραχή. Ένα παράδειγμα είναι ο δανεισμός από τραπεζικούς ‘καρχαρίες’. Ο τόκος μπορεί να είναι μεγαλύτερος από όσα έχετε δανειστεί, και στη συνέχεια πληρώνετε τόκους επιπλέον. Είναι καταστροφικό. 

 Με τη βαρύτητα, η ενεργή σύζευξη είναι η ενέργεια ή η μάζα της διαταραχής, επειδή αυτό καθορίζει πόσο στρεβλώνεται ο χωροχρόνος, και έτσι δημιουργείται μια επιπλέον διαταραχή. Στην κβαντική θεωρία, ποσότητες όπως το ηλεκτρικό πεδίο, ή η γεωμετρία του χωροχρόνου, δεν έχουν καθορισμένες τιμές, ωστόσο, έχουν αυτό που αποκαλείται, κβαντικές διακυμάνσεις. Οι διακυμάνσεις αυτές έχουν ενέργεια. Στην πραγματικότητα, έχουν άπειρη ποσότητα ενέργειας, επειδή υπάρχουν διακυμάνσεις σε όλες τις κλίμακες μηκών κύματος, αυθαίρετα μικρές. Έτσι αντιμετωπίζοντας την κβαντική βαρύτητα ως μια διαταραχή του επίπεδου χώρου, δεν έχουμε καλά αποτελέσματα, επειδή οι διαταραχές συζευγνύονται ισχυρά. 

 Η υπερβαρύτητα (supergravity) εφευρέθηκε το 1976 για να επιλύσει ή τουλάχιστον για να βελτιώσει, το πρόβλημα της άπειρης ενέργειας. Είναι ένας συνδυασμός της γενικής σχετικότητας με άλλα πεδία, έτσι ώστε κάθε είδος σωματιδίου, να έχει ένα και ένα είδος υπερ-σωματιδίου για ζευγάρι. Η ενέργεια των κβαντικών διακυμάνσεων, του ενός μέρους του ζευγαριού, είναι θετική, και του άλλου αρνητική, έτσι έχουν την τάση να αλληλοακυρώνονται. Υπήρχε η ελπίδα ότι οι άπειρες θετικές και αρνητικές ενέργειας θα αλληλοακυρώνονταν, αφήνοντας μόνο ένα πεπερασμένο υπόλοιπο. Στην περίπτωση αυτή, μια αντιμετώπιση με τη θεωρία των διαταραχών θα λειτουργούσε, επειδή η ενεργή σύζευξη θα ήταν ασθενής. Ωστόσο, το 1985, οι άνθρωποι έχασαν ξαφνικά την πίστη ότι οι απειρισμοί θα ακυρώνονταν. Αυτό συνέβαινε όχι επειδή κάποιος είχε αποδείξει ότι δεν ακυρώνονταν. Θεωρούταν ότι θα χρειαζόταν ένας καλός μεταπτυχιακός φοιτητής, 300 χρόνια για να κάνει τους υπολογισμούς, και κανείς δεν θα μπορούσε να ξέρει ότι δεν είχε γίνει κάποιο λάθος στη δεύτερη σελίδα. Αλλά ήταν μάλλον επειδή ο Ed Witten είχε δηλώσει ότι η θεωρία χορδών, ήταν η πραγματική κβαντική θεωρία της βαρύτητας, ενώ η υπερβαρύτητα ήταν μόνο μια προσέγγιση, έγκυρη όταν οι ενέργειες των σωματιδίων ήταν χαμηλές, κάτι που στην πράξη ισχύει, έτσι κι αλλιώς. Στη θεωρία χορδών, η βαρύτητα δεν θεωρείται σαν στρέβλωση του χωροχρόνου. Αντίθετα, δίνεται από διαγράμματα χορδών, δίκτυα σωληνίσκων που αντιπροσωπεύουν μικρούς βρόγχους χορδών, που διαδίδονται στον επίπεδο χωροχρόνο. Η ενεργή σύζευξη, που δίνει την τάση των ενώσεων εκεί όπου τρεις σωληνίσκοι συναντώνται, δεν είναι η ενέργεια, όπως στην υπερβαρύτητα. Αντίθετα δίνεται από αυτό που λέγεται, dilaton, το σωματίδιο ενός πεδίου που ακόμα δεν έχει παρατηρηθεί. Αν το dilaton είχε μια χαμηλή τιμή, η ενεργή σύζευξη θα ήταν αδύναμη, και η θεωρία χορδών, θα ήταν μια καλή κβαντική θεωρία. Αλλά δεν έχει προς το παρόν καμία πρακτική εφαρμογή. 

