11/11/08

Ένα λογικό παράδοξο, του Lewis Carroll

«Ορίστε, τίποτε να κάνεις;» είπε ο Θείος Jim. «Τότε έλα μαζί μου στου Allen. Και μπορείς να βρεις κάτι να κάνεις όσο θα με ξυρίζει.»

«Εντάξει,» είπε ο θείος Joe. «Και το Cub καλύτερα να έρθει μαζί μας, υποθέτω;»

Το ‘Cub’ ήμουν εγώ, όπως ο αναγνώστης θα έχει μάλλον καταλάβει για τον εαυτό του. Μόλις έκλεισα τα δεκαπέντε- εδώ και περισσότερο από τρεις μήνες. Αλλά δεν έχει νόημα να αναφέρω αυτό στο θείο Joe. Θα έλεγε απλά «Πήγαινε στο κουββούκλι σου (cubbicle), μικρέ!» ή «Τότε να υποθέσω ότι μπορείς να λύσεις κυββικές (cubbic) εξισώσεις;» ή κάποια εξίσου αισχρά λογοπαίγνια. Μου ζήτησε χθες να του δώσω ένα παράδειγμα μιας Πρότασης στο Α. Και του είπα «Όλοι οι θείοι κάνουν αισχρά λογοπαίγνια». Και δε νομίζω ότι του άρεσε. Πάντως, ήμουν αρκετά χαρούμενος που θα πήγαινα. Όντως λατρεύω ν’ ακούω αυτούς τους θείους μου να ‘κατακρεουργούν τη λογική,’ όπως την ονομάζουν. Και είναι καλοί σ’ αυτό, εγώ σας βεβαιώνω!

«Αυτό δεν είναι λογική επαγωγή από το επιχείρημά μου,» είπε ο θείος Jim.

«Ποτέ δεν είπα ότι είναι,» απάντησε ο θείος Joe: «πρόκειται για επαγωγή σε άτοπο».

«Μία αδόκιμη συλλογιστική των Μικρών!» σιγογέλασε ο θείος Jim.

Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο συνεχίζουν, όποτε είμαι μαζί τους. Σαν να ήταν διασκεδαστικό να με αποκαλούν Μικρό!

Μετά από λίγο, ο θείος Jim άρχισε πάλι, μόλις είδαμε από μακριά το κουρείο. «Ελπίζω ότι ο Carr θα είναι μέσα,» είπε. «Ο Brown είναι τόσο αδέξιος. Και το χέρι του Allen τρέμει από τότε που πέρασε εκείνο το πυρετό.»

«Ο Carr σίγουρα θα είναι μέσα,» είπε ο θείος Joe.

«Βάζω στοίχημα ότι δεν είναι!», αποκρίθηκα.

«Άσε τα στοιχήματα,» είπε ο θείος Joe. «Εννοώ»-συνέχισε βιαστικά, βλέποντας από το μορφασμό στο πρόσωπό μου το ολίσθημα που είχε κάνει- «Εννοώ ότι μπορώ να το αποδείξω, λογικά. Δεν είναι θέμα τύχης

«Να το αποδείξεις λογικά!» σάρκασε ο θείος Jim. «Εμπρός λοιπόν! Σε προκαλώ να το κάνεις!»

«Για χάρη του επιχειρήματος,» ο θείος Joe ξεκίνησε να μιλά, «ας υποθέσουμε ότι ο Carr είναι έξω. Και ας δούμε αυτή η παραδοχή πού θα μας οδηγήσει. Θα το κάνω αυτό με την επαγωγή σε άτοπο.»

«Φυσικά έτσι θα κάνεις!» γρύλλισε ο θείος Jim. «Ποτέ δεν άκουσα δικό σου επιχείρημα που να μην καταλήγει σε κάτι άτοπο!»

«Χωρίς να με προκαλούν οι άνανδρές σου λοιδορίες,» είπε ο θείος Joe σ’ ένα χαμηλό τόνο, «συνεχίζω. Αν ο Carr είναι έξω, δέξου το αυτό, τότε αν ο Allen είναι επίσης έξω, ο Brown θα πρέπει να είναι μέσα;»

«Γιατί στο καλό θα πρέπει αυτός να είναι μέσα;» είπε ο θείος Jim. «Δε θέλω ο Brown να με ξυρίσει ! Παραείναι αδέξιος.»

