11/20/10

'Μεταστάσεις'- ένα ποίημα ηλεκτρονικό

Iannis Xenakis

Πώς μπορεί κάποιος να γράψει τη μουσική; Πώς μπορεί δηλαδή να γράψει ένα κείμενο το οποίο να αναπαριστά πιστά τη μουσική που θέλει να εκφράσει; Πώς μπορεί, π.χ., να γράψει κάποιος ένα ποίημα που να περιέχει την 5η συμφωνία του Beethoven; Θα μπορούσε, βεβαίως, να χρησιμοποιήσει ο ‘συγγραφέας’ μουσικά σύμβολα, που λίγοι, ωστόσο, θα ήταν σε θέση να ‘ακούσουν.’ Ίσως θα μπορούσε να αντιστοιχήσει 7 φωνήεντα με τις 7 νότες αλλά, και πάλι, η αντιστοιχία που θα έκανε θα ήταν υποκειμενική και πιθανώς αδύνατη. Θα μπορούσε άραγε να υπάρξει κάποιος ‘αντικειμενικός’ τρόπος αντιστοίχισης μεταξύ μουσικής και συμβόλων;

The Philips Pavilion


 Objet mathematique / Poème électronique

Οι αριθμοί, πιστεύεται, ότι κατέχουν μια μοναδική θέση μέσα στον νοηματικό κόσμο του ανθρώπου. Κάποιοι έφτασαν μάλιστα στο σημείο να δεχτούν ότι οι αριθμοί έχουν μια αντικειμενικότητα μέσα στο ίδιο το σύμπαν. Το διαστημόπλοιο Voyager, που κάποτε έφυγε για το άγνωστο διάστημα, περιέχει εικόνες και σύμβολα που αντιστοιχούν σε απλές μαθηματικές σχέσεις. Περιέχει επίσης την 5η συμφωνία του Beethoven, με την ελπίδα ότι τα όντα που, ίσως, κάποτε την ακούσουν, θα ‘αντιληφτούν’ σε αυτήν κάποια υπέροχη αρμονία. Το μέγαρο ‘Pavilion,’ που κατασκεύασε ο Ξενάκης κατά παραχώρηση από τον Le Corbuser, φιλοδόξησε, θεωρώ, ακριβώς αυτό: να μεταφέρει την αρμονία του σύμπαντος σ’ ένα γήινο τεχνητό κατασκεύασμα. Παράλληλα, ο συνθέτης Edgard Varèse, έγραψε ένα ηλεκτρονικό ποίημα για την έκθεση που έγινε στο συγκεκριμένο χώρο. Για να επιτευχθεί το ζητούμενο ηχητικό αποτέλεσμα, λέγεται ότι τοποθετήθηκαν 350 με 450 μεγάφωνα. Σε ό,τι αφορά το ποίημα, επρόκειτο για ‘θορύβους,’ ο σκοπός των οποίων, σύμφωνα με το δημιουργό, ήταν η απελευθέρωση των ήχων.

Σε ό,τι αφορά τον Ξενάκη, η ιδέα να χρησιμοποιηθούν καμπύλες επιφάνειες για την κατασκευή του Pavilion (εννέα ασύμμετρες υπερβολικές καμπύλες) προήλθε από το μουσικό του έργο ‘Μεταστάσεις,’ γραμμένο για ορχήστρα 61 ατόμων, το 1953-54, διάρκειας 8 λεπτών. Ο Ξενάκης σε αυτό το έργο του προσπάθησε, λέγεται, να συμφιλιώσει τη γραμμική αντίληψη που έχουμε για τη μουσική (αρμονική σειρά των ήχων) με μία σχετικιστική άποψη για το χρόνο. Εάν αυτό ισχύει, τότε, θεωρώ, πώς θα είχε να κάνει με την έννοια της διαδοχής των χρονικών διαστημάτων, όπως την αντιλαμβάνεται, και την απαιτεί επίσης, ο άνθρωπος. Δηλαδή, φαντάζομαι, πως θα προσπάθησε να αποδώσει στις συνθέσεις του μια έξω από τις συνήθεις έννοιες του μέτρου και του ρυθμού αρμονία.