 Κατά τα χρόνια μετά το 1985, έχουμε αντιληφθεί ότι τόσο η υπερβαρύτητα όσο και η θεωρία χορδών, ανήκουν σε μια ευρύτερη δομή, γνωστή ως M- θεωρία. Γιατί θα πρέπει να αποκαλείται έτσι, είναι εντελώς ασαφές. Η M- θεωρία, δεν είναι μια θεωρία με την κλασική έννοια. Περισσότερο πρόκειται για μια συλλογή θεωριών, που είναι μεταξύ τους πολύ διαφορετικές, αλλά που περιγράφουν την ίδια φυσική κατάσταση. Αυτές οι θεωρίες συνδέονται μεταξύ τους με μετασχηματισμούς ή αντιστοιχίες, που ονομάζονται dualities, πράγμα που υπονοεί ότι αποτελούν αντανακλάσεις της ίδιας υποκείμενης θεωρίας. Κάθε θεωρία της συλλογής, λειτουργεί καλά στα όρια, όπως σε εκείνο των χαμηλών ενεργειών, ή του ασθενούς dilaton, όπου η ενεργή σύζευξη είναι μικρή, αλλά καταρρέει όταν η σύζευξη είναι μεγάλη. Αυτό σημαίνει ότι καμία από τις θεωρίες, δεν μπορεί να προβλέψει το μέλλον του σύμπαντος, με αυθαίρετη ακρίβεια, για αυτό, θα χρειαζόταν μια ενιαία διατύπωση της Μ- θεωρίας, που θα λειτουργούσε σε κάθε περίπτωση. 

Μέχρι σήμερα, οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν σιωπηρά παραδεχθεί ότι υπάρχει μια ύστατη θεωρία, και ότι τελικά θα την ανακαλύψουμε. Πράγματι, ο ίδιος πρότεινα ότι ίσως να την ανακαλύψουμε πολύ σύντομα. Ωστόσο, η M- θεωρία με έχει κάνει να διερωτηθώ αν κάτι τέτοιο είναι αλήθεια. Ίσως να μην είναι δυνατόν να διατυπωθεί μια θεωρία του σύμπαντος με έναν πεπερασμένο αριθμό προτάσεων. Αυτό θυμίζει πολύ το θεώρημα του Gödel. Αυτό λέει ότι κάθε πεπερασμένο σύστημα αξιωμάτων, δεν επαρκεί για να αποδείξει κάθε αποτέλεσμα στα μαθηματικά. 

 Το θεώρημα του Gödel αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας προτάσεις αυτοαναφορικές. Αυτές οι προτάσεις οδηγούν σε παράδοξα. Ένα παράδειγμα είναι, αυτή η δήλωση είναι ψευδής. Αν η δήλωση είναι αληθής, είναι ψευδής. Και αν η δήλωση είναι ψευδής, είναι αλήθεια. Ένα άλλο παράδειγμα είναι το παράδοξο του κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζει κάθε άνδρα που δεν ξυρίζεται από μόνος του. Τότε ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Αν ο ίδιος ξυρίζει τον εαυτό του, τότε δεν το κάνει, αν όχι, τότε το κάνει. Ο Gödel διείσδυσε σε βάθος για να αποφύγει τέτοια παράδοξα, κάνοντας προσεκτικά τη διάκριση ανάμεσα στα μαθηματικά, όπως ότι 2 + 2 = 4, και στα μετα- μαθηματικά, ή σε δηλώσεις σχετικές με τα μαθηματικά, όπως ότι τα μαθηματικά είναι ωραία ή ότι τα μαθηματικά είναι συνεπή. Για αυτό το λόγο η διατριβή του είναι τόσο δυσανάγνωστη. Αλλά η βασική ιδέα είναι απλούστατη. 

