Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ (Μέρος 2)

[Απόσπασμα από το βιβλίο Escher on Escher, του M.C.Escher]

Κ. Πρόεδρε, κυρίες και κύριοι,

Είναι τιμή και χαρά μου να σας δείξω μια σειρά διαφανειών που απεικονίζουν τη δουλειά μου.

Ίσως περιμένετε έναν γραφικό καλλιτέχνη που δείχνει τα σχέδιά του να μιλήσει για τις τεχνικές του, οι οποίες είναι στη δική μου περίπτωση η ξυλογραφία, η λιθογραφία και η χαρακτική του χαλκού, αλλά καθώς χρειάζομαι όλον το διαθέσιμο χρόνο για να μιλήσω για τις προθέσεις μου, σχετικά με το ερώτημα γιατί έκανα αυτά τα σχέδια, πρέπει να αφήσω το ερώτημα του πώς έγιναν αναπάντητο.

Προτείνω να αφιερώσω αυτήν την πρώτη συζήτηση αποκλειστικά στις δικές μου έρευνες και εφαρμογές των κανόνων της συμμετρίας στο επίπεδο.

Πολλοί από τους φωτεινούς, ψηφιδωτούς τοίχους και δάπεδα από τα παλάτια της Αλάμπρα στην Ισπανία μας δείχνουν ότι οι Μαυριτανοί ήταν μάστορες στην τέχνη του γεμίσματος ενός επιπέδου με παρόμοιες, αλληλοσυνδεόμενες φιγούρες, που συνορεύουν η μία με την άλλη, χωρίς κενά. Οι Ιάπωνες καλλιτέχνες επίσης παρήγαγαν ορισμένα θαυμάσια παραδείγματα από αυτά τα περίεργα μοτίβα.

Τι κρίμα που η θρησκεία των Μαυριτανών τους απαγόρευε να ζωγραφίσουν μορφές! Μου φαίνεται ότι μερικές φορές ήρθαν πολύ κοντά στο να αναπτύξουν από τα στοιχεία τους πιο συγκεκριμένες μορφές από τα αφηρημένα γεωμετρικά σχήματα που δημιούργησαν. Κανείς Μαυριτανός καλλιτέχνης, από ό, τι γνωρίζω, δεν τόλμησε ποτέ (ή μήπως είχε την ιδέα;) να χρησιμοποιήσει ως δομικά στοιχεία συγκεκριμένες, αναγνωρίσιμες μορφές δανεισμένες από τη φύση, όπως ψάρια, πτηνά, ερπετά ή ανθρώπους. Αυτό είναι απίστευτο, γιατί η αναγνωρισιμότητα είναι τόσο σημαντική για μένα που ποτέ δεν θα μπορούσα να κάνω χωρίς αυτήν.

Ένα άλλο σημαντικό ερώτημα είναι η χρωματική αντίθεση. Ήταν πάντα αυτονόητο για τους Μαυριτανούς να συνθέτουν τις ψηφιδωτές σκηνές τους με κομμάτια από majolica (σ.τ.μ αγγειοπλαστική τεχνοτροπία) σε χρώματα αντίθετα μεταξύ τους. Παρομοίως ποτέ δεν δίστασα να χρησιμοποιήσω τη χρωματική αντίθεση ως μέσο του οπτικού διαχωρισμού των παρακείμενων στοιχείων μου.

Επιτρέψτε μου να προσπαθήσω να δικαιολογήσω αυτές τις ιδέες με τη βοήθεια των διαφάνειών μου.

Η αριστερή διαφάνεια δείχνει οκτώ παραδείγματα γεωμετρικών- καλλιτεχνικών εφαρμογών. Το νούμερο 1 είναι ένα πολύ γνωστό ιαπωνικό μοτίβο. Έχει κάποια ομοιότητα με το 3, που είναι διακόσμηση από Μαυριτανικό τοίχο και που αντέγραψα από τον καθεδρικό ναό της Mesquita στην Κόρδοβα, της Ισπανίας. (Και τα δύο αποτελούνται από παρόμοια στοιχεία σε σχήμα H.) Το νούμερο 2 είναι Ρωσικό ή Ελληνικό˙ Το είδα συχνά ως μοτίβο ιερατικού ιματίου σε εικόνες. Τα νούμερα 4, 5, 6, 7 και 8 είναι όλα Μαυριτανικά, αντιγραμμένα στην Αλάμπρα. Εντυπωσιακή σε όλα αυτά τα μοτίβα, είναι η απουσία ασύμμετρων μορφών, καθώς και αντικατοπτρισμού.

Στα δεξιά: ένα πρώτο παράδειγμα μιας δικής μου εφεύρεσης: ένα διμερώς συμμετρικό σκαθάρι, που επαναλαμβάνεται στο επίπεδο με τον ίδιο τρόπο όπως στο νούμερο 5, αριστερά.

Θα ήθελα τώρα να δείξω μερικά παραδείγματα των εφαρμογών των τριών βασικών αρχών μου στην κανονική διαίρεση του επιπέδου: πρώτον μερικές περιπτώσεις μεταφοράς, δεύτερον αξόνων, και τρίτον αντικατοπτρισμού.

