Η Principia Mathematica αποτελεί έναν σταθμό σε αυτό που θα μπορούσμαε να ονομάσουμε κλασσική λογική ή απλά λογική, και γράφτηκε από τους Whitehead και Russell στις αρχές του προηγούμενου αιώνα.Ο σκοπός της ήταν φιλόδοξος: Να παράξει όλες τις μαθηματικές αλήθειες μέσα από ένα συνεπές και πλήρες λογικό σύστημα. Με άλλα λόγια, να βρει ένα σύνολο θεμελιωδών παραδοχών, αρκετό να αναπαράγει όλο τον κόσμο της ανθρώπινης λογικής.
Το Παράδοξο του Russell
Η βασική αρχή που ακολουθείται στην Principia Mathematica έγκειται στο γεγονός ότι, αντίθετα με ότι θεωρείτο ως τότε, σε μια συνεπή θεωρία συνόλων (Set Theory), ένα σύνολο είναι διαφορετικό από τα στοιχεία που το αποτελούν και αντιστρόφως ένα στοιχείο ενός συνόλου δεν είναι το ίδιο με το σύνολο.
Ας θεωρήσουμε το εξής παράδειγμα: Θα ονομάσουμε 'συνεπές' ένα σύνολο που δεν περιέχει τον εαυτό του και 'ασυνεπές' ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του. (Παρακάτω θα εξετάσω περισσότερο τι σημαίνει κάτι να περιέχει ή όχι τον εαυτό του). Έστω για παράδειγμα το σύνολο όλων των τετραγώνων. Αυτό το σύνολο δεν είναι τετράγωνο και επομένως δεν αποτελεί μέλος του συνόλου των τετραγώνων, δηλαδή δεν περιέχει τον εαυτό του. Επομένως είναι 'συνεπές.' Από την άλλη μεριά, ας πάρουμε το σύνολο όλων των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα. Αυτό το σύνολο δεν είναι και πάλι τετράγωνο, αλλά μπορεί να είναι μέλος του συνόλου των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα, δηλαδή μπορεί να περιέχει τον εαυτό του και επομένως είναι 'ασυνεπές.' Τώρα αν θεωρήσουμε το σύνολο R 'όλων των συνόλων.' Αν το R είναι 'συνεπές,' τότε δεν θα περιέχεται στο σύνολο όλων των συνόλων και επομένως θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει και θα είναι 'ασυνεπές.' Από την άλλη μεριά, αν το R είναι 'ασυνεπές,' τότε θα περιέχει τον εαυτό του στο σύνολο όλων των συνόλων και θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει, πράγμα συνεπές. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ότι το R είναι ταυτόχρονα 'αυνεπές' και ασυνεπές,' πράγμα άτοπο. (Παράδοξο του Russell).
Η ανυπαρξία του Παραδόξου.
Η ουσία του Παραδόξου είναι ότι δεν μπορεί να υπάρξει ένα σύνολο που να περιέχει τα πάντα. Γιατί αν υπάρχει, τότε θα περιέχει τον εαυτό του. Τότε όμως σε κάθε απόδειξη θα χρησιμοποιούμε ως αποδεικτικό στοιχείο αυτο που θέλουμε να αποδείξουμε (αυτοαναφορά). Από την άλλη μεριά, αν το σύνολό μας δεν περιέχει τον εαυτό του (δηλαδή δεν περιέχει τα πάντα,) τότε μπορούμε να εργαστούμε επαγωγικά για κάθε απόδειξη, αλλά θα υπάρχει κάποιο στοιχείο έξω από το σύστημά μας, έτσι ώστε η κάθε μας απόδειξη να μην είναι πλήρης. Με άλλα λόγια, αν το σύστημά μας είναι συνεπές δεν θα είναι πλήρες και το αντίστροφο, αν το σύστημά μας είναι πλήρες δεν θα είναι συνεπές. Αν δηλαδή το Παράδοξο υφίσταται, τότε το σύστημά μας δεν είναι συνεπές κι επομένως ο συλλογισμός μας ότι το Παράδοξο υφίσταται ήταν λάθος, άρα το Παράδοξο δεν υφίσταται. Από την άλλη μεριά, αν το Παράδοξο δεν υφίσταται τότε το σύστημά μας είναι συνεπές κι επομένως ο αρχικός μας συλλογισμός ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται ήταν σωστός. Και στις δύο περιπτώσεις βλέπουμε ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται!
Το 'μέσα' και το 'έξω' (Ο κόσμος και ο εαυτός)
Η όλη παραπάνω συλλογιστική, η οποία όπως είδαμε οδηγεί σε αυτοαναίρεση, οδήγησε τον Godel στο θεώρημα της πληρότητας. Σε ό,τι με αφορά αυ΄την τη στιγμή, το θεώρημα του Godel μας λέει ότι αν είμαστε ένα κομμάτι του κόσμου, τότε δεν μπορούμε να καταλάβουμε τα πάντα για τον κόσμο, γιατί ο κόσμος είναι μεγαλύτερος από εμάς (μπορούμε βέβαια να μαθαίνουμε ολοένα και περισσότερα για τον κόσμο). Αν βέβαια θεωρήσουμε ότι ο κόσμος είναι ένα κομμάτι μας, τότε και πάλι παραμένει το πρόβλημα με την έννοια ότι δεν μπορούμε να κατανοήσουμε πλήρως τον εαυτό μας, αφού θα πρέπει να ανακαλύπτουμε ολοένα και περισσότερους κόσμους. Σε κάθε περίπτωση το 'Όλο είτε το προσδιορίσουμε ως ο 'Κόσμος' είτε ως ο 'Παγκόσμιος Εαυτός'
Συμπλήρωμα
1+1=2
Έστω το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Ο αριθμός 1 αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.
Ο αριθμός 2 επίσης αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.
Η πράξη της πρόσθεσης είναι μια συνάρτηση που όταν παίρνει έναν αριθμό δίνει τον αμέσως επόμενο
Με αυτήν την έννοια 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, κοκ.
Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς η πράξη 1+1=2 ορίζεται και αποδεικνύεται από τις βασικές παραδοχές.
Αν όμως ορίσουμε την πρόσθεση με έναν άλλο τρόπο, π.χ. με μια συνάρτηση η οποία πάιρνοντας τιμές δίνει πίσω τον ευατό της, τότε 1+1=1, 2+1=2, 3+1=3, κοκ
Αφόσον αυτή η πράξη ορίζεται για όλα τα μέλη του συνόλου, είναι συνεπής και σύμφωνα με αυτή την νέα παραδοχή 1+1=1
Διαπιστώνουμε ότι το πόσο κάνει 1+1 εξαρτάται από τις παραδοχές που έχουμε κάνει. Θα πορούσαμε για παράδειγμα να ορίσουμε ένα λογικό σύστημα τέτοιο ώστε 1+1=0+0= 1 και 1+0=0+1=0. Αυτό θα αποτελούσε μιαν απλή 'Boolean' τύπου αριθμητική.