 Πρώτα ο Gödel έδειξε ότι σε κάθε μαθηματική φόρμουλα, όπως το 2 + 2 = 4, μπορεί να αποδοθεί ένα μοναδικός αριθμός, ο αριθμός του Gödel. Ο αριθμός Gödel του 2 + 2 = 4, είναι *. Δεύτερον, η μετα- μαθηματική δήλωση, ότι η ακολουθία των τύπων A, είναι μια απόδειξη του τύπου Β, μπορεί να εκφραστεί ως μια αριθμητική σχέση μεταξύ των αριθμών του Gödel για τους τύπους Α και Β. Έτσι τα μετα- μαθηματικά μπορούν να αντιστοιχηθούν στην αριθμητική, αν και δεν είμαι σίγουρος πώς μπορεί να μεταφραστεί η μαθηματική δήλωση, «τα μαθηματικά είναι ωραία». Τρίτο και τελευταίο, σκεφτείτε την αυτοαναφερόμενη δήλωση του Gödel, G. Αυτή είναι, ότι η δήλωση G δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματα των μαθηματικών. Ας υποθέσουμε ότι μπορεί να αποδειχθεί η G. Τότε τα αξιώματα θα πρέπει να είναι ασυνεπή, επειδή κάποιος θα μπορούσε να αποδείξει τη G, και ταυτόχρονα να δείξει ότι είναι αδύνατον να αποδειχθεί. Από την άλλη πλευρά, αν η G δεν μπορεί να αποδειχθεί, τότε η G είναι αληθής. Με μια αντιστοίχιση σε αριθμούς, αυτό ισοδυναμεί με μια πραγματική σχέση μεταξύ των αριθμών, η οποία όμως δεν μπορεί να συναχθεί από τα αξιώματα. Έτσι τα μαθηματικά είναι είτε ασυνεπή ή ελλιπή. Ένα έξυπνο ποντάρισμα, είναι στο ελλιπή. 

 Ποια είναι η σχέση μεταξύ του θεωρήματος του Gödel, και του κατά πόσον μπορούμε να διαμορφώσουμε τη θεωρία του σύμπαντος, με έναν πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων; Μια πρώτη σχέση είναι προφανής. Σύμφωνα με τη θετικιστική φιλοσοφία της επιστήμης, μια φυσική θεωρία, είναι ένα μαθηματικό μοντέλο. Έτσι αν υπάρχουν μαθηματικά αποτελέσματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν, υπάρχουν φυσικά προβλήματα που δεν μπορούν να προβλεφθούν. Ένα παράδειγμα θα μπορούσε να είναι η εικασία του Golbach. Έχοντας έναν άρτιο αριθμό από κομμάτια ξύλου, αν μπορεί κάποιος να τα χωρίζει πάντα σε δυο σωρούς, έτσι ώστε καθένας τους να μην μπορεί να σχηματίσει ένα τρίγωνο. Με άλλα λόγια, κάθε σωρός να περιέχει έναν πρώτο αριθμό από κομμάτια. 

 Παρότι αυτό είναι μη πληρότητα της ταξινόμησης, δεν έχει να κάνει με μη προβλεψιμότητα. Δηλαδή, δεδομένου ενός συγκεκριμένου αριθμού κομματιών, κάποιος μπορεί να προσδιορίσει με έναν πεπερασμένο αριθμό δοκιμών, κατά πόσο μπορούν να χωριστούν σε δύο πρώτους αριθμούς. Αλλά νομίζω ότι η κβαντική θεωρία μαζί με τη βαρύτητα, εισάγουν ένα νέο στοιχείο σε αυτήν τη συζήτηση, που δεν υπήρχε στην κλασική Νευτώνεια θεωρία. Στην τυπική θετικιστική προσέγγιση της φιλοσοφίας της επιστήμης, οι φυσικές θεωρίες ζουν με δωρεάν ενοίκιο σε έναν Πλατωνικό ουρανό ιδανικών μαθηματικών μοντέλων. Δηλαδή, ένα μοντέλο μπορεί να είναι αυθαίρετα αναλυτικό, και μπορεί να περιέχει έναν άπειρο όγκο πληροφοριών, χωρίς να επηρεάζει το εκάστοτε σύμπαν που περιγράφει. Αλλά δεν είμαστε άγγελοι, που βλέπουν το σύμπαν απ’ έξω. Αντίθετα, εμείς και τα μοντέλα μας, αποτελούμε μέρος του σύμπαντος που περιγράφουμε. Έτσι μια φυσική θεωρία, είναι αυτοαναφορική, όπως το θεώρημα του Gödel. Ως εκ τούτου, κάποιος μπορεί να περιμένει ότι θα είναι είτε ασυνεπής ή ελλιπής. Οι θεωρίες που έχουμε μέχρι στιγμής, είναι τόσο αντιφατικές, όσο και ελλιπείς. 