Ο Ξενάκης γενικά πρωτοπόρησε σε αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάζουμε ‘μαθηματική μουσική’ ή, αντίστροφα, ‘μουσικά μαθηματικά,’ χρησιμοποιώντας στοιχεία από τη θεωρία συνόλων και παιχνιδιών, τη θεωρία του χάους και των πιθανοτήτων, επιχειρώντας, δηλαδή, την ενοποίηση μουσικής και μαθηματικών, είτε εφαρμοσμένων, με τη μορφή της αρχιτεκτονικής π.χ., είτε αφηρημένων. Είχε εφεύρει επίσης, έως το 1979, ένα πρόγραμμα υπολογιστή, το UPIC, (Unité Polyagogique Informatique du CEMAMu) που μπορούσε να μεταφράσει γραφικά σε μουσική.

Κάποτε είχα διαβάσει ένα ρητό του Ξενάκη, που δυστυχώς δεν θυμάμαι ακριβώς και δεν μπόρεσα να ξαναβρώ. Θα το αποδώσω λοιπόν ελεύθερα εδώ ως κατακλείδα της προηγούμενης συζήτησης περί ‘μεταστάσεων’:

‘‘Η μουσική είναι η συνέχιση των μαθηματικών με άλλα μέσα…’’
======



Iannis Xenakis
Friends of Iannis Xenakis

11/16/10

Περί λέξεων και εικόνων

Σχεδιάγραμμα ‘πίπας.’ Από γράμμα του Magritte στον Paul Colinet


Το να πούμε σε κάποιον τη λέξη ‘φύλλο’ κι εκείνος να σκεφτεί ένα ‘κανόνι,’ τότε είτε θα πρόκειται για έναν συνειρμό σχετικό με κάποια πολύ προσωπική εμπειρία είτε θα πρόκειται για έναν πολύ ιδιότροπο ανθρώπινο εγκέφαλο. Η σχέση όμως ανάμεσα στις λέξεις και στις εικόνες που αντιστοιχούν αυτές οι λέξεις δεν είναι απαραίτητα μοναδικές ούτε πάντα σχετικές. Για παράδειγμα η λέξη ‘σύννεφο’ μπορεί σε κάποιον να φέρει την εικόνα της βροχής ενώ σε κάποιον άλλο την εικόνα ενός αεροπλάνου, κοκ. Πέρα δηλαδή από κάποιες πιθανές ‘αρχέτυπες,’ διαχρονικές, διαπολιτισμικές και αναλλοίωτες συνδέσεις ανάμεσα σε λέξεις και αντίστοιχες εικόνες- αντικείμενα, συνήθως ο τρόπος με τον οποίο κάνουμε τέτοιες συνδέσεις έχει να κάνει με τις προσωπικές εμπειρίες και το, προφανώς μεταβαλλόμενο, πολιτισμικό περιβάλλον.

Παρακάτω είναι ένα δοκίμιο του Magritte με λέξεις και (όχι τόσο αντίστοιχες) εικόνες:

Ένα αντικείμενο δεν ταυτίζεται με το όνομά του σε τέτοιο βαθμό ώστε
να μην μπορεί να βρεθεί ένα άλλο όνομα που να το περιγράφει καλύτερα

Υπάρχουν αντικείμενα που ξεπερνάνε το όνομά τους

Μια λέξη κάποιες φορές χρησιμεύει στο να περιγράψει τον εαυτό της

Ένα αντικείμενο συναντάει τη λέξη του και μια λέξη συναντάει το αντικείμενό της.
Τυχαίνει η εικόνα και η λέξη του αντικειμένου να συναντιώνται

Κάποιες φορές το όνομα ενός αντικειμένου παίρνει τη θέση μιας εικόνας

Μια λέξη μπορεί να πάρει τη θέση ενός αντικειμένου στην πραγματικότητα

Μια εικόνα μπορεί να πάρει τη θέση μιας λέξης σε μια πρόταση

Ένα αντικείμενο μπορεί να υπονοεί άλλα αντικείμενα

Όλα μας κάνουν να σκεφτούμε ότι υπάρχει μικρή σχέση ανάμεσα
σ’ ένα αντικείμενο και σ’ εκείνο που αντιπροσωπεύει

Οι λέξεις που περιγράφουν δυο διαφορετικά αντικείμενα δεν δείχνουν
αυτό που θα μπορούσε να ξεχωρίσει το ένα αντικείμενο από τ’ άλλο