Δύο παραδείγματα μεταφοράς: στα αριστερά ένα όρθιο άλογο, στα δεξιά ένας συνδυασμός από δυο διαφορετικές φιγούρες: μια βάρκα και ένα ψάρι.

Δύο παραδείγματα αξόνων: οι φιγούρες και στις δύο διαφάνειες επαναλαμβάνονται περιστρέφοντας δυαδικούς, τετραδικούς και εξαδικούς άξονες.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα αντικατοπτρισμού. Οι κύκνοι στα αριστερά εμφανίζονται ξανά στη ξυλογραφία δεξιά. Ο σκοπός μου σε αυτό το σχέδιο ήταν να δώσω μια επίδειξη αυτής της αρχής. Σκοπεύοντας να δείξω ότι οι λευκοί κύκνοι είναι είδωλα των μαύρων, τους αφήνω να πετάνε τριγύρω, σε μια διαδρομή που έχει το σχήμα ενός ξαπλωμένου 8. Κάθε πουλί σηκώνεται από το επίπεδο στο χώρο, σαν ένα μπισκότο πασπαλισμένο με ζάχαρη στη μία πλευρά και με σοκολάτα στην άλλη. Στο κέντρο του 8, οι ροές των λευκών και μαύρων κύκνων συναντώνται και σχηματίζουν από κοινού ένα μοτίβο χωρίς κενά.

Εδώ είναι ένα δεύτερο παράδειγμα αντικατοπτρισμού. Ο αριστερός αναβάτης, ως πλάσμα, ήταν εξαιρετικά πρόθυμος. Σπάνια συμβαίνει τα θέματά μου να επιτρέπουν τόσο εύκολα στον εαυτό τους να σκιαγραφούνται λεπτομερώς.

Στα δεξιά η αρχή του αντικατοπτρισμού επιδεικνύεται ξανά. Πρόκειται για μια ταινία, στην οποία μια πομπή αναβατών ιππεύει επ’ άπειρο. Είναι σαν μια υφασμένη ίνα, με κόμπους διαφορετικών χρωμάτων. Έτσι, μπλε στοιχεία σε κόκκινο φόντο στη μία πλευρά της κορδέλας επανεμφανίζονται ως κόκκινα σε μπλε φόντο στην αντίθετη πλευρά. Στο κέντρο, μπλε και κόκκινοι αναβάτες μεγεθύνονται σταδιακά ώσπου να γεμίσει πλήρως το επίπεδο.

Συχνά αναρωτήθηκα για αυτήν την καλλιτεχνική, ασυνήθιστη μανία μου να σχεδιάζω επαναλαμβανόμενα σχέδια. Με τα χρόνια έκανα περίπου εκατόν πενήντα τέτοια. Στην αρχή, πριν από περίπου σαράντα χρόνια, είχα αναρωτηθεί αρκετά μηχανικά, προφανώς χωρίς κανέναν σαφώς καθορισμένο σκοπό. Οδηγιόμουν απλώς από την ακαταμάχητη ευχαρίστηση που ένιωθα να επαναλαμβάνω τα ίδια στοιχεία σε ένα φύλλο χαρτί. Δεν είχα ακόμη δει τις ψηφιδωτές διακοσμήσεις της Αλάμπρα και δεν είχα ακούσει για την κρυσταλλογραφία˙ έτσι ούτε καν που ήξερα ότι το παιχνίδι μου ήταν βασισμένο σε κανόνες που έχουν διερευνηθεί επιστημονικά.

Εδώ σας δείχνω την πρώτη μου περιοδική ξυλογραφία, που έγινε το 1922. Το πρωτότυπο παρουσιάζει μια συλλογή από οκτώ διαφορετικά ανθρώπινα κεφάλια, που μπορούν να τυπωθούν και να πολλαπλασιαστούν με μεταφορά.

Στην αριστερή διαφάνεια τέσσερις φιγούρες φαίνονται: δύο κύριοι και δύο κυρίες. Αν περιστρέψετε το όλο σκίτσο 180 μοίρες, τέσσερα διαφορετικά κεφάλια προκύπτουν, και πάλι δύο γυναίκες και δύο άνδρες. Ορισμένα τμήματα έχουν διπλές λειτουργίες: ένα φτερό σε ένα τρίκοχο καπέλο = το πάνω μέρος ενός χεριού - δύο άντρες με κοινή κόμη.

Πολλά χρόνια αργότερα, το 1935, ήρθα για πρώτη φορά σε επαφή με κρυσταλλογράφους και προσπάθησα σοβαρά να κατανοήσω τις θεωρίες τους. Αλλά τα σχέδιά τους είναι ως επί το πλείστον πολύ επιστημονικά για μένα, και από την άλλη πλευρά δεν λαμβάνουν υπόψη τους τις, κατά εμένα, αναντικατάστατες χρωματικές αντιθέσεις. Έτσι το 1942, διατύπωσα μια προσωπική εκλαϊκευμένη θεωρία, που παρουσίασα με πολλές επεξηγηματικές φιγούρες. Αν και τα κείμενα των δημοσιεύσεων της κρυσταλλογραφίας βρίσκονται ως επί το πλείστον πέρα από τη δική μου κατανόηση, οι φιγούρες με τις οποίες αναπαρίστανται προσφέρουν συχνά νέες δυνατότητες για τη δουλειά μου. Με αυτόν τον τρόπο μια γόνιμη επαφή μπορεί μερικές φορές να καθιερωθεί ανάμεσα στους μαθηματικούς και σε εμένα.