 Η κβαντική βαρύτητα είναι ουσιώδης για το επιχείρημα. Η πληροφορία στο μοντέλο, μπορεί να αναπαρασταθεί από μια κατανομή των σωματιδίων. Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, ένα σωματίδιο σε μια περιοχή συγκεκριμένης έκτασης, έχει κάποιο ελάχιστο ποσό ενέργειας. Έτσι, όπως είπα νωρίτερα, τα μοντέλα δεν ζουν με δωρεάν ενοίκιο. Κοστίζουν ενέργεια. Από την περίφημη εξίσωση του Einstein, E = mc^2, η ενέργεια είναι ισοδύναμη με τη μάζα. Και η μάζα κάνει τα συστήματα να καταρρέουν λόγω βαρύτητας. Είναι σαν να βάζετε δίπλα- δίπλα πάρα πολλά βιβλία σε μια βιβλιοθήκη. Το δάπεδο θα υποχωρήσει και θα σχηματίσει μια μαύρη τρύπα που θα καταπιεί όλη την πληροφορία. Ιδιαίτερα εντυπωσιακά, ο Jacob Bekenstein και εγώ, βρήκαμε ότι η ποσότητα των πληροφοριών σε μια μαύρη τρύπα, είναι ανάλογη με την επιφάνεια του ορίου (ορίζοντας συμβάντος) της μαύρης τρύπας, παρά με τον όγκο της μαύρης τρύπας, όπως κάποιος θα περίμενε. Το όριο της μαύρης τρύπας σχετικά με τη συγκέντρωση της πληροφορίας, έχει θεμελιώδη σημασία, αλλά δεν έχει κατάλληλα ενσωματωθεί σε οποιαδήποτε από τις διατυπώσεις της M- θεωρίας από όσες έχουμε διαθέσιμες μέχρι στιγμής. Όλες υποθέτουν ότι κάποιος μπορεί να ορίσει την κυματοσυνάρτηση σε κάθε σημείο του χώρου. Αλλά αυτό θα αντιστοιχούσε σε μια άπειρη πυκνότητα πληροφορίας, κάτι άτοπο. Από την άλλη πλευρά, αν η κυματοσυνάρτηση δεν μπορεί να οριστεί σε κάθε σημείο, τότε κάποιος δεν μπορεί να προβλέψει το μέλλον με αυθαίρετη ακρίβεια, ακόμα και στα πλαίσια του μειωμένου ντετερμινισμού της κβαντικής θεωρίας. Αυτό που χρειαζόμαστε, είναι μια διατύπωση της M- θεωρίας, που να λαμβάνει υπόψη το όριο πληροφορίας της μαύρης τρύπας. Αλλά τότε η εμπειρία μας με την υπερβαρύτητα και τη θεωρία χορδών, και η αναλογία του θεωρήματος του Gödel, δείχνουν ότι ακόμη και μια τέτοια διατύπωση, θα είναι ελλιπής. 

 Μερικοί άνθρωποι θα απογοητευτούν πολύ αν δεν υπάρχει μια ύστατη θεωρία, που να μπορεί να διατυπωθεί με έναν πεπερασμένο αριθμό αρχών. Ανήκα κι εγώ σε αυτό το στρατόπεδο, αλλά έχω αλλάξει γνώμη. Τώρα πλέον είμαι ευτυχής ότι η αναζήτησή μας για τη γνώση δεν θα βρει ποτέ κάποιο τέλος, και ότι θα είμαστε πάντα αντιμέτωποι με την πρόκληση μιας νέας ανακάλυψης, χωρίς την οποία, θα πέφταμε σε τέλμα. Το θεώρημα του Gödel εξασφάλισε μια δουλειά για τους μαθηματικούς για πάντα. Νομίζω ότι M- θεωρία θα κάνει το ίδιο για τους φυσικούς. Είμαι βέβαιος ότι ο Dirac θα συμφωνούσε. 

 Σας ευχαριστώ που με ακούσατε.

10/1/12

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ

[Απόσπασμα από το βιβλίο Escher on Escher: Exploring the Infinite, του ίδιου]


Τα ανθρώπινα όντα δεν μπορούν να φανταστούν ότι η ροή του χρόνου θα μπορούσε κάποτε να σταματήσει. Μας φαίνεται ότι ο χρόνος θα συνεχίσει να ρέει αιώνια, ακόμη και αν η γη θα σταματήσει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της και τον ήλιο, ακόμα και αν τότε δεν θα υπάρχουν ημέρες ή νύχτες, ούτε καλοκαίρια και χειμώνες. 

