12/7/10

Η τέχνη των αριθμών

M.C. Escher, Stars

Οι αριθμοί, θα έλεγε κάποιος, αποτελούν την έκφραση της παγκόσμιας αρμονίας. Μάλιστα, σε παλαιότερες εποχές, οι αριθμοί έφτασαν να θεοποιηθούν σε τέτοιο βαθμό, ώστε να θεωρηθούν ως παγκόσμιες και αναλλοίωτες μορφές, χάρη στις οποίες παράγεται η αρμονία και συμμετρία των φυσικών φαινομένων. Ο Πυθαγόρας, ήταν ένας από τους πρώτους που ενδιαφέρθηκε για την ‘απόκρυφη’ δύναμη των αριθμών, και κατασκεύασε μια μουσική κλίμακα τέτοια ώστε η τονική απόσταση μεταξύ των μουσικών διαστημάτων της κλίμακας να έχει το λόγο 3:2 (δωδεκάτονη χρωματική κλίμακα). Στον Πυθαγόρα, επιπλέον, αποδίδεται η τετρακτύς:


 

Η τετρακτύς αναπαρίστανε τη σχέση μεταξύ των ‘θεμελιωδών’ αριθμών. Στην κορυφή, βρισκόταν η μονάδα. Στο δεύτερο επίπεδο, βρισκόταν η ‘δυάδα,’ ο αριθμός 2, που παράγεται από τη μονάδα, και ο αριθμός 3, που παράγεται από το άθροισμα των δύο προηγουμένων (του 1 και του 2). Στο τρίτο επίπεδο, βρίσκονταν τα τετράγωνα των αριθμών 2 και 3, δηλαδή οι αριθμοί 4 και 9 αντίστοιχα. Στο τέταρτο επίπεδο, βρίσκονταν οι κύβοι των αριθμών 2 και 3, δηλαδή οι αριθμοί 8 και 27 αντίστοιχα. Το σύνολο των σημείων της τετρακτίδος είναι 10, και το σύνολο των ‘παραγόμενων’ από τη μονάδα αριθμών είναι 1+2+3+4+8+9=27, δηλαδή ο τελευταίος της ‘σειράς.’ Η τετρακτύς είχε αποκτήσει έναν απόκρυφο συμβολισμό, και θα αποτελούσε ένα είδος ‘προπαίδειας’ για τους ‘μυημένους’ της εποχής. Στον Πυθαγόρα τέλος, αποδίδεται και η θεωρία της ‘αρμονίας των σφαιρών,’ σύμφωνα με την οποία η κίνηση των πλανητών θα έπρεπε να υπακούσει συγκεκριμένες μαθηματικές σχέσεις ή ‘τόνους.’ Αυτό, άλλωστε, απέδειξαν οι, κατά πολλά χρόνια, μεταγενέστεροι του Πυθαγόρα, όπως ο Κέπλερ και ο Νεύτωνας, σε ό,τι αφορά τις μαθηματικές σχέσεις αυτής της ‘Παγκόσμιας Αρμονίας.’ [1], [2]

Οι αριθμοί, επομένως, αποτέλεσαν από πολύ νωρίς σύμβολα μέσω των οποίων εκφράστηκε η αρμονία του κόσμου, οι σχέσεις αναλογίας, θα λέγαμε, ανάμεσα στον κόσμο και στον άνθρωπο. Θα μπορούσαμε ακόμη να πούμε, ότι στην εποχή μας η σημασία των αριθμών έχει μεγιστοποιηθεί περισσότερο από ποτέ. Αν, για παράδειγμα, ρωτήσουμε ένα μαθηματικό τι πιστεύει για τους αριθμούς, θα τους δώσει, κατά πάσα πιθανότητα, μια αντικειμενική υπόσταση, σαν να ήταν ‘οντότητες’ οι οποίες προϋπήρξαν του ανθρώπου. Με την ίδια λογική, ένας ψυχολόγος θα μπορούσε να τους αποδώσει έναν αρχετυπικό χαρακτήρα. Ο Jung, σχετικά με τους αριθμούς, λέει το εξής ενδιαφέρον:

‘‘Γενικά θεωρείται ότι οι αριθμοί εφευρέθηκαν ή ότι είναι προϊόντα της ανθρώπινης σκέψης, και επομένως δεν είναι παρά έννοιες ποσοτήτων, που δεν περιέχουν τίποτα που να μην τέθηκε προηγουμένως σε αυτούς από την ανθρώπινη διάνοια. Αλλά είναι εξίσου δυνατό ότι οι αριθμοί βρέθηκαν ή ανακαλύφθηκαν. Στην τελευταία περίπτωση δεν είναι απλά έννοιες αλλά κάτι περισσότερο- αυτόνομες οντότητες που κατά κάποιον τρόπο περιέχουν κάτι περισσότερο από ποσότητα. Αντίθετα από τις έννοιες, είναι βασισμένοι όχι σε οποιεσδήποτε ψυχικές συνθήκες αλλά στην ιδιότητα να είναι ο εαυτός τους, σε μια ‘εντελέχεια’ που δεν μπορεί να εκφραστεί από μια πνευματική έννοια. Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις μπορούμε εύκολα να τους αποδώσουμε ιδιότητες που ακόμη δεν έχουν ανακαλυφθεί. Οφείλω να ομολογήσω πως τείνω στην άποψη ότι οι αριθμοί τόσο ανακαλύφθηκαν όσο και εφευρέθηκαν, και ότι κατά συνέπεια διαθέτουν μια σχετική αυτονομία ανάλογη με αυτήν των αρχέτυπων. Θα είχαν τότε, από κοινού με τα τελευταία, την ιδιότητα να προϋπάρχουν στη συνείδηση, και ως εκ τούτου, περιστασιακά, να την καθορίζουν παρά να καθορίζονται από αυτήν. Τα αρχέτυπα επίσης, ως a priori μορφές αναπαράστασης, έχουν τόσο ανακαλυφθεί όσο και έχουν εφευρεθεί: έχουν ανακαλυφθεί στο βαθμό που κάποιος δεν γνώριζε την ασυνείδητη αυτόνομη ύπαρξή τους, και έχουν εφευρεθεί στο βαθμό που η παρουσία τους συνάχθηκε από ανάλογες αντιπροσωπευτικές δομές. Παρομοίως φαίνεται πως οι φυσικοί αριθμοί έχουν έναν αρχετυπικό χαρακτήρα. Εάν αυτό ισχύει, τότε όχι μόνον ορισμένοι αριθμοί και συνδυασμοί αριθμών θα είχαν μια σχέση και μια επίδραση σε ορισμένα αρχέτυπα, αλλά το αντίστροφο θα ήταν επίσης αληθινό.’’

Ο Jung θεωρεί πως ο αριθμός είναι το αρχέτυπο της τάξης. Μπορούμε, πράγματι, να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο; Υπάρχουν οι αριθμοί από μόνοι τους, ή μήπως είναι μια εφεύρεση του ανθρώπου για να εκφράσει μέσω αυτών αναλογίες, που υπάρχουν στη φύση; Προσωπικά πιστεύω πως στη φύση δεν υπάρχουν ούτε ‘μαθηματικά’ ούτε ‘γεωμετρία.’ Στη φύση υπάρχουν ρυθμοί και αναλογίες ανάμεσα στα φυσικά αντικείμενα. Αυτή η ‘αρμονία’ μπορεί να εκφραστεί μέσω των μαθηματικών ή, εξίσου ικανά, μέσω της γλώσσας, της μουσικής, των εικόνων, ή μέσω κάποιας άλλης συμβολικής τάξης και αναπαράστασης.


Σε ότι αφορά πάντως τους αριθμούς, όπως τους γνωρίζουμε μέσω των μαθηματικών και της άλγεβρας, αυτοί κατέχουν ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό, το οποίο, ίσως, δεν διαθέτουν σύμβολα των άλλων δυνατών συμβολικών αναπαραστάσεων. Πρόκειται για τη δυνατότητα ‘ποσοτικοποίησης.’ Αυτό σημαίνει, σε αντιδιαστολή με τα ‘ποιοτικά’ χαρακτηριστικά των αντικειμένων, ότι ένα πράγμα, ή ακόμη και μια έννοια, μπορεί να έχει μέγεθος, βάρος, ‘συχνότητα ήχου ή χρώματος,’ ίσως ακόμη και ‘συναισθηματικό φορτίο ή ένταση.’ Η τελευταία περίπτωση ποσοτικοποίησης ίσως είναι ακραία, αλλά όλοι μας έχουμε ακούσει το ρητό που λέει πως ‘όλα έχουν μια τιμή…’ Αυτό ακριβώς το χαρακτηριστικό της ‘συσσώρευσης’ είναι που ξεχωρίζει τους αριθμούς, ως σύμβολα της μαθηματικής γλώσσας, απέναντι σε οποιονδήποτε άλλο ποιοτικό τρόπο περιγραφής. Πρόκειται για αυτό που μπορούμε να ονομάσουμε ‘προσθετική ιδιότητα.’ Το απλούστερο παράδειγμα που μπορούμε να αναφέρουμε είναι ότι 1+1=2. Όσο κι αν φαίνεται αυτονόητο, ο ίδιος ο Russell, ένας από τους θεμελιωτές της σύγχρονης μαθηματικής λογικής, χρειάστηκε πολλές σελίδες για να το αποδείξει! Εντούτοις, δεν είναι μόνο το σύμβολο της πρόσθεσης που θα πρέπει να μας κάνει ‘καχύποπτους,’ αλλά κι εκείνο της ισότητας: Δύο μονάδες και μία δυάδα, δεν είναι απαραίτητα τα ίδιο πράγμα…