«Η υπομονή είναι μία από εκείνες τις ανεκτίμητες αξίες-» πήγε να πει ο θείος Joe. Αλλά ο θείος Jim τον διέκοψε γρήγορα.

«Επιχειρηματολόγησε», του είπε. «Μην ηθικολογείς

«Ναι, αλλά όντως το δέχεσαι;» επέμεινε ο θείος Joe. «Δέχεσαι ότι αν ο Carr είναι έξω, προκύπτει ότι, αν ο Allen είναι έξω, ο Brown πρέπει να είναι μέσα;»

«Φυσικά και θα πρέπει,» απάντησε ο θείος Jim, «αλλιώς δε θα είναι κανείς στο μαγαζί.»

«Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η απουσία του Carr φέρνει στο προσκήνιο μία συγκεκριμένη Υπόθεση, της οποίας η πρόταση είναι ‘Ο Allen είναι έξω,’ και της οποίας η απόδοση είναι ‘Ο Brown είναι μέσα’. Και βλέπουμε επίσης ότι, όσο ο Carr μένει έξω, αυτή η Υπόθεση παραμένει σε ισχύ;»

«Ωραία, ας υποθέσουμε ότι ισχύει. Και τι μ’ αυτό;» ρώτησε ο θείος Jim.

«Θα δεχτείς επίσης ότι η αλήθεια μιας Υπόθεσης- εννοώ η εγκυρότητά της ως λογική συνέπεια- δεν εξαρτάται καθόλου από το κατά πόσο η πρότασή της είναι πράγματι αλήθεια, ούτε καν κατά πόσο είναι πιθανή. Η Υπόθεση, ‘Αν έτρεχες από εδώ στο Λονδίνο σε πέντε λεπτά θα ξάφνιαζες τον κόσμο,’ παραμένει αλήθεια ως συνέπεια, ανεξάρτητα από το αν μπορείς να το κάνεις ή όχι.»

«Δεν μπορώ,» αρκέστηκε ο θείος Jim.

«Θα πρέπει τώρα να θεωρήσουμε άλλη μία Υπόθεση. Τι μου είπες χθες για τον Allen;»

«Σου είπα», αποκρίθηκε ο θείος Jim, «πως από τότε που έπαθε εκείνο τον πυρετό τόσο φοβάται να βγει μόνος έξω ώστε πάντοτε παίρνει μαζί του τον Brown.»

«Ακριβώς,» είπε ο θείος Joe. «Οπότε η Υπόθεση, ‘αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι έξω’ είναι πάντα αλήθεια, δεν είναι;»

«Υποθέτω πως ναι,» είπε ο θείος Jim. (Φαινόταν να γίνεται κάπως νευρικός, ο ίδιος, τώρα.)

«Άρα αν ο Carr είναι έξω, έχουμε δύο Υποθέσεις, ‘αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι μέσα’ και ‘αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι έξω’, ταυτόχρονα σε ισχύ. Και δύο ασυμβίβαστες Υποθέσεις, υπόψη! Δεν μπορούν αλήθεια να είναι και οι δυο σωστές!»

«Δεν μπορούν;» απόρησε ο θείος Jim.

«Πώς μπορούν;» απάντησε ο θείος Joe. «Πώς μπορεί μία και μοναδική πρόταση να έχει δύο αντιφατικές μεταξύ τους αποδόσεις; Δέχεσαι ότι οι δύο αποδόσεις, ‘ο Brown είναι μέσα’ και ‘ο Brown είναι έξω’, είναι αντιφατικές, υποθέτω;»

«Ναι, το δέχομαι αυτό,» ομολόγησε ο θείος Jim.

«Τώρα μπορώ να συνοψίσω,» είπε ο θείος Joe. «Αν ο Carr είναι έξω, αυτές οι δύο Υποθέσεις είναι ταυτόχρονα σωστές. Και ξέρουμε πως δεν μπορούν. Άρα ο Carr δεν μπορεί να είναι έξω. Να μια ωραία σε άτοπο επαγωγή για σένα!»