Ούτε μπορούμε να αντιληφτούμε ότι κάπου πίσω από τα απώτερα αστέρια στο νυχτερινό ουρανό υπάρχει το τέλος του διαστήματος και ένα όριο πέρα από το οποίο δεν υπάρχει «τίποτα.» Η έννοια «κενό» εξακολουθεί να σημαίνει κάτι για μας, επειδή ένας χώρος μπορεί να είναι άδειος, τουλάχιστον στη σκέψη μας. Ωστόσο, η φαντασία μας δεν έχει πρόσβαση στην ιδέα του «τίποτα» με την έννοια του «άχωρου.» Γι' αυτό και εμείς στηριζόμαστε σε μία χίμαιρα, στη μετά θάνατο ζωή, στον παράδεισο, στην κόλαση, σε μια μετενσάρκωση, ή μια νιρβάνα, όλα από τα οποία θα ήταν τότε αιώνια στο χρόνο και ατελείωτα στο χώρο. Το κάνουμε αυτό από τότε που οι άνθρωποι κείνται, κάθονται, και στέκονται πάνω σε αυτήν την επίγεια σφαίρα, από τότε που μπουσουλάνε και περπατάνε πάνω της, σαλπάρουν, οδηγούν, και πετάνε από πάνω της (και σύντομα θα πετούν πέρα από αυτήν). 

Έχει κάθε μουσικός, κάθε καλλιτέχνης για τον οποίο ο χρόνος είναι ο καμβάς πάνω στον οποίο δημιουργεί, ποτέ αισθανθεί μια επιθυμία βαθιά μέσα του να προσεγγίσει την αιωνιότητα με ήχους; Δεν ξέρω. Αν, ωστόσο, η απάντηση είναι «ναι,» τότε μου φαίνεται ότι τα μέσα στη διάθεσή του είναι ανεπαρκή για να ικανοποιήσει αυτήν την επιθυμία. Πώς θα μπορούσε ένας συνθέτης να πετύχει στο να προκαλέσει την εικασία ενός πράγματος που δεν έχει τέλος; Η μουσική δεν βρίσκεται εκεί, ούτε πριν ξεκινήσει ούτε αφού τελειώσει. Υπάρχει όσο τα αυτιά μας λαμβάνουν τις ηχητικές δονήσεις από τις οποίες αποτελείται, ούτε πριν ούτε μετά. Μια ροή μελωδικών ήχων που συνεχίζει χωρίς διακοπή για μια ολόκληρη ημέρα δεν παράγει μια εικασία για την αιωνιότητα, αλλά κούραση και πλήξη. Κανείς ένθερμος ακροατής του ραδιοφώνου δεν έλαβε ποτέ κάποια έννοια της αιωνιότητας αφήνοντάς το ανοικτό από νωρίς το πρωί μέχρι αργά το βράδυ, ακόμη και αν επέλεξε μόνο πανέμορφα προγράμματα κλασσικής μουσικής. 

Όχι, αυτό το ζήτημα είναι ακόμα πιο δύσκολο να επιλυθεί για έναν καλλιτέχνη που ασκεί της δυναμικές τέχνες από ό,τι για έναν ασκούμενο στις στατικές τέχνες. Ο τελευταίος μπορεί να θέλει να διεισδύσει πλήρως μέσα στο βαθύτερο άπειρο πάνω στο επίπεδο ενός απλού κομματιού από χαρτί σχεδίασης χρησιμοποιώντας ακίνητες και οπτικά παρατηρήσιμες εικόνες. Είναι αμφίβολο αν υπάρχουν πολλοί σύγχρονοι πλαστικοί καλλιτέχνες, συμπεριλαμβάνοντας τους εικονογράφους, τους γραφίστες, τους ζωγράφους, τους γλύπτες, που να βιώνουν έναν τέτοιον πόθο. Στην εποχή μας, οι καλλιτέχνες που κάνουν αναπαραστάσεις καθοδηγούνται αντίθετα από παρορμήσεις που δεν μπορούν, ούτε και θέλουν, να περιγράψουν. Ωθούνται από μια παρόρμηση που δεν είναι πνευματικής φύσης, αλλά ασυνείδητη ή υποσυνείδητη, μια παρόρμηση που οι λέξεις δεν μπορούν να περιγράψουν. 

Ωστόσο, μπορεί να συμβεί κάποια μέρα κάποιος να αισθανθεί μια συγκεκριμένη και συνειδητή επιθυμία να έχει ωριμάσει μέσα του για να προσεγγίσει το άπειρο όσο πιο αγνά και εγγύτερα γίνεται μέσω των αναπαραστάσεών του. Αυτό μπορεί να συμβεί σε κάποιον που δεν έχει απορροφήσει πολύ πραγματική γνώση— κάποιος που δεν έχει μελετήσει πολύ τις προηγούμενες γενιές, κάποιον που, όπως οι πλαστικοί καλλιτέχνες κάνουν, γεμίζει τις ημέρες με το σχεδιασμό περισσότερο ή λιγότερο φανταστικών εικόνων. 

