9/4/08

ΤΙΜ*: Η θεωρία των ατελών μετρήσεων


*TIM: Theory of Incomplete Measurements


"Αυτό που λείπει από τη σύγχρονη επιστήμη είναι η καρδιά".



Εισαγωγή (Δική μου παρένθεση)

Ο Αριστοτέλης πίστευε πως η ακινησία είναι η φυσική κατάσταση των σωμάτων, έτσι ώστε αν αφήσουμε κάτι να κινηθεί, σύντομα θα σταματήσει. Ο Γαλιλαίος, ύστερα από σχεδόν 2000 χρόνια, θα κατανοήσει και θα δείξει μέσω της πειραματικής φυσικής ότι αν αφήσουμε ένα σώμα να κινηθεί, τότε αυτό δε θα σταματήσει ποτέ! Η αδράνεια των σωμάτων τα κάνει να διατηρούν την κινητική τους κατάσταση (κίνηση ή ακινησία) και ότι χρειάζεται μια δύναμη (π.χ. τριβή) για να τα σταματήσει. Αρκεί να κάνουμε ένα απλό πείραμα για να το διαπιστώσουμε, αν αφήσουμε ένα σώμα να κινηθεί πάνω σε μία επιφάνεια χωρίς τριβή (π.χ. αλειμμένη με λάδι). Γιατί άραγε ο Αριστοτέλης, αυτός ο κατά γενική ομολογία μεγάλος φιλόσοφος, δεν κατάφερε να συνειδητοποιήσει το απλούστερο; Μήπως τελικά ήτανε κουτός ή απλά δεν μπήκε ποτέ στον κόπο να ελέγξει τις θεωρίες του; Τίποτε από τα δύο. Υπόψιν ότι στην εποχή του δεν υπήρχε η έννοια της δύναμης. Τότε θεωρείτο πως τα σώματα πέφτουν επειδή αυτή ήταν η φυσική τους τάση. Ωστόσο κάποτε θα έβρισκαν στο έδαφος και θα σταματούσαν. Άρα στο τέλος όλα τα πράγματα ήταν προορισμένα για την ακινησία. Βλέπουμε δηλαδή τη σημασία δύο παραμέτρων στον προηγούμενο τρόπο σκέψης. Η πρώτη παράμετρος έχει να κάνει με το πώς μετράμε μια φυσική ποσότητα (π.χ. την ταχύτητα ή την θέση ενός σώματος) κι επομένως πώς εννοούμε τη φυσική μέτρηση. Η δεύτερη παράμετρος είναι ακόμη βαθύτερη. Έχει να κάνει με τις παραδοχές μας σχετικά με τη φυσική διαδικασία πριν ακόμη και να επιλέξουμε τη μέθοδο της παρατήρησης. Ο Γαλιλαίος απλά θεώρησε πως η φυσική κατάσταση των σωμάτων είναι η κίνηση, έτσι ώστε, χρησιμοποιώντας τις έννοιες της δύναμης και της επιτάχυνσης, (προγενέστερες παραδοχές), καθώς και την έννοια της αδράνειας (δική του εφεύρεση), να καταλήξει στην αντίθετη κοσμοθεωρία από εκείνη του Αριστοτέλη. Θα μπορούσε βέβαια κάποιος να πει ότι η καινούργια θεωρία είναι καλύτερη. Μέχρι βέβαια την εποχή του Einstein που έδειξε πως η βαρύτητα δεν είναι καν δύναμη, αλλά αποτέλεσμα ή 'αίσθημα' της καμπύλωσης του χώρου-χρόνου. Οπότε ίσως και να επιστρέφουμε πίσω στην κοσμοθεωρία του Αριστοτέλη μ' ένα νέο τρόπο. Ίσως και να μην καταλήγουμε πουθενά και στο τέλος να ανακαλύψουμε πως η φυσική ήταν μόνο μία φορμαλιστική και ανθρωποκεντρική προσέγγιση του κόσμου και της πραγματικότητας. Γιατί όσο φαντάσματα είναι η είναι η 'τάση του κόσμου προς την ακινησία', αλλά τόσο φαντάσματα είναι η δύναμη, η μάζα, η ίδια η κίνηση, ακόμη και 'η καμπύλωση του χώρου-χρόνου'. Σε τελική ανάλυση και η ανάγκη του ανθρώπου να παρατηρεί και να κατανοεί, μοιάζει παραδοχή εξίσου απατηλή.

Εισαγωγή (A Theory of Incomplete Measurements)




Η φυσική δεν είναι απλά τα μαθηματικά. Οι μαθηματικές οντότητες στη φυσική μεταφράζουν μια πραγματική εμπειρία. Οι μετρήσεις γεφυρώνουν αυτό το χάσμα. Ένας ορισμός των μετρήσεων με έξι κοινές υποθέσεις προσφέρει μιαν ενδιαφέρουσα και πιθανά νέα ματιά στη δομή της κβαντομηχανικής, της γενικής σχετικότητας και σε τεχνικές όπως η κανονικοποίηση.
Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα χρησιμοποιήσαμε τα μαθηματικά για να αναπαραστήσουμε τους νόμους της φυσικής. Για παράδειγμα γράφουμε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ως F=ma, όπου το F και το a είναι διανύσματα, αφηρημένες μαθηματικές οντότητες αποτελούμενες από 3 πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι με τη σειρά τους είναι αφηρημένες μαθηματικές οντότητες. Τα μαθηματικά που χρησιμοποιήθηκαν έχουν μόνο γίνει πιο εξεζητημένα με το χρόνο σε βαθμό που η πρόοδος στα μαθηματικά και στη φυσική να είναι συχνά ταυτόχρονη. Αυτή η χρήση των μαθηματικών και η επιτυχία που είχαμε χάρη σε αυτά είναι τόσο θεμελιώδης ώστε ποτέ να μην την αμφισβητούμε.

Η βασική αρχή είναι τόσο απλή ώστε γενικά την παραβλέπουμε πλήρως: Οι μαθηματικές οντότητες είναι συμβολικές αναπαραστάσεις του αποτελέσματος τη μέτρησης. Για παράδειγμα το F αναπαριστά μια φυσική δύναμη, κάτι το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε μ' ένα δυναμόμετρο. Τo m αναπαριστά τη μάζα, που μπορούμε να μετρήσουμε με τα σταθμά. Το a αναπαριστά την επιτάχυνση που παίρνουμε από μετρήσεις ταχύτητας ή θέσης. Ωστόσο, μία ερώτηση προκύπτει από τις βασικές παραδοχές: Παίζει ρόλο πώς μετράμε τη δύναμη, τη μάζα ή την επιτάχυνση; Οι νόμοι της φυσικής δε γράφονται ποτέ καθορίζοντας πώς θα μετρήσουμε μια φυσική οντότητα. Οπότε η φυσική μέτρηση που επιλέγουμε παίζει ρόλο. Επιπλέον πολλές από τις ιδιότητες που θεωρούμε δεδομένες ή που χρησιμοποιούμε ως αξιώματα των φυσικών νόμων είναι στην πραγματικότητα συνέπεια των επιλογών μας σχετικά με τις φυσικές διαδικασίες που αποκαλούμε 'μετρήσεις'.