Ο θείος Jim έμοιαζε εντελώς μπερδεμένος: αλλά μετά από λίγο βρήκε το κουράγιο και αντέτεινε. «Δεν είμαι σίγουρος για αυτήν την ασυμβατότητα. Γιατί να μην είναι και οι δύο υποθέσεις ταυτόχρονα αληθείς; Μου φαίνεται ξεκάθαρο ότι θα αποδείκνυε απλά πως ‘ο Allen είναι μέσα’. Βέβαια είναι σαφές πως η απόδοση των δύο Υποθέσεων είναι παράταιρη- ‘Ο Brown είναι μέσα’ και ‘ο Brown είναι έξω’. Αλλά γιατί να μην το θέσουμε έτσι; Αν ο Allen είναι έξω ο Brown είναι έξω. Αν ο Carr και ο Allen είναι μαζί έξω, ο Brown είναι μέσα. Το οποίο είναι άτοπο. Οπότε ο Carr και ο Allen δεν μπορούν και οι δύο να είναι έξω. Όμως, όσο ο Allen είναι μέσα δεν βλέπω τι εμποδίζει τον Carr να βγει έξω

«Καλέ μου, μα τόσο παράλογε, αδελφέ!»Απάντησε ο θείος Joe. (Κάθε φορά που ο θείος Joe αρχίζει να σε λέει ‘καλό’ του, μπορείς να είσαι αρκετά σίγουρος ότι σ’ έχει του χεριού του!)
«Δε βλέπεις ότι λανθασμένα χωρίζεις την πρόταση και την απόδοση της Υπόθεσης; Η πρόταση είναι απλά ‘Ο Carr είναι έξω’. Και η απόδοση είναι ένα είδος υπο- Υπόθεσης, ‘αν ο Allen είναι έξω ο Brown είναι μέσα’. Και τι παράλογη απόδοση που είναι, καθώς έρχεται σε αντίθεση με την άλλη Υπόθεση που ξέρουμε ότι είναι πάντοτε αλήθεια, ‘Αν ο Allen είναι έξω τότε ο Brown είναι έξω’. Και είναι απλώς η παραδοχή, ‘Ο Carr είναι έξω’ που προκάλεσε αυτήν την παραδοξότητα. Άρα υπάρχει μόνο ένα πιθανό συμπέρασμα. Ο Carr είναι μέσα

Το πόσο αυτή η επιχειρηματολογία θα μπορούσε να διαρκέσει, δεν έχω την παραμικρή ιδέα. Πιστεύω πως καθένας από τους δύο θα μπορούσε να επιχειρηματολογεί για ώρες. Αλλά, εκείνη ακριβώς τη στιγμή φτάσαμε στο μαγαζί του κουρέα: και, μπαίνοντας μέσα, είδαμε ότι...-

Σημείωση (του Lewis Carroll)

Το παράδοξο, του οποίου το παραπάνω κείμενο είναι μια προφορική παρουσίαση, είναι, έχω λόγους να πιστεύω, μια πραγματική δυσκολία στη Θεωρία των Υποθετικών. Το αμφιλεγόμενο θέμα έχει συζητηθεί για αρκετό καιρό από διάφορους απασχολούμενους με τη λογική, στους οποίους το έθεσα. Και οι ποικίλες και αντικρουόμενες απόψεις, που η αλληλογραφία μου μαζί τους απέδωσε, με πείθουν ότι το θέμα χρειάζεται επιπλέον σκέψη, έτσι ώστε οι δάσκαλοι της λογικής και οι συγγραφείς να έρθουν σε κάποια συμφωνία σχετικά με το τι τα Υποθετικά (οι Λογικές Υποθέσεις) είναι και πώς θα έπρεπε να χρησιμοποιούνται.

Η αρχική διαφωνία, που δημιουργήθηκε, περισσότερο από ένα χρόνο πριν, μεταξύ δυο φοιτητών της Λογικής, μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως εξής:-

Υπάρχουν δυο Προτάσεις, Α και Β.