Βαθύ, βαθύ άπειρο! Η ανάπαυση, το όνειρο καταργήθηκε από τις νευρικές εντάσεις της καθημερινής ζωής• αρμενίζοντας σε μια ήρεμη θάλασσα, στην πλώρη ενός πλοίου, προς έναν ορίζοντα που πάντα απομακρύνεται• κοιτάζοντας τα κύματα που περνούν και ακούγοντας το μονότονο, ήπιο μουρμουρητό τους, σε κατάσταση ονείρου μέχρι την ασυνειδητότητα....

Όταν κάποιος βουτάει στην απεραντοσύνη, συνάμα στο χρόνο και το χώρο, ολοένα και περισσότερο χωρίς διακοπή, χρειάζεται σταθερά σημεία ή ορόσημα τα οποία προσπερνάει. Χωρίς αυτά, η κίνησή του δεν διαφέρει από το να είναι ακίνητος. Πρέπει να υπάρχουν αστέρια κατά μήκος των οποίων κάποιος σημαδεύει, σημεία αναφοράς από τα οποία μπορεί να μετρήσει το δρόμο που διανύθηκε. 

Πρέπει να διαιρέσει το σύμπαν του σε αποστάσεις ενός συγκεκριμένου μήκους, σε τμήματα που επαναλαμβάνονται σε ατέλειωτες σειρές. Σε κάθε συνοριακή διάβαση μεταξύ ενός τμήματος και του επομένου, το ρολόι του χτυπά. Όποιος θέλει να δημιουργήσει για τον εαυτό του ένα σύμπαν σε ένα δισδιάστατο επίπεδο θα παρατηρήσει ότι ο χρόνος περνά ενώ εκείνος ασχολείται με τη δημιουργία του. (Αστειεύεται με τον εαυτό του, επειδή στον τρισδιάστατο κόσμο μας ούτε μια δισδιάστατη ούτε μια τετραδιάστατη πραγματικότητα μπορεί να υπάρξει.) Όταν έχει τελειώσει, ωστόσο, και κοιτάξει τι έκανε, τότε βλέπει κάτι που είναι στατικό και άχρονο. Στην αναπαράστασή του, κανένα ρολόι δεν χτυπά. Μόνο μια επίπεδη, ακίνητη έκταση αποκαλύπτεται. Κανείς δεν μπορεί να σχεδιάσει μια γραμμή που να μην είναι μια συνοριακή γραμμή. Κάθε γραμμή διαιρεί μια ενότητα σε μια πολλαπλότητα. Όποια και αν είναι η μορφή της, κάθε κλειστό περίγραμμα απαιτεί επίσης τις έννοιες του «μέσα» και του «έξω.» Κατά συνέπεια σύντομα αυτές ακολουθούνται από την υπόθεση του «κοντινού» και του «μακρινού,» δηλαδή του αντικειμένου και του υποβάθρου. 

Το δυναμικό, τακτικό χτύπημα του ρολογιού σε κάθε διέλευση των συνόρων του ταξιδιού μας διαμέσου του χώρου σιωπά. Ωστόσο, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε, στατικά, με την περιοδική επανάληψη παρόμοιων μορφών στο επίπεδο που σχεδιάζουμε. Θα σχεδιάσουμε κλειστές μορφές που οριοθετούν η μία την άλλη, καθορίζουν η μία το σχήμα της άλλης, και γεμίζουν το επίπεδο προς όλες τις πλευρές όσο θέλουμε. 

Τι είδους μορφές; Πολύχρωμους, χωρίς σχήμα λεκέδες που δεν μας προκαλούν καμία σχετική σκέψη; Ή αφηρημένες, γεωμετρικές, ευθύγραμμες μορφές, τετράγωνα ή εξάγωνα, που μας θυμίζουν τουλάχιστον μια σκακιέρα ή μια κηρήθρα; Όχι, δεν είμαστε τυφλοί, κουφοί, και μουγκοί. Παρατηρούμε συνειδητά τις μορφές που μας περιβάλλουν και με τη μεγάλη τους ποικιλία μιλούν μια σαφή και συναρπαστική γλώσσα σε εμάς: Για το λόγο αυτό οι μορφές που χρησιμοποιούμε για να συνθέσουμε τη διαίρεση του επιπέδου πρέπει να είναι αναγνωρίσιμες ως διακριτά και σαφή σύμβολα της ζωντανής ή νεκρής ύλης γύρω μας. Όταν φτιάχνουμε ένα σύμπαν, ας μην είναι αφηρημένο, μια κενότητα, αλλά μια συγκεκριμένη αναπαράσταση αναγνωρίσιμων αντικειμένων. Ας οικοδομήσουμε ένα δισδιάστατο σύμπαν από έναν απείρως μεγάλο αριθμό από παρόμοια, αλλά σαφώς αναγνωρίσιμα δομικά στοιχεία. 