Οι φυσικές μετρήσεις καθορίζονται χρησιμοποιώντας έξι παραδοχές:

1) Οι μετρήσεις είναι φυσικές διαδικασίες
2) Η είσοδος και η έξοδος είναι γνωστές εκ των προτέρων
3) Δίνουν επαναλήψιμα αποτελέσματα
4) Εξαρτώνται μόνο από την είσοδο
5) Επηρεάζουν μόνο την έξοδο
6) Οι μεταβολές στην έξοδο μπορούν να έχουν μία συμβολική ή αριθμητική ερμηνεία.

Ίσως είναι σκόπιμο να δικαιολογήσουμε καθεμία από τις παραπάνω υποθέσεις.

1. Μία μέτρηση γίνεται μέσα στο σύμπαν και υπακούει στους νόμους του. Θα πρέπει επομένως να είναι μια έγκυρη μέτρηση. Ένα βολτόμετρο για παράδειγμα δε λειτουργεί μαγικά αλλά διαμέσου των συνήθων νόμων του σύμπαντος.

2. Για να είναι μια μέτρηση χρήσιμη χρειάζεται να συσχετίσει κομμάτια του σύμπαντος που είναι γνωστά στον παρατηρητή. Ένα βολτόμετρο πρέπει να μετράει τα εισερχόμενα στοιχεία (τάσεις), όχι κάποια τάση που διαλέξαμε τυχαία και πρέπει να δείχνει το αποτέλεσμα μ' ένα γνωστό τρόπο προκαθορισμένο σε κάποια οθόνη.

3. Μια μέτρηση πρέπει να είναι επαναλαμβανόμενη δίνοντας συγκεκριμένα αποτελέσματα για αντίστοιχες εισόδους. Ένα βολτόμετρο που για την ίδια είσοδο δίνει διαφορετικές ενδείξεις θα πρέπει να θεωρηθεί αναξιόπιστο.

4. Μια μέτρηση πρέπει να συλλέγει δεδομένα για το άγνωστο τμήμα που μελετάμε. 'Όταν ρίχνουμε ένα ζάρι πρόκειται για μία έγκυρη διαδικασία που συνδυάζει την τελική τιμή με την αρχική θέση και την ταχύτητα του χεριού μας. Ωστόσο δεν αποτελεί χρήσιμη πληροφορία για την ακριβή κατάσταση του χεριού και γι' αυτό δε θεωρείται μέτρηση.

5. Εφόσον ζούμε μέσα στο σύμπαν το αποτέλεσμα της μέτρησης εκδηλώνεται σαν μία αλλαγή στο τμήμα του σύμπαντος που αποτελεί την 'έξοδο' των δεδομένων. Αν το βολτόμετρό μας δεν αντιδράσει σε σχέση με κάποια παρεχόμενη τάση ή μετατοπιστεί η ένδειξη λόγω κάποιας άλλης αιτίας τότε θεωρούμε πως το όργανο είναι χαλασμένο.

6. Για να δώσει μια μέτρηση ποσοτικά και όχι μόνο ποιοτικά αποτελέσματα το τμήμα του σύμπαντος που αποτελεί την έξοδο θα πρέπει να είναι βαθμονομημένο ώστε να καταγράψουμε τις αλλαγές με κάποιον συμβολικό ή αριθμητικό τρόπο. Μόνο χάρη σε αυτή τη βαθμονόμηση και στο αντίστοιχο καλιμπράρισμα μπορούμε να έχουμε σαφή αντιστοιχία ανάμεσα στις ενδείξεις του βολτόμετρου ανάλογα με τις τιμές της τάσης.

Οι παραπάνω δηλώσεις αποτελούν ένα πιθανό ορισμό της μέτρησης και όχι του πώς το σύμπαν πράγματι δουλεύει. Μπορούμε ωστόσο να κάνουμε και μία παραδοχή για το σύμπαν: Πειραματικά υπάρχουν φυσικές διαδικασίες με τις παραπάνω ιδιότητες. Συγκεκριμένα η επαναληψιμότητα βασίζεται στην ύπαρξη της συμμετρίας, όπως η αναλλοιότητα κατά την περιστροφή ή τη μεταφορά μέσα στο χώρο και στο χρόνο επιτρέποντας πολλαπλές ταυτόσημες φυσικές διεργασίες στο σύμπαν.

Μη πληρότητα.

Υπάρχουν δύο λόγοι γι' αυτόν το χαρακτηρισμό:

- Οι μετρήσεις είναι ατελείς με την έννοια ότι μετράμε κάτι που γνωρίζουμε για το σύμπαν και όχι κάτι σχετικά με αυτό που το σύμπαν πράγματι είναι.

- Οι μετρήσεις δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονες και ο φορμαλισμός είναι ομογενής ανεξάρτητα από την πληρότητα ή όχι μίας μέτρησης.

Χρειαζόμαστε επομένως επιπλέον δομές ώστε να κατανοήσουμε το σύμπαν και να αποκτήσουμε μεγαλύτερη προβλεπτική ικανότητα.

Σχετικιστικές θεωρίες.

Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τις παραπάνω θεωρήσεις ώστε να προσεγγίσουμε εκ νέου την ειδική και γενική θεωρία της σχετικότητας (αρχικά κι έπειτα θα κάνουμε το ίδιο και για την κβαντομηχανική). Θα ασχοληθούμε με τη φύση του χώρου και του χρόνου όπως αυτές οι δύο έννοιες προσεγγίζονται μέσω της έννοιας του συστήματος συντεταγμένων, ώστε να φανεί ο ρόλος της μέτρησης των φυσικών διαδικασιών.