Θα ήθελα να ολοκληρώσω αυτήν την εισαγωγή μου στα περιοδικά μου μοτίβα με αυτές τις δύο ψηφιδώσεις, που δεν περιέχουν κανένα επαναλαμβανόμενο στοιχείο. Έτσι στην πραγματικότητα δεν ανήκουν σε αυτήν τη συζήτηση, αλλά τα δείχνω γιατί καταδεικνύουν σαφώς τις δύο βασικές μου προϋποθέσεις: αναγνωρισιμότητα και χρωματική αντίθεση. Αν κάποιος δεν μπορούσε να αναγνωρίσει τις μορφές ως ζωντανά όντα ή ως γνωστά αντικείμενα (η κιθάρα, για παράδειγμα), θα ήταν ένα άσκοπο παιχνίδι να τις αντιπαραβάλλω· και χωρίς αντίθεση σκιών μεταξύ δυο γειτονικών φιγούρων θα ήταν απλά αόρατες!

Η σύνθεση ενός τέτοιου παζλ γίνεται λίγο- πολύ ασυνείδητα. Κατά τη σχεδίαση, αισθάνομαι σαν να ήμουν ένα πνευματιστικό διάμεσο, που ελέγχεται από τα πλάσματα που σκαρφίζομαι, και είναι σαν τα ίδια να αποφασίζουν το σχήμα που θέλουν να πάρουν.

Μια καμπύλη μεταξύ δύο αλληλοσυνδεόμενων μορφών έχει διπλή λειτουργία, και η πράξη της ανίχνευσης μιας τέτοιας γραμμής, επομένως, παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία. Σε κάθε πλευρά της, μια φιγούρα υλοποιείται αυθόρμητα. Αλλά, καθώς το ανθρώπινο μυαλό δεν μπορεί να σκέφτεται δυο πράγματα ταυτόχρονα, πρέπει να υπάρχει μια γρήγορη και συνεχής μετάβαση από τη μία πλευρά στην άλλη. Η επιθυμία να ξεπεράσω αυτήν τη συναρπαστική δυσκολία είναι ίσως ο λόγος που συνεχίζω τη δραστηριότητά μου σε αυτό το πεδίο.

Μετά από αυτήν την εισαγωγή προτείνω τώρα να δείξω και να εξηγήσω διάφορες σειρές από σχέδια που είναι το αποτέλεσμα συγκεκριμένων διαδρομών σκέψης στις οποίες οι συμμετρικές μου φιγούρες μπορούν να οδηγήσουν.

Πρώτα, κάποια παραδείγματα που απεικονίζουν την ανάπτυξη σχήματος και αντίθεσης.

Το αριστερό σχέδιο παρουσιάζει μια προοδευτική ανάπτυξη σε δώδεκα φάσεις. Μια εικόνα που αποτελείται από ασπρόμαυρα σημεία αντιμετωπίζεται γενικά ως κάτι στατικό, και δεν αναρωτιόμαστε πώς δημιουργήθηκε. Αλλά αν το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα μια δυναμικής δράσης, θα έπρεπε λογικά να ξεκινήσουμε με ένα γκρι επίπεδο: 1. Δύο συστήματα από τεμνόμενες ευθείες χωρίζουν αυτό το επίπεδο σε όμοια παραλληλόγραμμα: 2, και με την αμοιβαία χρωματική τους αντίθεση γίνονται καθαρά μαύρα και άσπρα σχήματα: 4. Αυτό είναι το αρχικό σημείο στην εξέλιξη της μορφής τους, η οποία ολοκληρώνεται στο τέλος του 7. Μαύρες φιγούρες αναγνωρίζονται ως πουλιά σε λευκό φόντο: 8, ή, αν θέλετε, ως λευκά πουλιά σε μαύρο φόντο: 9, ή, ταυτόχρονα, ως μαύρα και άσπρα πουλιά: 10. Αλλά τα ίδια σχήματα μπορούν επίσης να υπονοούν ιπτάμενα ψάρια αντί για πουλιά, μετακινώντας το ράμφος και το μάτι τους από δεξιά προς τα αριστερά: 11. Τέλος είναι προφανές ότι ένας συνδυασμός από πουλιά και ψάρια είναι επίσης δυνατός: 12.

Δύο ακόμα παραδείγματα εξέλιξης. Στο αριστερό σχέδιο, αυτή η διαδικασία λαμβάνει χώρα από τα έξω προς το κέντρο. Τα περιγράμματα του τετραγώνου υποδηλώνουν ένα θαμπό γκρι αρχικό στάδιο, ενώ στο κέντρο τέσσερις φιγούρες παίρνουν την τελική και ολοκληρωμένη μορφή τους, καθώς επίσης και την ισχυρότερη αντίθεσή τους.