 Μπορεί να γίνει ένα σύμπαν από πέτρες, αστέρια, φυτά, ζώα ή ανθρώπους.


Τι είναι αυτό που επιτεύχθηκε σε ό,τι αφορά την κανονική διαίρεση του επιπέδου στο Symmetry Work 25; Όχι ακόμη ένα άπειρο, αλλά ήδη ένα τμήμα, ένα κομμάτι από «το σύμπαν των ερπετών.» Αν μόνο το επίπεδο πάνω στο οποίο αυτές ακολουθούν η μία την άλλη ήταν απεριόριστα μεγάλο, ένας απείρως μεγάλος αριθμός του θα μπορούσε να εκπροσωπηθεί σε αυτό. Ωστόσο, δεν παίζουμε ένα παιχνίδι εικασιών. Έχουμε επίγνωση ότι ζούμε σε μια υλική, τρισδιάστατη πραγματικότητα, και ενδεχομένως δεν είναι δυνατό να κατασκευάσουμε ένα επίπεδο που απλώνεται απείρως προς όλες τις πλευρές. Μπορούμε, φυσικά, να αναδιπλώσουμε το κομμάτι χαρτιού πάνω στο οποίο αυτός ο κόσμος των ερπετών αναπαρίσταται σαν ένα τμήμα. Μπορούμε να φτιάξουμε έναν χάρτινο σωλήνα με τέτοιον τρόπο ώστε οι φιγούρες των ζώων πάνω σε αυτόν τον κύλινδρο να συνεχίσουν να ακολουθούν η μία την άλλη χωρίς διακοπές, ενώ ο σωλήνας περιστρέφεται γύρω από τον επιμήκη του άξονα. Με αυτόν τον τρόπο, το άπειρο επιτυγχάνεται σε μία κατεύθυνση, αλλά όχι ωστόσο προς όλες τις πλευρές επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν απείρως μακρύ σωλήνα όσο και ένα απείρως εκτεινόμενο επίπεδο.


Το Carved Beechwood Ball with Fish δίνει μια πιο ικανοποιητική λύση: μια ξύλινη μπάλα, της οποίας η επιφάνεια συμπληρώνεται εντελώς από δώδεκα όμοια σχήματα ψαριών. Όταν γυρνάμε την μπάλα με τα χέρια μας, βλέπουμε το ένα ψάρι μετά το άλλο να εμφανίζεται, συνεχίζοντας στο άπειρο. 

Είναι αυτό το σφαιρικό αποτέλεσμα, ωστόσο, πραγματικά απόλυτα ικανοποιητικό; Σίγουρα όχι για έναν γραφίστα, που είναι περισσότερο οικείος με το επίπεδο από ό,τι είναι ένας εικονογράφος, ένας ζωγράφος, ένας γλύπτης. Επιπλέον, και αφήνοντας αυτό κατά μέρος, δώδεκα παρόμοια ψάρια είναι κάτι διαφορετικό από απείρως πολλά.


Υπάρχουν ωστόσο, άλλες δυνατότητες για να αναπαρασταθεί ο άπειρος αριθμός γραφικά χωρίς να καμπυλωθεί το επίπεδο. Το Smaller and Smaller είναι μια πρώτη προσπάθεια προς αυτή την κατεύθυνση. Τα στοιχεία από τα οποία αποτελείται ο πίνακας μειώνονται σταθερά στο μισό του μεγέθους τους σε έκταση επιφάνειας, ακτινωτά από τα άκρα προς το κέντρο. Εκεί το όριο των απείρως πολλών και των απείρως μικρών φτάνει σε ένα σημείο. Ωστόσο, αυτή η σύνθεση επίσης παραμένει τμηματική επειδή μπορούμε να την αναπτύξουμε όσο θέλουμε, προσθέτοντας ολοένα και μεγαλύτερες μορφές. Ο μόνος τρόπος να αποφύγουμε τον αποσπασματικό χαρακτήρα της σύνθεσης και να περιέχει ένα «άπειρο» στο σύνολό της μέσα σε μια λογική συνοριακή γραμμή είναι να εργαστούμε πάνω της με αντίστροφη σειρά. Το Circle Limit I δίνει μια πρώτη και εντούτοις αμήχανη εφαρμογή αυτής της μεθόδου. 