Σ’ ένα πίνακα οι λέξεις έχουν το ίδιο περιεχόμενο με τις εικόνες

Βλέπουμε διαφορετικά τις λέξεις και τις εικόνες σ’ ένα πίνακα

Μια απροσδιόριστη μορφή μπορεί να αντικαταστήσει την εικόνα ενός αντικειμένου

Ένα αντικείμενο δεν εξυπηρετεί ποτέ τον ίδιο σκοπό με το όνομα ή με την εικόνα του

Κάποιες φορές τα ορατά σχήματα των αντικειμένων φαίνονται να δημιουργούν ένα μωσαϊκό

Οι ακαθόριστες μορφές έχουν μια σημασία εξίσου αναγκαία και ακριβή με τις τέλειες μορφές

Κάποιες φορές οι λέξεις γραμμένες σε έναν πίνακα ορίζουν τα αντικείμενα
με ακρίβεια και τις εικόνες αόριστων αντικειμένων

Ή εξίσου το αντίθετο



Τελικά, το πραγματικό αντικείμενο δεν ταυτίζεται ποτέ με την αντίστοιχη εικόνα ή λέξη. Όλοι μας έχουμε δει ένα ‘άλογο,’ αλλά κανείς μας δεν έχει υπάρξει ένα. Ακόμη κι όταν λέμε πως είδαμε ένα άλογο, ο καθένας μπορεί να είδε κάτι αρκετά διαφορετικό. Οι λέξεις επίσης που δεν αντιστοιχούν σε ‘απτά’ αντικείμενα αλλά σε αφηρημένες έννοιες, μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικό νόημα για διαφορετικούς ανθρώπους. Αν ρωτήσουμε κάποιον τι ‘εικόνα’ έχει για εμάς τους ίδιους, μπορεί να μας δώσει μια περιγραφή που δεν θα περιμέναμε ποτέ.




Les mots et les images

==============================================================

11/12/10

Το Παράδοξο του Russell


Η Principia Mathematica αποτελεί έναν σταθμό σε αυτό που θα μπορούσμαε να ονομάσουμε κλασσική λογική ή απλά λογική, και γράφτηκε από τους Whitehead και Russell στις αρχές του προηγούμενου αιώνα.Ο σκοπός της ήταν φιλόδοξος: Να παράξει όλες τις μαθηματικές αλήθειες μέσα από ένα συνεπές και πλήρες λογικό σύστημα. Με άλλα λόγια, να βρει ένα σύνολο θεμελιωδών παραδοχών, αρκετό να αναπαράγει όλο τον κόσμο της ανθρώπινης λογικής.


Το Παράδοξο του Russell

Η βασική αρχή που ακολουθείται στην Principia Mathematica έγκειται στο γεγονός ότι, αντίθετα με ότι θεωρείτο ως τότε, σε μια συνεπή θεωρία συνόλων (Set Theory), ένα σύνολο είναι διαφορετικό από τα στοιχεία που το αποτελούν και αντιστρόφως ένα στοιχείο ενός συνόλου δεν είναι το ίδιο με το σύνολο.


Ας θεωρήσουμε το εξής παράδειγμα: Θα ονομάσουμε 'συνεπές' ένα σύνολο που δεν περιέχει τον εαυτό του και 'ασυνεπές' ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του. (Παρακάτω θα εξετάσω περισσότερο τι σημαίνει κάτι να περιέχει ή όχι τον εαυτό του). Έστω για παράδειγμα το σύνολο όλων των τετραγώνων. Αυτό το σύνολο δεν είναι τετράγωνο και επομένως δεν αποτελεί μέλος του συνόλου των τετραγώνων, δηλαδή δεν περιέχει τον εαυτό του. Επομένως είναι 'συνεπές.' Από την άλλη μεριά, ας πάρουμε το σύνολο όλων των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα. Αυτό το σύνολο δεν είναι και πάλι τετράγωνο, αλλά μπορεί να είναι μέλος του συνόλου των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα, δηλαδή μπορεί να περιέχει τον εαυτό του και επομένως είναι 'ασυνεπές.' Τώρα αν θεωρήσουμε το σύνολο R 'όλων των συνόλων.' Αν το R είναι 'συνεπές,' τότε δεν θα περιέχεται στο σύνολο όλων των συνόλων και επομένως θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει και θα είναι 'ασυνεπές.' Από την άλλη μεριά, αν το R είναι 'ασυνεπές,' τότε θα περιέχει τον εαυτό του στο σύνολο όλων των συνόλων και θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει, πράγμα συνεπές. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ότι το R είναι ταυτόχρονα 'αυνεπές' και ασυνεπές,' πράγμα άτοπο. (Παράδοξο του Russell).