(Δική μου παρένθεση)

Πριν τη σχετικότητα (ακόμη και στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας) ο χώρος θεωρείτο Ευκλείδειος. Με απλά λόγια επίπεδος. Αυτή η παραδοχή ωστόσο, πέρα από τη χρήση συνεχών εξισώσεων και των παραγώγων τους, είχε ως αποτέλεσμα η επιστήμη να καταλήξει σ' ένα ανεξήγητο πρόβλημα. Πρόκειται για το πείραμα των Michelson-Morley που έδειξε πως η ταχύτητα του φωτός είναι ίδια ανεξάρτητα από την ταχύτητα του συστήματος αναφοράς των παρατηρητών. Πώς όμως ήταν κάτι τέτοιο δυνατό, αφού σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου και σύμφωνα με την καθημερινή μας πείρα, συμβαίνει το εξής: Αν τρέχουμε προς ένα αντικείμενο με ταχύτητα π.χ. 100 χλμ την ώρα κι εκείνο έρχεται προς εμάς με την ίδια ταχύτητα, τότε θα το δούμε να κινείται κατά πάνω μας με 200 χλμ την ώρα. Γιατί άραγε στην περίπτωση του φωτός, που υπόψιν έχει και σωματιδιακή φύση δεν διαπιστώνουμε κάτι τέτοιο αλλά η ταχύτητά του είναι πάντοτε η ίδια και σταθερή και ίση με 300000 χλμ το δευτερόλεπτο; Τι το μυστήριο λοιπόν συνέβηκε; Θα πρέπει πρώτα να επισημάνουμε το πώς η επιλογή της πειραματικής διαδικασίας καθώς και των παραδοχών μας σχετικά με το φαινόμενο επηρεάζει το τι παρατηρούμε. Γιατί αφενός σε περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς πράγματι η ταχύτητα του φωτός δεν παραμένει σταθερή και αφετέρου αν θεωρήσουμε πως το φως μας συμπαρασύρει στο δικό του σύστημα αναφοράς η 'ακινησία' μας είναι αυτονόητη. Αλλά για να μην μπλέξουμε τα πράγματα χειρότερα θα δούμε πως ο Einstein κυριολεκτικά αυθαίρετα όσο και με ιδιοφυή απλότητα έλυσε το παράδοξο. Είπε το αυτονόητο: Η ταχύτητα του φωτός c είναι μία παγκόσμια σταθερή και ίδια για όλα τα (αδρανειακά) συστήματα αναφοράς. Τώρα όμως δημιουργήθηκε ένα άλλο ακόμη μεγαλύτερο πρόβλημα. Προσέχτε το εξής απλό παράδειγμα: Αν το διάστημα που διανύει το φως σε κάποιο χρόνο t είναι αναλλοίωτο και εφόσον η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή, τότε για διαφορετικές αποστάσεις ο χρόνος θα πρέπει να ρέει διαφορετικά. Έτσι ξάφνου στη σύγχρονη φυσική η έννοια του κοινού και παγκόσμιου χρόνου καθώς και η έννοια του απόλυτου συστήματος αναφοράς (εκεί που θα έδρευε αυτός ο αντικειμενικός χρόνος) έγιναν παρελθόν. Παρατηρητές κινούμενοι με διαφορετικές ταχύτητες μετράνε στα ρολόγια τους και διαφορετικό πέρασμα του χρόνου! Τι συνέβη; Μήπως η μία παρερμηνεία έφερε την άλλη για να καταλήξουμε στο παράλογο συμπέρασμα πως ο χρόνος κυλάει διαφορετικά ανάλογα με την ταχύτητα που τρέχουμε; Πάντως το πιο αισιόδοξο απ' όλα είναι ότι η ερμηνεία- πρόβλεψη του Einstein έχει ήδη κι επανειλημμένα επαληθευτεί πειραματικά. Ποια είναι λοιπόν η πλήρης μαθηματική ερμηνεία που λύνει το παράδοξο του πειράματος των Michelson-Morley; Πρόκειται πλέον για την πλήρη εγκατάλειψη του Ευκλείδειου χώρου και χρόνου και των μετασχηματισμών του Γαλιλαίου και την υιοθέτηση ενός άλλου χώρου-χρόνου, όπου ο χρόνος αποκτάει πραγματική υπόσταση και άρρηκτη σχέση με τον χρόνο ως μία κανονική τέταρτη διάσταση (χωρόχρονος του Minkowski). Σε αυτόν το χωρόχρονο εκτός από τις τρεις γνωστές συντεταγμένες του χώρου x,y,z, αποκτά μιαν ισότιμη θέση και το διάστημα ct, έτσι ώστε αναλλοίωτος πλέον δε μένει ούτε ο χώρος ούτε ο χρόνος από μόνοι τους, αλλά το χωροχρονικό διάστημα z= ct-x-y-z (όπου οι προηγούμενοι όροι είναι όλοι στο τετράγωνο). Βλέπουμε λοιπόν πως δύο-τρεις βασικές παραδοχές, η ύπαρξη χώρου και χρόνου, η σωματιδιακή φύση του φωτός, η ύπαρξη συστήματος αναφοράς και βέβαια η μαθηματική-γεωμετρική αναπαράσταση του κόσμου σε συνδυασμό με την επιλογή συγκεκριμένων πειραματικών διαδικασιών και όχι άλλων, μας οδήγησαν στο συμπέρασμα πως ο χρόνος είναι σχετικός. Κι αν αυτό μας είναι πλέον λογικό και αυτονόητο σκεφτείτε πως καθ' όλη την ανθρώπινη ιστορία και μέχρι τον 20αι ίσχυε το αντίθετο. Κι αν κάποιος θεωρήσει ότι το πρόβλημα πλέον έχει λυθεί οριστικά, τότε μπορούμε να του κάνουμε μιαν απλή ερώτηση: Υπάρχει χρόνος;

Γενική σχετικότητα.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας παρότι έδωσε τις μέχρι τότε καλύτερες εξηγήσεις σχετικές με τις φυσικές διαδικασίες και τα παρατηρούμενα φαινόμενα, δημιούργησε κι αρκετά παράδοξα, δείχνοντας πως σαν μία θεωρία βασισμένη κι αυτή σε πειραματικές συνθήκες και φυσικές παραδοχές δε θα μπορούσε να είναι πλήρης.

(Δική μου παρένθεση)

Ένα από τα γνωστά παράδοξα είναι και αυτό των διδύμων. Εφόσον όποιος κινείται νιώθει το χρόνο να κυλάει πιο αργά κι αφού η κίνηση είναι σχετική, ποιος από τους δύο διδύμους δε θα γεράσει; Αυτός που φεύγει από τη Γη με κάποια μεγάλη ταχύτητα ή αυτός που μένει πίσω; Γιατί ο καθένας από τους δύο θεωρεί τον εαυτό του ακίνητο και βλέπει τον άλλο να 'τρέχει'. Το πρόβλημα με λίγα λόγια το έλυσε ο ίδιος ο Einstein θεσπίζοντας τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Ο δίδυμος που φεύγει από τη Γη είναι και αυτός που θα γεράσει με αργότερο ρυθμό γιατί σε κάποια φάση του ταξιδιού του θα επιταχυνθεί. Η επιτάχυνση όμως σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα είναι ισοδύναμη με πεδίο βαρύτητας. Ο επιταχυνόμενος δίδυμος θα αιστανθεί να αυξάνεται το βάρος του στο βαθμό της επιτάχυνσής του. Η βαρύτητα όμως προκαλεί στρέβλωση του χωρόχρονου. Αυτό σημαίνει πως ο επιταχυνόμενος δίδυμος τελικά θα γεράσει πιο αργά (ο Einstein ήταν πραγματικά ξύπνιος άνθρωπος!).