Στα δεξιά: μια εξέλιξη προς την αντίθετη κατεύθυνση- από το κέντρο προς τα έξω- είναι πολύ καλύτερη, διότι, αντί για τέσσερα εμπλεκόμενα, κεντρικά σχήματα, μια μακριά σειρά από τελικές μορφές μπορεί να υπάρξει στα σύνορα. Στο κέντρο, η λέξη «VERBUM» («In principium erat Verbum») υπενθυμίζει τη βιβλική ιστορία της δημιουργίας. Αναδυόμενα από ένα νεφελώδες, θολό κέντρο, αρχέγονα τρίγωνα εξελίσσονται σταδιακά σε πουλιά, ψάρια και βατράχους, καθένα στο δικό του στοιχείο: αέρας, νερό και γη. Κάθε είδος παρουσιάζεται με δύο μορφές: την ημέρα και τη νύχτα. Ένα προς ένα συγχωνεύονται μεταξύ τους, κατά μήκος των συνόρων του εξαγώνου, με δεξιόστροφη φορά.

Τώρα δυο παραδείγματα για να παρουσιάσω ένα άλλο θέμα, το οποίο ονομάζω λειτουργία και νόημα των υποβάθρων.

Στα αριστερά: ένα σχέδιο που είναι το βασικό θέμα του σχεδίου στα δεξιά: Μέρα και Νύχτα.

Είναι ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό των αναγνωρίσιμων στοιχείων ενός περιοδικού σχεδίου (που είναι πουλιά σε αυτήν την περίπτωση) ότι τα μάτια μας ποτέ δεν βλέπουν ένα συνεχόμενο μοτίβο αλλά εστιάζουν την προσοχή είτε στα σκούρα μπλε πουλιά ή στα λευκά· τα μπλε και τα λευκά πουλιά δεν μπορούν να ιδωθούν ταυτόχρονα ως αντικείμενα, αλλά λειτουργούν εναλλασσόμενα το ένα ως φόντο του άλλου.

Η ιδέα να κάνω ένα σχέδιο με θέμα «Μέρα και Νύχτα,» όπως φαίνεται δεξιά, γεννήθηκε λογικά από τους συσχετισμούς: φως = μέρα, και σκοτάδι = νύχτα.

Ορθογώνια λιβάδια μεταξύ δύο μικρών, τυπικών Ολλανδικών πόλεων σταδιακά εξελίσσονται στα περιγράμματα πουλιών που πετούν προς αντίθετες κατευθύνσεις: μαύρα προς τα αριστερά και λευκά προς τα δεξιά, και τα δύο ξεκινώντας από το κέντρο. Στα αριστερά, οι λευκές σιλουέτες συγχωνεύονται και σχηματίζουν τον ουρανό την ημέρα- στα δεξιά, τα μαύρα πουλιά ενώνονται και σχηματίζουν ένα νυχτερινό φόντο. Τα δύο τοπία είναι το ένα αντικατοπτρικό του άλλου και ρέουν μέσα από τα λιβάδια, από τα οποία, και πάλι, τα πτηνά σχηματίζονται.

Κατά τον ίδιο τρόπο που συσχετίζουμε «ιπτάμενα πουλιά» με «ουρανό,» έτσι συνδέουμε το «νερό» με «ψάρια.» Ένα επίπεδο μοτίβο που απαρτίζεται από πουλιά και ψάρια, όπως βλέπετε στα αριστερά, με οδήγησε έτσι στην ιδέα της δεξιάς εικόνας. Το τετράγωνο διαιρείται ακριβώς σε μισά με μια οριζόντια κεντρική λωρίδα όπου τα λευκά και τα μαύρα στοιχεία είναι ισοδύναμα. Στο πάνω μισό, τα περιγράμματα των λευκών ψαριών συγχωνεύονται για να σχηματίσουν τον «ουρανό» για τα πουλιά, ενώ στο κάτω μισό τα μαύρα πουλιά αναμειγνύονται για να σχηματίσουν «νερό» για τα ψάρια.

Αφήστε με να σας δείξω τώρα δύο προσπάθειες συμβολισμού της ιδέας της μη ύπαρξης συνόρου.

Στα αριστερά φαίνεται, για άλλη μια φορά, ένα τμήμα του επιπέδου, το οποίο θα μπορούσε να γεμίσει ατελείωτα με παρόμοιες φιγούρες ψαριών. Ο απλούστερος τρόπος για να εξαλειφθεί ο αποσπασματικός χαρακτήρας μιας τέτοιας εικόνας είναι να πάρουμε μια σφαίρα αντί για ένα επίπεδο κομμάτι χαρτί και να διαιρέσουμε την καμπύλη επιφάνεια σε έναν περιορισμένο αριθμό από αυτές τις φιγούρες.