Η ανυπαρξία του Παραδόξου.

Η ουσία του Παραδόξου είναι ότι δεν μπορεί να υπάρξει ένα σύνολο που να περιέχει τα πάντα. Γιατί αν υπάρχει, τότε θα περιέχει τον εαυτό του. Τότε όμως σε κάθε απόδειξη θα χρησιμοποιούμε ως αποδεικτικό στοιχείο αυτο που θέλουμε να αποδείξουμε (αυτοαναφορά). Από την άλλη μεριά, αν το σύνολό μας δεν περιέχει τον εαυτό του (δηλαδή δεν περιέχει τα πάντα,) τότε μπορούμε να εργαστούμε επαγωγικά για κάθε απόδειξη, αλλά θα υπάρχει κάποιο στοιχείο έξω από το σύστημά μας, έτσι ώστε η κάθε μας απόδειξη να μην είναι πλήρης. Με άλλα λόγια, αν το σύστημά μας είναι συνεπές δεν θα είναι πλήρες και το αντίστροφο, αν το σύστημά μας είναι πλήρες δεν θα είναι συνεπές. Αν δηλαδή το Παράδοξο υφίσταται, τότε το σύστημά μας δεν είναι συνεπές κι επομένως ο συλλογισμός μας ότι το Παράδοξο υφίσταται ήταν λάθος, άρα το Παράδοξο δεν υφίσταται. Από την άλλη μεριά, αν το Παράδοξο δεν υφίσταται τότε το σύστημά μας είναι συνεπές κι επομένως ο αρχικός μας συλλογισμός ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται ήταν σωστός. Και στις δύο περιπτώσεις βλέπουμε ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται!


Το 'μέσα' και το 'έξω' (Ο κόσμος και ο εαυτός)

Η όλη παραπάνω συλλογιστική, η οποία όπως είδαμε οδηγεί σε αυτοαναίρεση, οδήγησε τον Godel στο θεώρημα της πληρότητας. Σε ό,τι με αφορά αυ΄την τη στιγμή, το θεώρημα του Godel μας λέει ότι αν είμαστε ένα κομμάτι του κόσμου, τότε δεν μπορούμε να καταλάβουμε τα πάντα για τον κόσμο, γιατί ο κόσμος είναι μεγαλύτερος από εμάς (μπορούμε βέβαια να μαθαίνουμε ολοένα και περισσότερα για τον κόσμο). Αν βέβαια θεωρήσουμε ότι ο κόσμος είναι ένα κομμάτι μας, τότε και πάλι παραμένει το πρόβλημα με την έννοια ότι δεν μπορούμε να κατανοήσουμε πλήρως τον εαυτό μας, αφού θα πρέπει να ανακαλύπτουμε ολοένα και περισσότερους κόσμους. Σε κάθε περίπτωση  το 'Όλο είτε το προσδιορίσουμε ως ο 'Κόσμος' είτε ως ο 'Παγκόσμιος Εαυτός'   



Συμπλήρωμα

1+1=2

Έστω το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Ο αριθμός 1 αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.

Ο αριθμός 2 επίσης αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.
Η πράξη της πρόσθεσης είναι μια συνάρτηση που όταν παίρνει έναν αριθμό δίνει τον αμέσως επόμενο
Με αυτήν την έννοια 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, κοκ.
Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς η πράξη 1+1=2 ορίζεται και αποδεικνύεται από τις βασικές παραδοχές.

Αν όμως ορίσουμε την πρόσθεση με έναν άλλο τρόπο, π.χ. με μια συνάρτηση η οποία πάιρνοντας τιμές δίνει πίσω τον ευατό της, τότε 1+1=1, 2+1=2, 3+1=3, κοκ
Αφόσον αυτή η πράξη ορίζεται για όλα τα μέλη του συνόλου, είναι συνεπής και σύμφωνα με αυτή την νέα παραδοχή 1+1=1

Διαπιστώνουμε ότι το πόσο κάνει 1+1 εξαρτάται από τις παραδοχές που έχουμε κάνει. Θα πορούσαμε για παράδειγμα να ορίσουμε ένα λογικό σύστημα τέτοιο ώστε 1+1=0+0= 1 και 1+0=0+1=0. Αυτό θα αποτελούσε μιαν απλή 'Boolean' τύπου αριθμητική.