Δίνεται ότι

(1) Αν η C είναι σωστή, τότε αν η Α είναι σωστή, η Β είναι λάθος.
(2) Αν η Α είναι σωστή, η Β είναι σωστή.

Το ερώτημα είναι, μπορεί η C να είναι σωστή;

Ο αναγνώστης θα διαπιστώσει πως αν, σε αυτές τις δύο Προτάσεις, αντικαταστήσουμε τα γράμματα Α, Β και C με τα ονόματα αντίστοιχα Allen, Brown και Carr, και τις λέξεις ‘σωστό’ και ‘λάθος’ με τις λέξεις ‘μέσα’ και ‘έξω’
παίρνουμε

(1) Αν ο Carr είναι έξω, τότε, αν ο Allen είναι έξω, Ο Brown είναι μέσα.
(2) Αν ο Allen είναι έξω, τότε ο Brown είναι έξω.

Αυτές είναι ακριβώς οι δύο προτάσεις πάνω στις οποίες ο ‘θείος Joe’ κτίζει το επιχείρημά του.

Πολλές ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες προτάσεις ανακύπτουν σχετικά με το θέμα, όπως:

Μπορεί μία (λογική) Υπόθεση, της οποίας η πρόταση (το περιεχόμενο) είναι λάθος, να θεωρηθεί ως νόμιμη (δηλαδή ότι ισχύει) ;

Είναι δύο Υποθέσεις, του είδους ‘Αν Α τότε Β’ και ‘Αν Α τότε όχι- Β’, συνεπείς;

Ποια διαφορά στο νόημα, αν υπάρχει, έχουν οι παρακάτω Προτάσεις;

(1) A, B, C, δεν μπορούν αν είναι αλήθεια ταυτόχρονα.
(2) Αν οι C και A είναι αλήθεια, η B δεν είναι αλήθεια.
(3) Αν η C είναι αλήθεια, τότε, αν η A είναι αλήθεια, η B δεν είναι αλήθεια.
(4) Αν η A είναι αλήθεια, τότε, αν η C είναι αλήθεια, η B δεν είναι αλήθεια.

Η παρακάτω συμπαγής μορφή του παραδόξου μόλις στάλθηκε σε μένα, και πιθανώς, καθώς εμπεριέχει την αναγκαία αλήθεια, να ρίξει νέο φως στην υπόθεση.

Έστω τρεις γραμμές, KL, LM, MN, που σχηματίζουν στα σημεία L και M, ίσες και οξείες γωνίες στην ίδια πλευρά του LM.

Έστω η ‘Α’ σημαίνει ‘Τα σημεία K και N συμπίπτουν, ώστε οι τρεις γραμμές να σχηματίζουν ένα τρίγωνο’.
Έστω η ‘B’ σημαίνει ‘Το τρίγωνο έχει ίσες γωνίες βάσης’.
Έστω η ‘C’ σημαίνει ‘Οι γραμμές KL και MN είναι άνισες’.

Τότε έχουμε

(1) Αν η C είναι αληθής, τότε αν η A είναι αληθής, τότε η B δεν είναι αληθής.
(2) Αν η A είναι αληθής, η B είναι αληθής.

Η δεύτερη από αυτές τις Προτάσεις δε χρειάζεται απόδειξη. Και η πρώτη αποδεικνύεται από τον Ευκλείδη, στο Eυκ., i, 6, αν και βεβαίως τίθεται το ερώτημα κατά πόσον αντιπροσωπεύει το αρχικό νόημα του Ευκλείδη.

Πραγματικά ελπίζω ότι κάποιοι από τους αναγνώστες του Mind που έχουν κάποιο ενδιαφέρον στη Λογική θα βοηθήσουν ώστε να ξεκαθαρίσουν αυτές οι παράξενες δυσκολίες.


========================================================================
Το ‘A Logical Paradox’ γράφτηκε από τον Lewis Carroll, και δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Mind, το 1894. Τώρα είναι διαθέσιμο στο Κοινό.
Παραπομπές: Το κείμενο στ’ Αγγλικά, απ’ όπου και το μετέφρασα, εδώ.

No comments:

Post a Comment