Στα δεξιά, φαίνεται μια μπάλα από σκαλισμένο ξύλο οξιάς, περίπου έξι ίντσες σε διάμετρο, πάνω στην οποία σκάλισα δώδεκα πανομοιότυπα ψάρια ανάγλυφα, συμπληρώνοντας ολόκληρη την επιφάνεια της σφαίρας. Όταν γυρνάτε αυτήν την μπάλα με τα χέρια σας, το ένα ψάρι μετά το άλλο εμφανίζεται σε ατέρμονη διαδοχή. Αν και ο αριθμός τους είναι περιορισμένος, συμβολίζουν την ιδέα της μη ύπαρξης συνόρου κατά τρόπο που δεν επιτυγχάνεται σε ένα επίπεδο.

Βάτραχοι, ψάρια, και νυχτερίδες μπορούν επίσης να γεμίσουν το επίπεδο, καθώς επίσης και την επιφάνεια μιας σφαίρας, όπως βλέπετε στα προηγούμενα δύο σχέδια. Τριαδικοί άξονες στο επίπεδο αντικαθίστανται με εξαδικούς άξονες στην σφαίρα.

Μου αρέσει ιδιαίτερα αυτή η μικρή σφαίρα από ελεφαντόδοντο, η οποία είναι περίπου τρεις ίντσες σε διάμετρο. Αν και το σχέδιο είναι δικό μου, το σκάλισμα έγινε από έναν Ιάπωνα τεχνίτη κατά παραγγελία ενός από τους καλύτερους Αμερικάνους πελάτες μου. Τρεις γεωδαισικές γραμμές, που διασχίζουν η μία την άλλη καθέτως, οριοθετούν τους άξονες συμμετρίας για κάθε είδος ζώου, συμβολίζοντας τη γη (τα έρποντα βατράχια), τον ουρανό (οι ιπτάμενες νυχτερίδες) και το νερό (τα πλέοντα ψάρια).

Μέχρι τώρα δεν κάναμε καμία προσπάθεια να αλλάξουμε το μέγεθος των στοιχείων της ψηφίδωσης. Όμως, είναι λογικό ότι, μικραίνοντας κλιμακωτά κάθε φιγούρα, ένα όριο του απείρως μικρού μπορεί θεωρητικά να επιτευχθεί, συμβολίζοντας ένα αριθμητικό άπειρο ή μια ολότητα. Αυτή η ιδέα με γοήτευε για καιρό, και μια σειρά από σχέδια ήταν το αποτέλεσμα.

Η αριστερή διαφάνεια δείχνει μια μεταμόρφωση εξαγώνων σε ερπετά, από το κέντρο (όπου τα στοιχεία είναι απείρως μικρά) προς τα σύνορα. Το αποτέλεσμα, ωστόσο, δεν είναι εντελώς ικανοποιητικό γιατί το επίπεδο είναι αυθαίρετα οριοθετημένο: θα μπορούσε να επεκταθεί κατά βούληση και έτσι δεν αναπαριστά μια ολότητα.

Στο δεξιό σχέδιο προσπάθησα να διορθώσω αυτό το κακό. Με τα μάτια σας προσκαλείστε να ακολουθήσετε τα ρεύματα των λευκών σελαχιών, κεφάλι με ουρά, από το κέντρο προς τα έξω. Τα οκτώ μεγαλύτερα σελάχια κινούνται προς τα μέσα ξανά, προς το κέντρο, αλλάζοντας το χρώμα τους από άσπρο σε μαύρο.

Το αριστερό σχέδιο παρουσιάζει δύο πυρήνες με απείρως μικρές φιγούρες. Συνδέονται με μια κόκκινη και μια μπλε σειρά ψαριών που κολυμπάνε κεφάλι με ουρά και κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ολόκληρο το κόκκινο χνάρι έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με το μπλε. Όταν περιστραφούν 180 μοίρες γύρω από έναν άξονα στο κέντρο, καλύπτουν η μια σειρά τα κενά μεσοδιαστήματα της άλλης. Καθώς εφάρμοσα την τεχνική των ξυλόγλυπτων για να κάνω αυτό το σχέδιο, χρειάστηκα μόνο ένα μπλοκ, με το οποίο και τα δυο χρώματα τυπώθηκαν.

Το δεξιό σχέδιο υποδεικνύει μια σφαίρα με δύο πόλους, από τους οποίους μόνο ο ένας είναι ορατός. Συνδέονται με τέσσερα λευκά και τέσσερα μαύρα ίχνη ψαριών που κολυμπάνε κεφάλι με ουρά και κινούνται, όλα προς την ίδια κατεύθυνση, από πόλο σε πόλο.

Στα αριστερά είναι ένα άλλο παράδειγμα μείωσης του μεγέθους προς τα μέσα. Τα στοιχεία υποδιπλασιάζονται συνεχώς. Σε αυτό το ξυλόγλυπτο συνέχισα με συνέπεια και σχεδόν με μανία τη μείωση μέχρι το όριο της πρακτικής εξάντλησης. Βασίστηκα σε τέσσερις παράγοντες: την ποιότητα του ξύλου, την αιχμηρότητα του εργαλείου μου, τη σταθερότητα του χεριού μου, και ιδιαίτερα την οξύτητα της όρασής μου, βοηθούμενος από έναν δώδεκα φορών μεγεθυντικό φακό.