Το παραπάνω δίλλημα, μπορεί να γίνει κατανοητό μέσα από τη σχέση ανάμεσα σε αυτό που ονομάζουμε ποσότητα και σε αυτό που ονομάζουμε ποιότητα. Συνήθως, αριθμούς ονομάζουμε αντικείμενα τα οποία χρησιμοποιούμε για να κάνουμε κάποιες πράξεις. Σύμφωνα με τη θεωρία συνόλων, ο κάθε αριθμός αποτελεί ένα ‘σύνολο,’ το οποίο παράγεται από τον αμέσως προηγούμενο αριθμό. Το μηδέν, δηλαδή, αποτελείται από ένα ‘κενό’ σύνολο, το ένα από δύο κενά σύνολα, που το ένα βρίσκεται μέσα στο άλλο, κοκ. Καταλαβαίνει, βέβαια, κάποιος, ότι ακόμη και αυτού του είδους η κατανόηση για το τι είναι μια ποσότητα, η ‘συναρμολόγηση’ ενός συνόλου αριθμών, γίνεται με βάση το ‘κενό,’ το οποίο μπορεί να προσδιοριστεί μόνο ως έννοια ή ως ιδιότητα. Βλέπουμε, δηλαδή, ότι δεν είναι τα ‘πάντα’ αριθμοί. Θα μπορούσαμε, βέβαια, να πούμε ότι η σύγχρονη θεωρία των αριθμών καλύπτει, έμμεσα έστω, και τη δεύτερη κατηγορία πραγμάτων, αφού οι ‘ποιότητες’ είναι ιδιότητες φυσικών ή μαθηματικών ‘ποσοτήτων.’ Για παράδειγμα, η μάζα ενός σώματος είναι μια ποσότητα και αντιστοιχεί στην αδράνεια, ή οποία έχει ένα ποιοτικό, εννοιολογικό θα λέγαμε, περιεχόμενο. Παρόλα αυτά, ενώ μπορούμε να ‘μετρήσουμε’ τη μάζα ενός σώματος δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο και με την αδράνεια, παρότι αυτή αποτελεί το ‘μέτρο’ της μάζας. Και αυτό, γιατί θα χρειαζόμασταν μια θεμελιοδέστερη ιδιότητα που να αποτελεί το μέτρο της αδράνειας, κοκ.


Μαθηματική αναπαράσταση της κβαντικής σύζευξης δύο σωματιδίων

Διαπιστώνουμε, επομένως, ότι κάθε φορά που αναλύουμε ένα αντικείμενο σε επιμέρους τμήματα, και αυτά σε άλλα ακόμη πιο θεμελιώδη, καταλήγουμε σε έννοιες οι οποίες δεν είναι αντικείμενα που θα μπορούσαν να αριθμηθούν και να ποσοτικοποιηθούν. Ακόμη και οι ίδιες πράξεις που χρησιμοποιούμε, η πρόσθεση ή η αφαίρεση για παράδειγμα, αποτελούν εργαλεία- αντικείμενα που δεν ποσοτικοποιούνται. Και εφόσον το κενό αποτελεί μια έννοια- ιδιότητα, πάνω στην οποία χτίζονται όλες οι υπόλοιπες μαθηματικές ποσότητες, είναι απορίας άξιο πώς από κάτι που δεν είναι μετρήσιμο, καταλήγουμε σε κάτι που να μπορεί να μετρηθεί. Πάντως, μιας και αναφερθήκαμε στο κενό, μπορούμε να αναφέρουμε και την επιστήμη που έχει ασχοληθεί μαζί του όσο, ίσως, καμία άλλη επιστήμη μέχρι τώρα, τουλάχιστον όχι σε ένα τόσο ποσοτικοποιημένο βαθμό. Εκτός του ότι το κενό στην κβαντική φυσική, γιατί περί αυτής ο λόγος, είναι κάτι που μπορεί να μετρηθεί, αυτή η επιστήμη έχει επίσης εισάγει νέα ‘ποιοτικά’ χαρακτηριστικά στο βαθμό που καμία άλλη επιστήμη δεν έχει, προφανώς, καταφέρει. Με λίγα λόγια στην κβαντική φυσική 1+1 μπορεί να κάνει 1. Αυτό έχει να κάνει με τα ‘κυματικά’ χαρακτηριστικά της ύλης αφενός, τα οποία η κβαντική φυσική αποδέχεται, και, αφετέρου, με ένα νέο μαθηματικό οπλοστάσιο, στο οποίο περιλαμβάνονται, για παράδειγμα, η κυματοσυνάρτηση, ο τανυστικός λογισμός, και η γραμμική άλγεβρα. Για να γίνω πιο κατανοητός, στην λεγόμενη κβαντική σύζευξη, λόγου χάρη, τα δύο συζευγμένα συστήματα ή σωματίδια δεν ‘προστίθενται,’ αλλά ‘συζεύγνυνται,’ έτσι ώστε το αποτέλεσμα δεν κάνει 1+1=2, αλλά κάτι… ενδιάμεσο, ή, για να το πούμε ‘ξεκάθαρα,’ 1 ανεξάρτητο σύστημα + 1 ανεξάρτητο σύστημα, όταν συζεύγνυνται, δίνουν 1 συζευγμένο σύστημα.

Θα μπορούσε, συμπερασματικά, κάποιος να πει ότι τα σύμβολα, σε κάποια γενικότερη περίπτωση, αποτελούν αναπαραστάσεις, όπως κάθε φορά ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται, κάποιων θεμελιωδών σχέσεων αρμονίας- συμμετρίας. Ακόμη και αυτήν την ίδια αρμονία, δεν είναι απαραίτητο να τη βλέπουμε ως κάτι το ‘όμορφο,’ το ‘γαλήνιο,’ ή το ‘ακριβοδίκαιο.’ Τα σύμβολα, θα μπορούσαν πολύ περισσότερο να αποτελούν κάποια πρότυπα, ως ένα βαθμό κοινώς αποδεκτά, σύνθετα και επαναλαμβανόμενα, ή μοναδικά και ανεπανάληπτα, τα οποία είναι ποσότητες και ποιότητες ‘καθαυτές.’ Το αν, βεβαίως, αυτά υπάρχουν ‘αντικειμενικά’ ή αν ο άνθρωπος τα ‘δημιούργησε’ για τις δικές του ανάγκες, είναι περισσότερο ένα δίλλημα πλασματικό, αν λάβουμε υπόψη ότι η ανθρώπινη κατανόηση, και αυτή η ίδια, γίνεται με βάση κάποια σύμβολα- πρότυπα.

==============================================

3 comments:

  1. Όπως η τελειότερη πράξη των μαθηματικών καταλήγει στο τελευταίο συμπέρασμα (Α+Α = Ά) της, έχοντας ένα τόνο διαφορά΄ Έτσι και ότι έχουμε χαρακτήρ./ίση μΕχρι τώρα,θα ανακαλυφθεί με μαθηματική ακρίβεια ότι η αλήθεια δεν μαθαίνεται μα μόνον διαρκώς να την προσεγγίζουμε μπορούμε...

    ReplyDelete
  2. Το τελικό υπερτατο μυστικό, αν τολμήσουμε να το δούμε κατάματα, είναι απλά πως στο σύμπαν δεν υπάρχουν φράγματα. Τα φράγματα είναι ψευδαισθήσεις. Δεν είναι προϊόντα της πραγματικότητας, αλλα του τρόπου με τον οποίο τη χαρτογραφούμε και την αντλαμβανόμαστε. Ετσι, ενώ απο τη μία είναι ωραίο να χαρτογραφούμε κάποια περιοχή, απο την αλλη γίνεται μοιραίο το να εκλαμβάνουμε τα συμβολα σαν πραγματικότητες.
    (εστω αρχετυπες)

    ReplyDelete
  3. ΠΕΡΙΟΧΗ ΧΩΡΙΣ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ KEN WILBER . IAMBLIXOS 1990

    ReplyDelete