Οι μεγαλύτερες φιγούρες ζώων τώρα βρίσκονται στο κέντρο, και το όριο των απείρως πολλών και των απείρως μικρών φτάνει στο κυκλικό όριο. Ο σκελετός αυτής της σύνθεσης, εκτός από τις τρεις ευθείες που διέρχονται από το κέντρο, συνίσταται μόνο σε τόξα κύκλων με ακτίνες που γίνονται όλο και μικρότερες όσο πιο κοντά φτάνουν στο άκρο που αποτελεί το όριο. Επιπλέον, όλες τέμνουν το όριο σε ορθές γωνίες. 

Αυτό το ξυλόγλυπτο, το Circle Limit I, όντας το πρώτο του είδους του, αποκαλύπτει διάφορες ελλείψεις. Τόσο η μορφή των ψαριών, που αναπτύχθηκαν οριακά από ευθύγραμμες αφαιρέσεις σε στοιχειώδη ζώα, όσο και η τοποθέτησή του ενός σε σχέση με το άλλο, αφήνει κάτι το επιθυμητό. Κάποιος αναγνωρίζει σειρές, που προτάσσονται από τους άξονες του σώματός τους ακολουθώντας η μία την άλλη. Ωστόσο, αποτελούνται από λευκά ζευγάρια με τα κεφάλια γυρισμένα το ένα προς το άλλο, εναλλασσόμενα με μαύρα ζευγάρια των οποίων οι ουρές αγγίζουν η μία την άλλη. Δεν υπάρχει επομένως συνέχεια, καμία «κατεύθυνση της ροής της κυκλοφορίας,» καμία ενότητα χρώματος σε κάθε μία από τις σειρές. 

Στη χρωματιστή ξυλογραφία Circle Limit III, τα ελαττώματα που αναφέρονται παραπάνω διορθώθηκαν κατά το μεγαλύτερο μέρος. Υπάρχουν τώρα μόνο σειρές «με ενδιάμεση κυκλοφορία.» Όλα τα ψάρια στην ίδια σειρά έχουν επίσης το ίδιο χρώμα και ακολουθούν το ένα το άλλο, κολυμπώντας κεφάλι με ουρά κατά μήκος μια κυκλικής πορείας από άκρη σε άκρη. Όσο πιο κοντά προσεγγίζουν το κέντρο, τόσο μεγαλύτερα γίνονται. Τέσσερα χρώματα απαιτούνται, έτσι ώστε κάθε γραμμή στο σύνολό της να έρχεται σε αντίθεση με τον περίγυρό της. Όλες αυτές οι σειρές προκύπτουν σε γωνία 90 μοιρών από απείρως μακριά, σαν πύραυλοι έξω από τα όρια, που και πάλι χάνονται εκεί. Ούτε ένα στοιχείο από τις σειρές αυτές δεν φτάνει στην οριακή γραμμή. Έξω από αυτήν, ωστόσο, υπάρχει το «απόλυτο τίποτα.» Αλλά ο κυκλικός κόσμος δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς το κενό γύρω του. Όχι μόνο επειδή το «μέσα» προϋποθέτει το «έξω,» αλλά επίσης επειδή στο «τίποτα» βρίσκονται τα άυλα και αυστηρά γεωμετρικά ταξινομημένα κέντρα των κυκλικών τόξων, από τα οποία ο σκελετός είναι φτιαγμένος. 

Υπάρχει κάτι εκπληκτικό σε αυτούς τους νόμους. Δεν είναι εφευρέσεις ή δημιουργίες του ανθρώπινου νου, αλλά «είναι» ή «υπάρχουν» ανεξάρτητα από εμάς. Σε μια στιγμή διαύγειας κάποιος μπορεί να ανακαλύψει στο μέγιστο την ύπαρξή τους και να τους συνειδητοποιήσει. Επιτρέψτε μου να δώσω ένα πιο απτό παράδειγμα από αυτόν το επίπεδο δίσκο. Πολύ πριν υπάρξουν άνθρωποι στη γη, κρύσταλλοι αναπτύσσονταν στο φλοιό της. Μία μέρα ένας άνθρωπος είδε για πρώτη φορά ένα τέτοιο αστραφτερό μικρό κομμάτι κανονικότητας να κείται στο έδαφος, ή το χτύπησε με τον πέτρινό του πέλεκυ, και έσπασε και έπεσε μπροστά στα πόδια του και το σήκωσε και το κοίταξε στην ανοικτή του παλάμη και εντυπωσιάστηκε...