Ωστόσο, αυτή η κεντρομόλος μείωση είναι για άλλη μια φορά μη ικανοποιητική εξαιτίας του αυθαίρετου προς τα έξω περιορισμού. Ο καλύτερος τρόπος για να αποκτηθεί μια λογικά οριοθετημένη ολότητα είναι η μείωση των φιγούρων προς την αντίθετη κατεύθυνση: από το κέντρο προς τα σύνορα, όπως φαίνεται στα δεξιά, όπου ένα τετράγωνο όριο περικλείει έναν άπειρο αριθμό από ψάρια, τα οποία επίσης μειώνονται στο μισό συνεχώς.

Αντί για τελείωμα με ένα τετράγωνο όριο, κάποιος μπορεί επίσης, και ίσως καλύτερα, να τελειώσει με ένα κυκλικό περίγραμμα. Αλλά αυτό δεν είναι απλό ζήτημα, αλλά ένα πολύπλοκο, μη Ευκλείδειο πρόβλημα, πολύ δύσκολο για έναν μη ειδικό σαν εμένα. Μετά από πολύ καιρό προσπάθειας, μάταια, με το δικό μου πειραματικό τρόπο, βρέθηκα τελικά στο σωστό δρόμο χάρη σε μια δημοσίευση του άγγλου μαθηματικού καθηγητή H.S.M. Coxeter. Χωρίς την ευγενική του βοήθεια πιθανώς δεν είχα βρει ποτέ μια ικανοποιητική λύση.

Στα αριστερά: άγγελοι και διάβολοι, σχηματισμένοι με τετραδικούς και εξαδικούς άξονες. Στα δεξιά: οι ίδιες φιγούρες μικραίνοντας σε μια φυγόκεντρη κατεύθυνση με την εναλλαγή τετραδικών και εξαδικών αξόνων.

Εδώ μπορείτε να δείτε τρεις τρόπους συμπλήρωσης ενός επιπέδου με διμερώς συμμετρικές μορφές ψαριών. Λευκές γραμμές περιγράφουν τους άξονες συμμετρίας.

Το σχέδιο πάνω αριστερά, με τις ορθογώνιες τέμνουσες λευκές γραμμές, είναι το λιγότερο ενδιαφέρον από τα τρία. Τα ψάρια, τα οποία παρουσιάζονται ουρά με ουρά και κεφάλι με κεφάλι, δεν δείχνουν καμία συνέχεια. Αυτό το σχέδιο δείχνει έναν συνδυασμό τετραδικών και εξαδικών αξόνων και χρειάζεται τουλάχιστον δύο αντίθετα χρώματα (κίτρινο και μπλε).

Το σχέδιο κάτω αριστερά μου ταιριάζει κάπως καλύτερα. Οι σειρές των ψαριών, καθώς διασταυρώνονται σε γωνίες εξήντα μοιρών, κολυμπάνε κεφάλι με ουρά και δείχνουν μια συνέχεια μονής κατεύθυνσης. Όλα τα ίχνη με την ίδια κατεύθυνση έχουν επίσης το ίδιο χρώμα. Υπάρχουν δύο τριαδικοί άξονες, και τουλάχιστον τρία χρώματα είναι αναγκαία (κίτρινο, μπλε και κόκκινο).

Στα δεξιά είναι ένα ακόμη σχέδιο με κυκλικό όριο. Αδιάλειπτα ίχνη από ψάρια μιας κατεύθυνσης μεγαλώνουν σε μέγεθος όσο προσεγγίζουν το κέντρο και μικραίνουν ξανά προς τα σύνορα. Υπάρχουν εναλλασσόμενοι τετραδικοί και τριαδικοί άξονες και τουλάχιστον τέσσερα χρώματα είναι απαραίτητα (κίτρινο, μπλε, κόκκινο και πράσινο).

Ίσως αξίζει τον κόπο να επιστήσετε την προσοχή στην πολύπλοκη τεχνική ξυλογραφίας αυτού του σχεδίου· χρειάστηκε πέντε διαφορετικά ξύλινα μπλοκ: ένα για τις μαύρες γραμμές και τέσσερα για τα χρώματα. Κάθε μπλοκ καλύπτει έναν τομέα ενενήντα μοιρών από ολόκληρο τον κύκλο, και ολόκληρος ο δίσκος χρειάστηκε τέσσερα επί πέντε, δηλαδή, είκοσι σκίτσα.

Επιτρέψτε μου τώρα να σας δώσω ορισμένα δείγματα «εικαστικών ιστοριών,» προτείνοντας μεταφορές από το επίπεδο στο χώρο.