Με τη γενική θεωρία της σχετικότητας η έννοια του επίπεδου χώρου και η έννοια του απόλυτου χρόνου της Ευκλείδειας γεωμετρίας εγκαταλείπονται οριστικά, με εξαίρεση μικρές περιοχές (τοπικότητα) και χωρίς ισχυρά βαρυτικά πεδία όπου ο χωρόχρονος μπορεί να θεωρηθεί με καλή προσέγγιση επίπεδος. Κατά τ' άλλα τα σώματα ακολουθούν μέσα στο σύμπαν καμπύλες πορείες (γεωδαισικές) παρότι τα ίδια τα σώματα και οι παρατηρητές που κινούνται σε αυτές τις καμπύλες θεωρούν ότι κινούνται σε ευθείες γραμμές σαν να είναι αδρανειακοί (έχοντας σταθερή ταχύτητα, άρα θεωρώντας ότι είναι ακίνητοι). Ο Einstein επιπλέον κατασκεύασε τις εξισώσεις βαρυτικού πεδίου. Για την περιγραφή του χωρόχρονου χρησιμοποιείται μία μετρική (metric) και η εξισώσεις της γενικής σχετικότητας είναι εξισώσεις τανυστών (υπερδιανυσμάτων). Η παρακάτω εξίσωση αστράφτει με την αρμονία και την απλότητά της:


και σημαίνει πως η ποσότητα ενέργειας και ύλης (παράγοντας T) που βρίσκονται σε μια περιοχή του χωρόχρονου τον καμπυλώνουν, έτσι ώστε η βαρύτητα (παράγοντας G) δεν είναι τίποτε άλλο παρά το αποτέλεσμα- αίσθημα αυτής της καμπύλωσης (παράγοντας g).

Οι εξισώσεις (η παραπάνω εξίσωση στην πραγματικότητα είναι πολλές λόγω των δεικτών μ και ν) της γενικής σχετικότητας έχουν τα δικά τους ψεγάδια. Πρώτα απ' όλα είναι συνεχείς, πράγμα που προϋποθέτει ένα συνεχή και ομογενή χωρόχρονο. Αυτός είναι και ο λόγος που δεν μπορεί η γενική σχετικότητα να ενοποιηθεί με την κβαντομηχανική που θεωρεί κάποιο ελάχιστο μήκος (μήκος Planck) και υψηλό βαθμό ανομοιογένειας σε μικρές κλίμακες (κβαντικές διακυμάνσεις κενού). Επιπλέον προέρχονται από μία καθαρά γεωμετρική θεώρηση του κόσμου, τη στιγμή που η γεωμετρία πιθανό να μην ξεπερνάει τα ανθρώπινα μάτια. Τέλος εισάγει τη λεγόμενη κοσμολογική σταθερή Λ, την οποία ο Einstein τοποθέτησε για να προβλέπεται ένα μη στατικό σύμπαν και για την οποία ακόμη δεν ξέρουμε ούτε την τιμή (δεν ξέρουμε π.χ. αν κάποτε το σύμπαν θα αρχίσει να συστέλλεται ή όχι) ούτε τη χρησιμότητα.

Σχετικότητα κλίμακας (Scale relativity)

Η γενική σχετικότητα είναι γενικά κατασκευασμένη πάνω σ' ένα αριθμό από συμμετρίες οι οποίες θεωρούνται αξιώματα. Ένα από αυτά τα αξιώματα είναι η συνεχής παραγωγισιμότητα των συντεταγμένων του χώρου και του χρόνου. Σε αυτό το μοντέλο (της γενικής σχετικότητας) θα μπορούσαμε να κάνουμε συνεχή μεγέθυνση (zoom in) και ο χωροχρόνος να παραμένει ο ίδιος. Αυτό όμως δεν είναι μία ιδιότητα που παρατηρούμε στις μετρήσεις. Ξέρουμε πως μπορούμε να κόψουμε ένα χάρακα στη μέση ξανά και ξανά. Αλλά δεν μπορούμε να συνεχίσουμε πέρα από μία μικροσκοπική κλίμακα, γιατί οι νόμοι της φυσικής αλλάζουν (σε μικρές κλίμακες η εξίσωση του Einstein που δίνει τη βαρύτητα παύει να ισχύει, καθώς εκεί επικρατούν οι λεγόμενες κβαντικές διακυμάνσεις). Χρειαζόμαστε έναν ελάχιστο αριθμό ατόμων για να είναι ο χάρακας ένα σαφώς καθορισμένο στερεό.

Εστίαση (Zoom )

Καθώς αλλάζουμε κλίμακα, κάνουμε δηλαδή zoom, θα χρειαστεί να αλλάξουμε τις επιλογές σχετικά με τις μετρήσεις του χώρου και του χρόνου για πρακτικούς λόγους. Αντικαθιστούμε γι' αυτόν το λόγο κάποιες συντεταγμένες με κάποιες άλλες πιο κατάλληλες. Για να δίνουν αμφότερες οι συντεταγμένες την ίδια κατάσταση (π.χ. θέση ενός σημείου), θα πρέπει να υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός συστημάτων που οι μετρήσεις να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Αυτό ωστόσο δε σημαίνει ότι ταυτίζονται οι φυσικές διαδικασίες καθαυτές. Συγκεκριμένα κάποιες εξισώσεις μετασχηματισμού δεν είναι απαραίτητο να ισχύουν για όλες τις κλίμακες και για όλες τις τιμές. Κάποιος μπορεί να έχει στο μυαλό του το παράδειγμα ενός αυτοκινήτου που κινείται στην επιφάνεια ενός πλανήτη, όπου οι συντεταγμένες της εφαπτόμενης στην επιφάνεια του πλανήτη κίνησης και οι οποίες μετρώνται με μιαν ακτίνα laser, ταιριάζουν με τις συντεταγμένες του πλανήτη τοπικά. Όταν κάνουμε zoom στο παρατηρούμενο σύστημα και κάνουμε αλλαγή (μετασχηματισμό) των συντεταγμένων, μπορούμε να ορίσουμε έναν παράγοντα ανάλυσης (zooming factor) o οποίος να συνδέει τις μετρήσεις με την επιλογή των συντεταγμένων. Αυτός ο παράγοντας θα αυξάνεται καθώς η ανάλυση θα μεγαλώνει.

Κανονικοποίηση (Renormalisation)

Αν θεωρήσουμε πως οι νόμοι της φύσης ισχύουν καθολικά, τότε η παραδοχή μας αυτή οδηγεί στο πόρισμα ότι οι ίδιοι νόμοι θα ισχύουν ύστερα και από ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων (στο πέρασμα από το μακρόκοσμο στο μικρόκοσμο για παράδειγμα). Υπάρχουν όμως περιπτώσεις μετρήσεων που πραγματοποιούνται σε 'άπειρη' απόσταση. Οι μετρήσεις τότε μπορεί να συμφωνούν τοπικά, αλλά να αποκλίνουν σε μεγάλες κλίμακες. Μία κοινή τεχνική που χρησιμοποιείται σε αυτές τις περιπτώσεις είναι η κανονικοποίηση (renormalisation), η οποία υποθέτει ότι οι νόμοι της φυσικής παραμένουν ταυτόσημοι κατά την αποκέντρωση (zooming out), αφού αφαιρέσουμε τους βαθμούς ελευθερίας που δε χρειάζονται στις κλίμακες που μετράμε. Το πρόβλημα είναι πως ολοκληρώματα με όρια το άπειρο αποκλίνουν, ώστε τελικά να αντικαθίστανται κατευθείαν με τιμές που παίρνουμε από πραγματικές μετρήσεις. Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι ενώ μπορούμε να θεωρούμε τοπικούς νόμους ως ισχύοντες σε οποιαδήποτε κλίμακα, ανεξάρτητα από τη φυσική διαδικασία μέτρησης που χρησιμοποιήθηκε, το ίδιο δεν ισχύει για νόμους μακρινών αποστάσεων, οι οποίοι μπορούν να εξαρτώνται από τη μικρή ή τη μεγάλη κλίμακα πάνω στην οποία οι μετρήσεις πραγματοποιήθηκαν.

Αναλλοιότητα της κλίμακας (Scale invariance )

Η αλλαγή στο σύστημα συντεταγμένων που αντιστοιχεί σε κάποιο zoom, εισάγει ένα παράγοντα ανάλυσης με τον οποίο γίνεται η μέτρηση. Αυτή η ανάλυση μπορεί να μην είναι ικανή να περιγράψει πλήρως τη φυσική διαδικασία που μετράμε, αλλά μπορεί να θεωρηθεί αναγκαία. Ο πρώτος που μελέτησε την επίπτωση πάνω στη δομή του χώρου και του χρόνου από μία τέτοια ανάλυση είναι ο Laurent Nottale. Υπέθεσε την ύπαρξη μίας παγκόσμιας, απόλυτης και απαραβίαστης κλίμακας της φύσης, η οποία μένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή μεταξύ κλιμάκων. Αυτή η σταθερή παίζει για την ανάλυση (zoom) τον αντίστοιχο ρόλο με τη σταθερή c για την ταχύτητα και παρόμοια απαιτεί ένα μη Γαλιλαιϊκό μετασχηματισμό. Αυτό οδηγεί στη θεώρηση ότι ο χωρόχρονος έχει δομή fractal. Η σταθερή που δείχνει να διαθέτει τις κατάλληλες προϋποθέσεις είναι το μήκος Planck.


Κβαντομηχανική

(Δική μου παρένθεση)

Όταν μιλάμε για την κβαντομηχανική, πραγματικά μιλάμε για την επιστήμη των μετρήσεων. Στη κβαντομηχανική τίποτε δεν ισχύει αν δεν επιβεβαιωθεί από ένα πείραμα και τίποτε δεν υπάρχει πέρα των αποτελεσμάτων του πειράματος και της ερμηνείας που θα τους έχουμε δώσει. Ενώ δηλαδή η σχετικότητα πρώτα στηρίχτηκε σε φυσικές παραδοχές και φιλοσοφικές αρχές και ύστερα τις μαθηματικοποίησε, αντίθετα η κβαντομηχανική μαθηματικοποίησε κατευθείαν τα αποτελέσματα των πειραματικών διαδικασιών, χωρίς καν να δώσει κάποιο φυσικό νόημα σε αυτά τα αποτελέσματα.

Ερμηνεία (της κβαντομηχανικής)

Οι συνέπειες του παραλληλισμού μεταξύ της κβαντομηχανικής και της TIM (Theory of Incomplete Measurements):

Αποσύζευξη (Disentanglement )

Στην κβαντομηχανική, ο συνδυασμός δύο συστημάτων γίνεται πολλαπλασιάζοντας τους τανυστές βάσης των δύο επιμέρους συστημάτων. Στο όριο, το σύμπαν θα μπορούσε να αναπαρασταθεί από τη κυματοσυνάρτηση ενός άπειρου τανυστικού γινομένου όλων των δυνατών συστημάτων και το σύμπαν θα μπορούσε να περιέχει κάθε πιθανή συζευγμένη κατάσταση. Μία απλούστευση που γίνεται κατά τη μελέτη ενός συστήματος είναι να αγνοήσουμε όλα τα υπόλοιπα συστήματα του σύμπαντος, σαν το σύμπαν να μη βρίσκεται εκεί. Επιλέγουμε δηλαδή ως είσοδο των δεδομένων ένα μόνο ψήγμα του σύμπαντος.

Πραγματικές ιδιοτιμές (Real eigenvalues )

Στην κβαντομηχανική τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης αναπαρίστανται μέσω της ιδιοτιμής (eigenvalue) μιας μεταβλητής (observable). Τα αποτελέσματα της κβαντικής μέτρησης είναι πραγματικοί αριθμοί, ακριβώς επειδή οι μεταβλητές έχουν μόνο πραγματικές ιδιοτιμές. Στην ΤΙΜ, τα αποτελέσματα των μετρήσεων για κάθε φυσική διαδικασία είναι πάντα διακριτά γιατί δεν ξέρουμε πώς να κάνουμε συνεχείς μετρήσεις. Ωστόσο, αν η συμβολική αναπαράσταση για κάθε μέτρηση αντιστοιχεί σε πραγματικούς αριθμούς, μπορεί κάποιος να κατασκευάσει ένα γραμμικό τελεστή που να δίνει πραγματικές ιδιοτιμές.

Η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης (Wave-function Collapse )

Καθώς η κβαντομηχανική είναι γραμμική και αντιστρέψιμη, είναι δύσκολο να εξηγήσουμε γιατί η κυματοσυνάρτηση θα έπρεπε να καταρρεύσει. Αυτό το πόρισμα θεωρείται ένα πρόβλημα και πολύ έχουν προσπαθήσει να το ερμηνεύσουν, φτάνοντας κάποιοι μάλιστα σε δυσερμήνευτες έννοιες όπως 'συνειδητός παρατηρητής' (conscious observer). Σύμφωνα με τον παρών προτεινόμενο φορμαλισμό, η κυματοσυνάρτηση καταρρέει επειδή η μέθοδος της μέτρησης είναι τέτοια ώστε να αναπαράγει επαναλαμβανόμενα αριθμητικά αποτελέσματα. Μπορούμε να θεωρήσουμε ατελείς μετρήσεις όπου η πιθανότητα της επικείμενης μέτρησης καταρρέει μόνο εν μέρει. Μπορούμε επίσης να μιλάμε και για τον 'συνειδητό παρατηρητή' (με την έννοια ότι η συνείδηση κάνει την κυματοσυνάρτηση να καταρρεύσει), αλλά τότε αναφερόμαστε σε μία πριν από το πείραμα κατάσταση. Κάποιος συναρμολογεί μια πειραματική διάταξη, κάνοντας μία επιλογή της φυσικής διαδικασίας που θα ακολουθηθεί έναντι όλων των δυνατών υπολοίπων. Από την άλλη μεριά, δε χρειάζεται να υποθέσουμε ότι κάτι συμβαίνει επειδή ο παρατηρητής παρακολουθεί το πείραμα. Ενώ η παρούσα θεωρία (ορθόδοξη κβαντομηχανική) δε χρειάζεται μια συγκεκριμένη παραδοχή για να εξηγήσει την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης, τελικά δεν απαντάει στο ερώτημα: Γιατί κάνουμε μετρήσεις; Η κβαντική αποσύνδεση (quantum decoherence) για παράδειγμα αποτελεί μια χρήσιμη μαθηματική ανάλυση για το γεγονός πως οι μετρήσεις θα μπορούσαν να είναι συνέπεια βαθύτερων διαδικασιών.

Υπέρθεση (Superposition)

Στην κβαντομηχανική κάθε γραμμικός συνδυασμός έγκυρων καταστάσεων του συστήματος, είναι επίσης μία κατάσταση του συστήματος. Ο παρών φορμαλισμός (ΤΙΜ) παρατηρεί ότι γενικά μια αλληλουχία στο χρόνο ή μια επικάλυψη στο χώρο φυσικά αποδεκτών διαδικασιών είναι μία φυσική διαδικασία. Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για να δικαιολογήσει την χρήση της κυματοσυνάρτησης ως αναπαράσταση των πιθανών καταστάσεων ενός σωματιδίου, εξηγεί επίσης γιατί στο πείραμα δύο οπών του Young η αφαίρεση ενός τμήματος του πειράματος (τη δεύτερη οπή) θα προκαλέσει την 'πρόσθεση' κυμάτων-συναρτήσεων και όχι την αφαίρεση. Ο λόγος είναι ότι αφαιρώντας ένα μέρος του εμποδίου, προσθέτουμε μία νέα πιθανότητα απ' όπου το σωματίδιο μπορεί να περάσει, οπότε χρειαζόμαστε να υπερθέσουμε τις πιθανότητες να βρούμε ή να μη βρούμε το σωματίδιο σε κάποια κατάσταση.


Ατελείς μετρήσεις (Incomplete measurements)

Στην κβαντομηχανική, οι πιθανότητες ισχύουν μόνο πριν από τη μέτρηση και αναφέρονται στο πώς μία ιδιοκατάσταση του συστήματος θα ταυτιστεί με μία ιδιοτιμή. Μετά τη μέτρηση δεν υπάρχουν πιθανότητες. Στην πράξη οι μετρήσεις δεν ποτέ ακριβείς ούτε ακαριαίες. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι πιθανοκρατικό ή να περιέχει μια δόση αμφιβολίας. Ο παρών φορμαλισμός (ΤΙΜ) επιτρέπει ώστε η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση να είναι ένα διάνυσμα πιθανότητας. Καθώς η μετρήσεις συνεχίζονται η κατανομή των πιθανοτήτων γίνεται ολοένα και λιγότερη. Τουλάχιστον για κάποιες μετρήσεις, η πλήρης κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης και η απόλυτα ακριβής μέτρηση είναι μόνο εξιδανικευμένα όρια.

Όρια των μετρήσεων (Measurement limits)

Πολλά βιβλία κβαντικής φυσικής ισχυρίζονται πως η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο που παρατηρούμε στην άλλη πλευρά του φεγγαριού είναι απειροελάχιστη αλλά όχι μηδενική. Αυτή είναι μια λογική συνέπεια του ότι η κυματοσυνάρτηση εξασθενεί γρήγορα με την απόσταση αλλά ποτέ δε μηδενίζεται. Στο παρών φορμαλισμό (ΤΙΜ) μόνο αποτελέσματα που παράγονται από το πείραμα είναι αποδεκτά. Αν η συσκευή μέτρησης είναι μια φωτογραφική πλάκα 10x10 εκατοστών, η πιθανότητα να βρεθεί ένα φωτόνιο στο φεγγάρι είναι ακριβώς μηδέν. Το σημαντικό στοιχείο είναι όχι ότι αποκλείεται το φωτόνιο να μη χτυπήσει τη φωτογραφική πλάκα, αλλά ότι δεν υπάρχει καμία δυνατότητα πρόβλεψης για κάποια περιοχή που βρίσκεται έξω από την εμβέλεια του οργάνου μας.

Γραμμικότητα (Linearity)

Τα μαθηματικά της κβαντομηχανικής χρησιμοποιούν γραμμική άλγεβρα πάνω στις καταστάσεις του συστήματος οι οποίες εκφράζονται με κυματοσυναρτήσεις ή κετς (kets από το συμβολισμό brac- kets του Dirac). Γενικά οι τελεστές (τελεστής είναι ένα μαθηματικό εργαλείο το οποίο παίρνει κάτι π.χ. την κυματοσυνάρτηση και 'τελεί' κάτι άλλο επάνω της π.χ. δίνει μία αντίστοιχη ιδιοτιμή, δηλαδή... προκαλεί την κατάρρευσή της!!!) πάνω στις καταστάσεις πιθανοτήτων δεν είναι γραμμικοί, αλλά για μία μέτρηση που δίνει πραγματικά αποτελέσματα, ο τελεστής θα είναι γραμμικός, ώστε να έχει τις επιθυμητές ιδιότητες σχετικά με τις μεταβλητές της κβαντομηχανικής.

Μεταθετικότητα των μεταβλητών (Commutation of Observables )

Για μαθηματικούς λόγους, οι μεταβλητές της κβαντομηχανικής που δεν μετατίθενται αντιστοιχούν σε μετρήσεις που δεν μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα. Η ανισότητα του Heisenberg (αρχή της απροσδιοριστίας) είναι η αρχετυπική εφαρμογή αυτής της διαπίστωσης. Στον παρών φορμαλισμό (ΤΙΜ), και στο βαθμό που οι φυσικές διαδικασίες είναι αντιστρέψιμες, ανεξάρτητες μετρήσεις αντιστοιχούν σε φυσικές διεργασίες που μετατίθενται, και αντίστροφα μετρήσεις που δεν μετατίθενται αλληλοεπηρεάζονται και δε δίνουν ανεξάρτητα αποτελέσματα. Ο πλούτος δηλαδή της γραμμικής άλγεβρας της κβαντομηχανικής διατηρείται.

Κβαντικός χώρος-χρόνος (Quantum space-time)

Στην κλασσική προσέγγιση της κβαντομηχανικής οι τελεστές του χώρου και του χρόνου μετατίθενται, πολλαπλασιάζοντας ένα ket (συμβολική αναπαράσταση της κυματοσυνάρτησης) με μία συντεταγμένη, και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών είναι μεταθετικός (π.χ. αβ=βα, αν α,β πραγματικοί). Αυτό το γεγονός προσδιορίζει τον Ευκλείδειο χώρο- χρόνο, και αποτελεί σημείο σύγκρουσης τόσο με τις φυσικές παρατηρήσεις όσο και με τη γενική σχετικότητα. Η έρευνα πάνω στη μη μεταθετική γεωμετρία ήταν πάντοτε στα χνάρια μίας κβαντικής θεωρίας της βαρύτητας.


Κρυφές μεταβλητές (Hidden Variables)

Το γνωστό θεώρημα του Bell έδωσε έναν πειραματικά προσδιορίσιμο τρόπο για το αν η κβαντομηχανική μπορεί να ερμηνευτεί μέσω κρυφών μεταβλητών. Πειράματα που διεξήχθηκαν από τον Alain Aspect και άλλους δείχνουν να μην ευνοούν την ύπαρξη κάποιων κρυφών μεταβλητών. Η ερμηνεία της κβαντομηχανικής που προτείνεται εδώ, δεν βασίζεται σε κρυφές μεταβλητές. Η λογική αυτής της ερμηνείας στηρίζεται στην ύπαρξη πιθανοτήτων, και αυτό είναι το νόημα που δόθηκε στο 'ατελείς' (incomplete). Αλλά δεν υπονοεί ότι μπορούμε να μάθουμε περισσότερα απ' ό,τι το πείραμα μας επιτρέπει. Η ύπαρξη της τυχαιότητας στην καλύτερη περιγραφή που μπορούμε να δώσουμε για το σύμπαν παραμένει πιθανή. Επομένως, ακόμη κι αν πούμε ότι η μέτρηση δεν είναι πλήρης, θα παραμείνει ίσως η πιο καλή περιγραφή του συστήματος που μπορούμε να δώσουμε.

Συμπέρασμα

Παρουσιάσαμε ένα φορμαλισμό για να συζητήσουμε φυσικά πειράματα χωρίς να προϋποθέτουμε κάποια μαθηματική δομή. Αυτό μας επέτρεψε να προτείνουμε έναν ορισμό των μετρήσεων, και βασισμένοι στην επίσημη ερμηνεία, να ανακατασκευάσουμε πολλές σημαντικές πτυχές μαζί της γενικής σχετικότητας και της κβαντομηχανικής, παράλληλα προτείνοντας έναν αριθμό περιορισμών σε αυτές τις θεωρίες που δεν ήταν φανερές από μία καθαρά μαθηματική σκοπιά. Θα προσπαθήσουμε τώρα να κατανοήσουμε τον αντίκτυπο αυτών των περιορισμών σε πειράματα που έχουμε κάνει ή θα κάνουμε.

Χαρακτηριστικά της θεωρίας

Η TIM έχει τ' ακόλουθα χαρακτηριστικά:

• Όλες οι μετρήσεις αντιμετωπίζονται ταυτόσημα, περιλαμβάνοντας και μετρήσεις χώρου και χρόνου

• Η θεωρία αναφέρεται σε ατελείς μετρήσεις (incomplete measurements), δηλαδή μετρήσεις από τις οποίες μόνο πιθανοκρατικά αποτελέσματα μπορούν να συναχθούν. Αυτό είναι αλήθεια είτε η αβεβαιότητα οφείλεται σε μερική συλλογή των δεδομένων, που νομίσαμε ότι ήταν πλήρη είτε η αβεβαιότητα είναι θεμελιώδης.

• Στο βαθμό που τα αποτελέσματα των μετρήσεων μπορούν, απ' όσο ξέρουμε, να προβλεφτούν μόνο στατιστικά, η θεωρία είναι σχεδόν ταυτόσημη με την κβαντομηχανική, οπότε και εμπεριέχει τις συνέπειές της εξ ορισμού. Πιο συγκεκριμένα, η θεωρία προβλέπει τη μαθηματική μορφή της κυματοσυνάρτησης κάτω από ένα εύλογο σύνολο συνθηκών. Η κβαντομηχανική μπορεί να ειδωθεί ως μία προσέγγιση όπου η μη γραμμικότητα, η απόκλιση σε μεγάλη κλίμακα και η μη μεταθετικότητα των τελεστών του χώρου και του χρόνου αγνoούνται.

• Σε μεγάλη κλίμακα, τα αποτελέσματα της μη μεταθετικότητας του χώρου και του χρόνου γίνονται κυρίαρχα, αλλά οι μετρήσεις δίνουν ημι- ντετερμινιστικά αποτελέσματα, ώστε οι τιμές των μετρήσεων να προσεγγίζονται από συνεχώς διαφορίσιμες συναρτήσεις. Σ' αυτήν την περίπτωση ο παρών φορμαλισμός (ΤΙΜ) γίνεται ταυτόσημος με τη γενική σχετικότητα, οπότε κι ενσωματώνει τις προβλέψεις της εξ ορισμού. Η γενική σχετικότητα μπορεί να θεωρηθεί επίσης ως μία προσέγγιση, όπου οι μετρήσεις αναγνωρίζονται στο συνεχές τους όριο.

• Η μετάβαση μεταξύ διαφορετικών μετρήσεων του χώρου και του χρόνου εισάγει έναν ειδικό παράγοντα ανάλυσης, που επικεντρώνεται στον παράγοντα κλίμακας τον οποίον επίσημα εισήγαγε ο Nottale στη θεωρία της σχετικότητας κλίμακας (scale relativity). Είναι επομένως αναμενόμενο ότι η παρούσα θέση επίσης ενσωματώνει τη σχετικότητα κλίμακας εξ ορισμού και παρέχει μια φυσική αιτιολόγηση.

Μελλοντικές εργασίες

Προφανώς δανειζόμενοι βασικές εξισώσεις κι ενσωματώνοντάς τες στην παρούσα θεωρία δεν είναι τόσο ικανοποιητικό. Το να βρεθεί μια θεμελιώδης εξίσωση, ιδανικά προερχόμενη από τις θεμελιώδεις αρχές της ΤΙΜ, θα πρέπει να γίνει τώρα το πιο ενεργό αντικείμενο έρευνας. Γι' αυτόν το σκοπό μπορούμε να κάνουμε μερικές ενδεικτικές νύξεις.

Πρώτον, όλες οι φυσικές θεωρίες έχουν τουλάχιστον έναν τοπικό κι ένα μακρινό θεμελιώδη νόμο.

• Ο τοπικής εμβέλειας νόμος περιγράφει πώς το σύστημα που μελετάμε συμπεριφέρεται.
• Ο νόμος της μακρινής απόστασης περιγράφει πώς το υπόλοιπο σύμπαν 'συμπεριλαμβάνεται' .

Προσπαθώντας να επιλύσουμε αυτήν την αντίθεση ερχόμαστε στη δεύτερη παρατήρηση, χρησιμοποιώντας τη βαρυτική αλληλεπίδραση. Η μάζα και η ενέργεια παίζουν δύο συμπληρωματικούς ρόλους στη γενική σχετικότητα. Τοπικά, η μάζα αντιστέκεται στην κίνηση. Συμπαντικά, η μάζα προκαλεί την αλλαγή. Η σχέση E = hν συνδέει αυτές τις δύο όψεις κι επομένως θα πρέπει να υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στην δυαδικότητα κύμα-σωματίδιο και στη δυαδικότητα τοπικό- μακρινό.

Η μακρινής κλίμακας προοπτική που 'περιλαμβάνει' το υπόλοιπο σύμπαν περιέχει από κατασκευή πολλούς περισσότερους βαθμούς ελευθερίας απ' ότι η τοπικής κλίμακας. Είναι επομένως εύλογο να υποθέσουμε ότι μία στατιστική ανάλυση είναι απαραίτητη ώστε να προκύψουν οι τοπικές και μακρινές σχέσεις από την ίδια αρχή. Μία άλλη παρατήρηση μας δίνει αισιοδοξία προς αυτή τη κατεύθυνση. Ο θεμελιώδης νόμος μαζί για την κβαντομηχανική και τη γενική σχετικότητα εστιάζει γύρω από την ενέργεια. Γνωρίζουμε από τον Boltzmann ότι υπάρχει μια σαφής σχέση ανάμεσα στους βαθμούς ελευθερίας και την εντροπία. Γνωρίζουμε επίσης ότι για ένα κλειστό σύστημα υπάρχει μια ευθεία σχέση ανάμεσα στην εντροπία και την ενέργεια (dU = T dS, όπου U η ενέργεια, S η εντροπία και T η θερμοκρασία). Είναι επομένως εύλογο να υποθέσουμε ότι η μελλοντική 'θεμελιώδης εξίσωση' θα προέλθει από τη μεταχείριση του χρόνου και της ενέργειας με όρους στατιστικής επιλογής.


ΥΣ1. Θα μπορούσαμε άραγε να αναπαραστήσουμε τα φυσικά φαινόμενα με άλλον τρόπο συμβολικό μη μαθηματικό; Υπάρχουν τα μαθηματικά (οι αριθμοί) ως αντικειμενικές φυσικές οντότητες μέσα στο σύμπαν ή είναι μία ανθρώπινη εφεύρεση για την κατανόηση ενός σύμπαντος που πρακτικά δεν έχει ούτε αρμονία ούτε γεωμετρία; Ήταν οι εξισώσεις απαραίτητες για να πάμε στο φεγγάρι ή αποτελούν μόνο ένα τρόπο να περιγράψουμε την ιστορία του ταξιδιού μας; Ο περισσότερος κόσμος πιστεύει πως τα μαθηματικά έχουν μίαν 'αντικειμενική' υπόσταση μέσα στο σύμπαν, το οποίο θα βασίζεται στη γεωμετρία για να εκφράσει την αρμονία και τη συμμετρία του. Στην πραγματικότητα όμως οι μαθηματικές σχέσεις προέκυψαν μέσα από την εξέλιξη του σύμπαντος, το οποίο ας μην ξεχνάμε κάποτε θα ήταν μία χωρίς μαθηματικά και γεωμετρία κουκίδα-μοναδικότητα. Θα πρέπει επίσης να θυμηθούμε ότι αρχαίοι λαοί χρησιμοποίησαν μη μαθηματικούς τρόπους κατανόησης και αντιμετώπισης του κόσμου, μέσω των ιερογλυφικών ή του διαλογισμού. Έχουν όμως όλες οι μέθοδοι προσέγγισης της πραγματικότητας μια βαθύτερη μαθηματική δομή; Το ερώτημα μπορεί και να αναστραφεί: Μήπως τα μαθηματικά, έχουν μια βαθύτερη και άγνωστη προς το παρόν ουσία; Δεν θα επιχειρηματολογήσω ούτε υπέρ ούτε κατά της μίας ή της άλλης άποψης. Αυτό που εδώ έχει σημασία είναι το πώς διαμορφώνονται τα όποια συμπεράσματά μας μέσα από τη φύση της διαδικασίας που χρησιμοποιούμε για να τα συνάγουμε. Πέρα δηλαδή από τις όποιες αρχικές μας συνθήκες και παραδοχές και πέρα από κάποιους συνειδητούς ή ενστικτώδεις μας 'πόθους' σχετικά με την έκβαση της διαδικασίας, η ίδια της η μορφή, η δομή και η εξέλιξη φαίνεται να μας επιβάλλει μια πραγματικότητα η οποία κάτω από διαφορετικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι και τελείως διαφορετική.


Το παραπάνω κείμενο (εκτός όπου αναφέρω) αποτελεί μετάφραση από το κείμενο 'A Theory of Incomplete Measurements', του Christophe de Dinechin.

1 comment:

  1. Τσά! :)

    -Δε σας παρακολούθησα και σήμερα Κύριε Καθηγητά..
    Τι ωραία που τα λέτε όμως..
    Και τι ωραίο πουκάμισο φοράτε..

    ReplyDelete