Στην αριστερή διαφάνεια, μικροί άνθρωποι σε τρία χρώματα καλύπτουν το επίπεδο. Αυτό το ίδιο μοτίβο είναι το κύριο θέμα της δεξιάς εκτύπωσης. Ο μικρός άνθρωπος αφήνει το σπίτι του και κατεβαίνει μια σκάλα. Κατά την κάθοδό του χάνει τις τρεις διαστάσεις του και καταλήγει, επίπεδος και γκρι, ανάμεσα σε λευκά και μαύρα όμοια πλάσματα. Καθένα από αυτά έχει απλοποιηθεί στο σχήμα ενός ρόμβου. Τρεις ρόμβοι συνιστούν έναν κύβο· ο κύβος συνορεύει με το σπίτι, και από το σπίτι ο μικροσκοπικός άνθρωπος εμφανίζεται ξανά. Και ούτω καθεξής, σε μια ατελείωτη επαναλαμβανόμενη κίνηση.

Στα αριστερά: κίτρινα και μαύρα ίχνη φτερωτών λιονταριών είναι αμοιβαία αντικατοπτριζόμενα.

Στα δεξιά: το ίδιο μικρό ζώο γεννιέται και αναδύεται μέσα από έναν κάθετο καθρέφτη. Ολοένα και περισσότερα βγαίνουν από τον καθρέφτη μέχρι που στο τέλος ολόκληρο το πλάσμα έχει ελευθερωθεί από το είδωλό του. Ως ένα εντυπωσιακό ζώο, μεταφέρει την αντανάκλασή του στην πραγματικότητα- ένα πολύ γνωστό τέχνασμα από την Αλίκη και το Γυάλινο κόσμο της. Έτσι δύο καμπύλες πορείες κινούνται, πρώτα σε μία σειρά, έπειτα σε δυο, και τέλος σε τέσσερις σειρές, κινούμενες από αριστερά προς δεξιά και αντίθετα. Συναντώνται στο προσκήνιο, χάνουν τις τρεις διαστάσεις τους, γίνονται επίπεδες, και ολισθαίνουν μαζί σαν τα κομμάτια ενός παζλ. Από κοινού αποτελούν τώρα ένα οριζόντιο επίπεδο, ένα ψηφιδωτό δάπεδο, πάνω στο οποίο στέκεται ο καθρέφτης.

Αριστερά: ένα μοτίβο από λευκούς «αισιόδοξους» και μαύρους «απαισιόδοξους,» επεξεργασμένο, στη δεξιά εκτύπωση, σε μια ιστορία πλήρως ηθικής. Στο παρασκήνιο, σε έναν γκρι τοίχο, αυτές οι ανθρώπινες μορφές αυξάνουν την αμοιβαία τους αντίθεση προς το κέντρο. Ένας λευκός και ένας μαύρος εκπρόσωπος κάθε είδους αποσπώνται από την επιφάνεια του τοίχου και περπατάνε στο χώρο, αποφεύγοντας προσεκτικά ένα στραβοπάτημα στην κυκλική τρύπα στο πάτωμα. Έτσι, κινούμενοι κυκλοτερώς, αναπόφευκτα συναντώνται στο προσκήνιο. Κατά τη διάρκεια ολόκληρης της διαδρομής, μέχρι το τέλος, ο μαύρος απαισιόδοξος κρατά το δάχτυλό του σηκωμένο σε μια χειρονομία προειδοποίησης, αλλά ο λευκός αισιόδοξος χαρούμενα τον συναντά, και έτσι στο τέλος ανταλλάσουν χειραψία.

Η περιοδική ζωγραφιά στα αριστερά ερπετών σε τρία χρώματα εμφανίζεται ξανά στο δεξιό σχέδιο όπως η σελίδα ενός ανοικτού βιβλίου με σκίτσα. Ένα από τα ζώα, προφανώς θέλοντας να δείξει ότι είναι ένα ζωντανό πλάσμα, βγαίνει από το βιβλίο στην άκρη, βγαίνει έξω ακόμα πιο ελεύθερο, και ξεκινά τον κύκλο της ζωής του. Πρώτα ανεβαίνει πάνω σε ένα βιβλίο, έπειτα αναρριχάται πάνω στην ολισθηρή επιφάνεια ενός τοποθετημένου τετραγώνου, και φτάνει στο αποκορύφωμά του πάνω στην ακμή ενός δωδεκάεδρου. Κάνει παύση μια στιγμή, να πάρει μια ανάσα, κουρασμένο αλλά ικανοποιημένο, και στη συνέχεια επιστρέφει πίσω στο χαμηλότερο επίπεδο, στην επιπεδοχώρα, στην οποία επανακτά τη λειτουργία του ως συμμετρική φιγούρα.

Ποτέ δεν είχα καμιά ηθικολογική ή συμβολιστική πρόθεση σε αυτό το έργο, αλλά μερικά χρόνια αργότερα ένας από τους μορφωμένους πελάτες μου είπε ότι επρόκειτο για ένα εντυπωσιακό παράδειγμα σχετικά με τη μετενσάρκωση. Έτσι φαίνεται ότι κάποιος μπορεί να χρησιμοποιεί συμβολισμούς χωρίς καν να το ξέρει.

Προτείνω να ολοκληρώσω αυτήν την κουβέντα, δείχνοντάς σας ένα κομμάτι ξυλόγλυπτο με μήκος 4 μέτρα. Είναι πολύ μακρύ για να εμφανιστεί σε μία, ή ακόμα σε δύο διαφάνειες, έτσι το φωτογράφησα σε έξι μέρη, τα οποία μπορώ να παρουσιάσω σε τρία διαδοχικά ζεύγη και τα οποία προσκαλείστε να δείτε σαν να ήταν ένα αδιάκοπο κομμάτι χαρτί.

Είναι μια ιστορία με εικόνες που αποτελείται από πολλά διαδοχικά στάδια μετασχηματισμού. Η λέξη «Μεταμόρφωση,» χρησιμεύει η ίδια ως σημείο εκκίνησης. Τοποθετημένες οριζόντια και κάθετα στο επίπεδο, με τα γράμματα Ο και Μ ως σημεία τομής, οι λέξεις μετατρέπονται σταδιακά σε ένα μωσαϊκό από μαύρα και λευκά τετράγωνα, τα οποία, με τη σειρά τους, γίνονται ερπετά. Αν επιτρέπεται μια σύγκριση με τη μουσική, κάποιος μπορεί να πει ότι, μέχρι αυτό το σημείο, η μελωδία γράφτηκε με μέτρο δύο τέταρτα.

Τώρα ο ρυθμός αλλάζει: μπλε στοιχεία προστίθενται στο λευκό και στο μαύρο, και μετατρέπεται σε ένα μέτρο τριών τετάρτων. Σταδιακά κάθε σχήμα απλοποιείται σε ένα κανονικό εξάγωνο. Σε αυτό το σημείο μια συσχέτιση ιδεών προκύπτει: τα εξάγωνα θυμίζουν τα κελιά μιας κηρήθρας, και μόλις γίνεται αυτή η σκέψη μια προνύμφη μέλισσας αρχίζει να στριφογυρνά σε κάθε κελί. Με μιας κάθε ενήλικη νύμφη αναπτύσσεται σε τέλεια μέλισσα, και σύντομα αυτά τα έντομα πετάνε έξω στο χώρο.

Η διάρκεια ζωής των μελισσών μου είναι σύντομη, γιατί οι μαύρες σιλουέτες τους σύντομα συγχωνεύονται για να εξυπηρετήσουν μια άλλη λειτουργία, δηλαδή, να παρέχουν ένα φόντο για λευκά ψάρια. Αυτά επίσης, με τη σειρά τους, συγχωνεύονται μεταξύ τους, και τα μεσοδιαστήματα παίρνουν το σχήμα μαύρων πουλιών. Ύστερα, στην απόσταση, σε λευκό φόντο, εμφανίζονται μικρές κόκκινες σιλουέτες πουλιών. Συνεχώς μεγαλώνοντας σε μέγεθος, οι άκρες τους σύντομα αγγίζουν εκείνες των μαύρων συντρόφων τους. Ό,τι απομένει από το λευκό παίρνει επίσης ένα σχήμα πουλιού, έτσι ώστε τρία μοτίβα πουλιών, το καθένα με το δικό του συγκεκριμένο σχήμα και χρώμα, τώρα γεμίζουν πλήρως την επιφάνεια με ένα ρυθμικό μοτίβο.

Και πάλι η απλούστευση ακολουθεί: κάθε πουλί μετασχηματίζεται σε έναν ρόμβο, και αυτό οδηγεί σε μια δεύτερη συσχέτιση ιδεών: ένα εξάγωνο που αποτελείται από τρείς ρόμβους δίνει ένα πλαστικό εφέ, που εμφανίζεται με την προοπτική σαν κύβος.

Από τον κύβο σε ένα σπίτι δεν είναι παρά ένα βήμα, και από τα σπίτια κτίζεται μια πόλη. Είναι μια τυπική μικρή πόλη της Νότιας Ιταλίας στη Μεσόγειο, με έναν, από τους πολλούς που υπάρχουν στην ακτή Αμάλφι, Σαρακήνικο πύργο, που στέκεται στο νερό και συνδέεται με τη στεριά με μια γέφυρα.

Τώρα προκύπτει η τρίτη συσχέτιση ιδεών: η πόλη και η θάλασσα μένουν πίσω, και το ενδιαφέρον επικεντρώνεται τώρα στον πύργο: τον πύργο και τα άλλα κομμάτια σε μια σκακιέρα.

Εν τω μεταξύ, η λουρίδα χαρτιού στην οποία παρουσιάζεται η «Μεταμόρφωση» έχει μεγαλώσει περίπου τέσσερα μέτρα σε μήκος. Είναι καιρός να τελειώσω την ιστορία, και αυτή η δυνατότητα προσφέρεται από τη σκακιέρα, από τα λευκά και μαύρα τετράγωνα, που στην αρχή προέκυψαν από τα γράμματα και που τώρα επιστρέφουν στην ίδια λέξη, «Μεταμόρφωση.»

Κάπου εδώ έρχομαι στο τέλος αυτής της συζήτησης, την οποία ελπίζω να συνεχίσω αύριο με αρκετά διαφορετικά θέματα. Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας.