11/26/11

3. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΟΥΡΑΝΙΩΝ ΑΡΜΟΝΙΩΝ


[Απόσπασμα από το 'Harmonices Mundi' του Kepler]


Πρώτα απ’ όλα, οι αναγνώστες μου θα πρέπει να ξέρουν ότι οι αρχαίες αστρονομικές υποθέσεις του Πτολεμαίου, όπως αυτές αναπτύχθηκαν στο Theoricae του Peurbach και άλλων συγγραφέων επιτομών, πρέπει να απομακρυνθούν τελείως από αυτήν τη συζήτηση και να βγουν από το μυαλό. Γιατί δεν αποκαλύπτουν το πραγματικό προσκήνιο των σωμάτων του κόσμου και τη νομοτέλεια των κινήσεων.

Δεν μπορώ να κάνω αλλιώς παρά να τοποθετήσω την άποψη του Κοπέρνικου σχετικά με τον κόσμο στη θέση αυτών των υποθέσεων και, αν αυτό είναι δυνατό, να πείσω τον οποιονδήποτε για αυτό. Αλλά επειδή το πράγμα είναι ακόμα νέο στους κύκλους των διανοούμενων, και το δόγμα ότι η Γη είναι ένας από τους πλανήτες και κινείται ανάμεσα στα αστέρια γύρω από έναν ακίνητο ήλιο ακούγεται πολύ παράλογο στα αυτιά των περισσοτέρων από αυτούς: για αυτό εκείνοι που σοκάρονται από το ανοίκειο αυτής της γνώμης θα πρέπει να ξέρουν ότι αυτές οι αρμονικές υποθέσεις είναι δυνατές ακόμα και λαμβάνοντας υπόψη τις υποθέσεις του Tycho Brahe- γιατί αυτός ο συγγραφέας πιστεύει, μαζί με τον Κοπέρνικο, όλα τα άλλα σχετικά με τα ουράνια σώματα και τις κινήσεις τους, και απλώς μεταφέρει την κατά Κοπέρνικο ετήσια κίνηση της Γης σε ολόκληρο το σύστημα των πλανητικών σφαιρών και του ηλίου, ο οποίος καταλαμβάνει το κέντρο αυτού του συστήματος, σύμφωνα και με τους δύο συγγραφείς. Γιατί σύμφωνα με αυτήν τη θεώρηση της κίνησης είναι εντούτοις αλήθεια ότι σύμφωνα με τον Brahe η Γη καταλαμβάνει κάθε στιγμή το ίδιο μέρος που δίνει ο Κοπέρνικος, αν όχι στην πολύ μεγάλη και άπειρη περιοχή των ακίνητων αστεριών, τουλάχιστον στο σύστημα του πλανητικού κόσμου. Και αναλόγως, όπως εκείνος που γράφει έναν κύκλο στο χαρτί κάνει το διαβήτη να γυρνά, ενώ εκείνος που κρατά σταθερό το χαρτί σε έναν περιστρεφόμενο τόρνο διαγράφει τον ίδιο κύκλο με το διαβήτη ακίνητο, έτσι και στην περίπτωση του Κοπέρνικου η Γη, με την πραγματική κίνηση του σώματός της, διαγράφει έναν κύκλο ανάμεσα στον κύκλο του Άρη από έξω και στον κύκλο της Αφροδίτης από μέσα. Αλλά στην περίπτωση του Tycho Brahe ολόκληρο το πλανητικό σύστημα (όπου και οι κύκλοι του Άρη και της Αφροδίτης βρίσκονται) περιστρέφεται σαν μια ταμπλέτα σε έναν τόρνο γύρω από μια ακίνητη Γη, σαν με την ακίνητη γραφίδα του τόρνου, στο ενδιάμεσο διάστημα ανάμεσα στους κύκλους του Άρη και της Αφροδίτης. Και προκύπτει ότι από αυτήν την κίνηση του συστήματος η Γη μέσα σε αυτό, παρότι παραμένει ακίνητη, διαγράφει τον ίδιο κύκλο γύρω από τον ήλιο και ανάμεσα στον Άρη και στην Αφροδίτη, ενώ σύμφωνα με τον Κοπέρνικο τον διαγράφει με την πραγματική κίνηση του σώματός της ενώ το σύστημα των πλανητών βρίσκεται σε ηρεμία. Επομένως, καθώς η αρμονική υπόθεση θεωρεί τις έκκεντρες κινήσεις των πλανητών, σε σχέση με τον ήλιο, μπορείτε εύκολα να καταλάβετε ότι αν κάποιος παρατηρητής βρισκόταν στον ήλιο με οποιαδήποτε κίνηση, για εκείνον η Γη, παρότι σε ηρεμία (σύμφωνα με τον Brahe), θα φαινόταν να διαγράφει τον ετήσιο κύκλο της ανάμεσα στους πλανήτες και σε ένα ενδιάμεσο χρονικό διάστημα. Ενώ, αν υπάρχει κάποιος άνθρωπος με τόσο αδύναμο πνεύμα ώστε να μην μπορεί να συλλάβει την κίνηση της Γης ανάμεσα στα αστέρια, ωστόσο μπορεί να ευχαριστηθεί το πιο έξοχο θέαμα αυτής της θείας κατασκευής, αν εφαρμόσει σε αυτά τις ημερήσιες κινήσεις της Γης στην έκκεντρη τροχιά της- την εικόνα που ο Tycho Brahe εκθέτει, με τη Γη σε ηρεμία.

Και σε κάθε περίπτωση οι οπαδοί της πραγματικής Πυθαγόρειας φιλοσοφίας δεν έχουν κανέναν δίκαιο λόγο να αποκρύπτουν ζηλότυπα αυτήν την απολαυστική θεώρηση σε τέτοιους ανθρώπους, επειδή η απόλαυσή τους θα είναι ποικιλοτρόπως τελειότερη, χάρη στην ολοκληρωμένη τελειότητα της υπόθεσης, αν δεχθούν την ακινησία του ήλιου και την κίνηση της Γης.

Πρώτο [I], επομένως, ας αντιληφθούν οι αναγνώστες μου ότι σήμερα είναι απολύτως βέβαιο ανάμεσα στους αστρονόμους ότι όλοι οι πλανήτες περιφέρονται γύρω από τον ήλιο, με εξαίρεση το φεγγάρι, που έχει τη Γη ως κέντρο: το μέγεθος της σφαίρας του φεγγαριού ή της τροχιάς δεν είναι αρκετά μεγάλο για να αναπαρασταθεί σε αυτό το σχεδιάγραμμα με έναν ακριβή λόγο προς τα υπόλοιπα. Επομένως, στους άλλους πέντε πλανήτες, ένας έκτος, η Γη, προστίθεται, η οποία διαγράφει έναν έκτο κύκλο γύρω από τον ήλιο, είτε με τη δική της κίνηση ενώ ο ήλιος είναι ακίνητος, ή ακίνητη με ολόκληρο το πλανητικό σύστημα να περιστρέφεται.


Δεύτερο [Π]: Είναι επίσης βέβαιο ότι όλοι οι πλανήτες είναι έκκεντροι, δηλαδή μεταβάλλουν την απόστασή τους από τον ήλιο, με τέτοιον τρόπο ώστε στη μια μεριά του κύκλου να απέχουν περισσότερο από τον ήλιο, και στην αντίθετη μεριά να βρίσκονται κοντύτερα. Στο παραπάνω σχεδιάγραμμα τρεις κύκλοι έχουν σχεδιαστεί για τους πλανήτες: κανένας δεν δείχνει την έκκεντρη πορεία του ίδιου του πλανήτη. Αλλά ο μέσος κύκλος όπως ο BE στην περίπτωση του Άρη, είναι ίσος με την έκκεντρη τροχιά, σε σχέση με τη μεγαλύτερη διάμετρό του. Αλλά η τροχιά η ίδια, όπως η AD, αγγίζει την AF, την ανώτερη από τις τρεις, σε ένα σημείο A, και ο κατώτερος κύκλος CD, στο αντίθετο σημείο D. Ο διάστικτος κύκλος GH που περνάει από το κέντρο του ήλιου δείχνει την πορεία του ήλιου σύμφωνα με τον Tycho Brahe. Και αν ο ήλιος κινείται σε αυτήν τη διαδρομή, τότε όλα τα σημεία στο πλανητικό σύστημα που φαίνεται εδώ προχωράνε κατά μια ίση πορεία, το καθένα στη δικιά του. Και με ένα σημείο (αυτό του κέντρου του ήλιου) ακίνητο σε ένα μέρος του κύκλου του, εδώ στο κατώτερο μέρος, κάθε σημείο του συστήματος θα βρίσκεται στο κατώτερο μέρος του κύκλου του. Ωστόσο, εξαιτίας του περιορισμένου χώρου οι τρεις κύκλοι της Αφροδίτης γίνονται ένας, αντίθετα με την πρόθεσή μου.

Τρίτο [ΙΙΙ]: Ας θυμηθεί ο αναγνώστης μου από το Mysterium Cosmographicum, που δημοσίευσα πριν από εικοσιπέντε χρόνια, ότι ο αριθμός των πλανητών ή κυκλικών τροχιών γύρω από τον ήλιο πάρθηκε από τα πέντε κανονικά στερεά, για τα οποία ο Ευκλείδης, πριν πολλούς αιώνες, έγραψε το βιβλίο του Στοιχεία που είναι δομημένο με μια σειρά προτάσεων. Αυτό είναι σαφές στο δεύτερο βιβλίο αυτής της εργασίας ότι δεν μπορούν να υπάρξουν περισσότερα κανονικά σώματα, δηλαδή, ότι οι κανονικές επίπεδες αναπαραστάσεις δεν μπορούν να ταιριάξουν σε ένα στερεό περισσότερες από πέντε φορές.

Τέταρτο [IV]: Σε ό,τι αφορά το λόγο των πλανητικών τροχιών, αυτός μεταξύ δυο γειτονικών τροχιών είναι πάντα τέτοιου μεγέθους ώστε είναι εύκολα εμφανές ότι τείνει στον απλό λόγο των σφαιρών ενός από τα πέντε κανονικά στερεά, δηλαδή, αυτόν της περιγεγραμμένης σφαίρας προς εκείνον της εγγεγραμμένης. Εντούτοις, δεν είναι ακριβώς ίσος, όπως κάποτε τόλμησα να υποσχεθώ για την ύστατη τελεολογία της αστρονομίας. Γιατί, αφού τελείωσα με τον υπολογισμό των διαστημάτων από τις παρατηρήσεις του Brahe, ανακάλυψα το ακόλουθο: αν οι γωνίες του κύβου εφαρμοστούν στον εσώτερο κύκλο του Κρόνου, τα κέντρα των επιπέδων είναι περίπου εφαπτόμενα στο μεσαίο κύκλο του Δία. Και αν οι γωνίες του τετράεδρου τοποθετηθούν στον εσώτερο κύκλο του Δία, τα κέντρα των επιπέδων του τετράεδρου είναι περίπου εφαπτόμενα στον εξώτερο κύκλο του Άρη. Έτσι αν οι γωνίες του οκτάεδρου τοποθετηθούν σε οποιονδήποτε κύκλο της Αφροδίτης (γιατί η συνολική απόσταση ανάμεσα στους τρεις έχει κατά πολύ μειωθεί), τα κέντρα των επιπέδων του οκτάεδρου διαπερνούν σε βάθος τον εξώτερο κύκλο του Ερμή. Και τέλος πιο κοντά στους λόγους των σφαιρών του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου- των οποίων οι λόγοι είναι ίσοι- είναι οι λόγοι ή τα διαστήματα ανάμεσα στους κύκλους του Άρη και της Γης, και ανάμεσα στη Γη και στην Αφροδίτη. Και αυτά τα διαστήματα είναι παρομοίως ίσα, αν κάνουμε τον υπολογισμό από τον εσώτερο κύκλο του Άρη ως το μεσαίο κύκλο της Γης, αλλά από το μεσαίο κύκλο της Γης ως το μεσαίο κύκλο της Αφροδίτης. Γιατί η μέση απόσταση της Γης είναι ένας μέσος όρος ανάμεσα στην ελάχιστη απόσταση του Άρη και στη μέση απόσταση της Αφροδίτης. Ωστόσο, αυτοί οι δύο λόγοι ανάμεσα στους πλανητικούς κύκλους είναι ακόμα μεγαλύτεροι από τους λόγους εκείνων των δύο ζευγαριών σφαιρών στα σχήματα, με τέτοιον τρόπο ώστε τα κέντρα των δωδεκαεδρικών επιπέδων να μην είναι εφαπτόμενα στον εξώτερο κύκλο της Γης, και τα κέντρα των εικοσαεδρικών επιπέδων να μην είναι εφαπτόμενα στον εξώτερο κύκλο της Αφροδίτης. Ούτε, ωστόσο, μπορεί αυτό το κενό να καλυφθεί από την ημιδιάμετρο της σεληνιακής σφαίρας, προσθέτοντάς την, στην πάνω πλευρά, στη μέγιστη απόσταση της Γης και αφαιρώντας την, στην κατώτερη πλευρά, από την ελάχιστη απόσταση. Αλλά βρίσκω έναν άλλο λόγο στα σχεδιαγράμματα- συγκεκριμένα αν πάρω το  μεγαλύτερο δωδεκάεδρο, στο οποίο έδωσα το όνομα εχίνος (όπως αναπαρίσταται από δώδεκα πεντάγωνα αστέρια και επομένως βρίσκεται πολύ κοντά στα πέντε κανονικά στερεά), αν το πάρω, λοιπόν, και τοποθετήσω τα δώδεκα σημεία του στον εσώτερο κύκλο του Άρη, τότε οι πλευρές των πενταγώνων, που αποτελούν τις βάσεις των ευθύγραμμων τμημάτων ή απλών σημείων, αγγίζουν το μεσαίο κύκλο της Αφροδίτης. Σε συντομία: ο κύβος και το οκτάεδρο, που είναι συγγενικά, δεν διεισδύουν στις πλανητικές τους σφαίρες καθόλου. Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο, που επίσης είναι συγγενικά, δεν αγγίζουν τις δικές τους, το τετράεδρο αγγίζει ακριβώς και τις δύο: στην πρώτη περίπτωση ίσα που τις αγγίζει. Στη δεύτερη, τις ξεπερνά. Και στην τρίτη περίπτωση υπάρχει ταύτιση, σε σχέση με τα πλανητικά διαστήματα.  Επομένως είναι εμφανές ότι οι ίδιοι οι λόγοι των πλανητικών αποστάσεων από τον ήλιο δεν έχουν προκύψει μόνο από τα κανονικά στερεά. Γιατί ο Δημιουργός, ο οποίος αποτελεί την πηγή της γεωμετρίας, και, όπως έγραψε ο Πλάτωνας, «ασκεί την αιώνια γεωμετρία,» δεν αποκλίνει από το δικό του αρχέτυπο. Και όντως ακριβώς αυτό το πράγμα μπορεί να υπονοηθεί από το γεγονός ότι όλοι οι πλανήτες μεταβάλλουν τις αποστάσεις τους σε καθορισμένες χρονικές στιγμές, με τέτοιον τρόπο ώστε καθένας έχει δύο διακεκριμένα σημεία απόστασης από τον ήλιο, ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο. Και μια τετραπλή σύγκριση των αποστάσεων από τον ήλιο είναι δυνατή μεταξύ δυο πλανητών: η σύγκριση μπορεί να γίνει είτε ανάμεσα στη μέγιστη και στην ελάχιστη απόσταση, ή ανάμεσα στα αντίθετα σημεία τα πιο απομακρυσμένα μεταξύ τους ή τα πιο κοντινά. Με αυτόν τον τρόπο οι ανά δύο συγκρίσεις μεταξύ γειτονικών πλανητών είναι είκοσι στον αριθμό, παρότι αντιθέτως υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά στερεά. Αλλά είναι σχετικό πως αν ο Δημιουργός είχε κάποιο ενδιαφέρον για το λόγο των σφαιρών γενικά, θα ενδιαφερόταν επίσης για το λόγο που υπάρχει ανάμεσα στα μεταβαλλόμενα διαστήματα των μεμονωμένων πλανητών ειδικά και ότι το ενδιαφέρον θα είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις και η μία είναι αλληλένδετη με την άλλη. Αν αναλογιστούμε αυτό, θα κατανοήσουμε ότι για να κατασκευάσουμε τις διαμέτρους και τις εκκεντρότητες από κοινού, υπάρχει ανάγκη για περισσότερες αρχές, πέρα από τα πέντε κανονικά στερεά.

Πέμπτο [V]: Για να φτάσουμε στις κινήσεις μεταξύ των οποίων υπάρχουν οι αντιστοιχίες, για μια φορά ακόμα τονίζω στον αναγνώστη ότι στα Σχόλια για τον Άρη έδειξα από τις βέβαιες παρατηρήσεις του Brache ότι τα ημερήσια τόξα, που είναι ίσα στον ίδιο έκκεντρο κύκλο, δεν διανύονται με ίσες ταχύτητες. Αλλά ότι αυτές οι διάφορες έκκεντρες καθυστερήσεις σε ίσα μέρη παρακολουθούν το λόγο των αποστάσεών τους από τον ήλιο, την πηγή της κίνησης. Και αντιστρόφως, ότι αν θεωρηθούν ίσοι χρόνοι, δηλαδή, μια φυσική μέρα σε κάθε περίπτωση, τα αντίστοιχα ημερήσια τόξα μιας έκκεντρης τροχιάς έχουν μεταξύ τους το λόγο ο οποίος είναι ο αντίστροφος του λόγου των δύο αποστάσεων από τον ήλιο. Επιπλέον, έδειξα την ίδια στιγμή ότι η πλανητική τροχιά είναι ελλειπτική και ο ήλιος, η πηγή της κίνησης, βρίσκεται στη μια εστία αυτής της έλλειψης. Και έτσι, όταν ο πλανήτης έχει συμπληρώσει ένα τέταρτο της συνολικής πορείας του από το αφήλιο, τότε βρίσκεται ακριβώς στη μέση του απόσταση από τον ήλιο, στο μέσο της διαδρομής ανάμεσα στη μέγιστη απόσταση στο αφήλιο και στην ελάχιστη απόσταση στο περιήλιο. Αλλά από αυτά τα δύο αξιώματα προκύπτει ότι η ημερήσια μέση μετατόπιση ενός πλανήτη στην έκκεντρη τροχιά του είναι η ίδια με το πραγματικό έκκεντρο ημερήσιο τόξο της μετατόπισής του ενώ ο πλανήτης βρίσκεται στο τέλος του τετάρτου της έκκεντρης τροχιάς όπως μετράται από το αφήλιο, παρότι αυτό το πραγματικό τέταρτο εμφανίζεται ακόμα μικρότερο από το κανονικό. Επιπλέον, συνεπάγεται ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο πραγματικών ημερήσιων έκκεντρων τόξων, τέτοιων ώστε το ένα να βρίσκεται στην ίδια απόσταση από το αφήλιο με εκείνη που βρίσκεται το άλλο από το περιήλιο, είναι ίσο με το άθροισμα των δύο μέσων ημερήσιων τόξων. Και κατά συνέπεια, καθώς ο λόγος των κύκλων είναι ίδιος με εκείνον των διαμέτρων, ο λόγος ενός μέσου ημερήσιου τόξου προς το άθροισμα όλων των μέσων και ίσων τόξων της συνολικής τροχιάς είναι ο ίδιος με το λόγο του μέσου ημερήσιου τόξου προς το άθροισμα όλων των πραγματικών έκκεντρων τόξων, τα οποία είναι τα ίδια στον αριθμό αλλά άνισα μεταξύ τους. Και αυτά τα πράγματα πρέπει πρώτα να είναι γνωστά σχετικά με τα πραγματικά ημερήσια τόξα της έκκεντρης τροχιάς και τις πραγματικές μετατοπίσεις, έτσι ώστε μέσω αυτών μπορούμε να κατανοήσουμε τις μετατοπίσεις οι οποίες θα ήταν φανερές αν κοιτάζαμε τον ήλιο.

Έκτο [VI]: Αλλά σε ό,τι αφορά τα φαινόμενα τόξα, όπως φαίνονται από τον ήλιο, είναι γνωστό ακόμα και από την αρχαία αστρονομία ότι, ανάμεσα σε πραγματικές μετατοπίσεις που είναι μεταξύ τους ίσες, εκείνη η μετατόπιση που βρίσκεται μακρύτερα από το κέντρο του κόσμου (όπως στο αφήλιο) θα φαίνεται μικρότερη σε κάποιον που βρίσκεται στο κέντρο, αλλά η μετατόπιση που βρίσκεται κοντύτερα (όπως στο περιήλιο) θα φαίνεται παρομοίως μεγαλύτερη. Επομένως, καθώς επιπλέον τα πραγματικά ημερήσια τόξα στην κοντινή απόσταση είναι ακόμα μεγαλύτερα, εξαιτίας της γρηγορότερης κίνησης, και ακόμα μικρότερα στο απόμακρο αφήλιο, εξαιτίας της βραδύτητας της κίνησης, έδειξα στα Σχόλια για τον Άρη ότι ο λόγος των φαινόμενων ημερήσιων τόξων ενός έκκεντρου κύκλου είναι περίπου ο ίδιος με τον αντίστροφο λόγο των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τον ήλιο. Για παράδειγμα, αν ο πλανήτης μια μέρα όταν βρίσκεται σε απόσταση από τον ήλιο κατά 10 μέρη, με οποιοδήποτε μέτρο, αλλά την αντίθετη μέρα, όταν βρίσκεται στο περιήλιο, κατά 9 μέρη: είναι βέβαιο ότι από τον ήλιο η φαινόμενη μετατόπιση στο αφήλιο θα είναι ως προς τη φαινόμενη μετατόπιση στο περιήλιο, 81:100.

Αλλά αυτό είναι αλήθεια με τις ακόλουθες προϋποθέσεις: Πρώτον, ότι τα έκκεντρα τόξα δεν πρέπει να είναι μεγάλα, εκτός κι αν κατέχουν διακριτές αποστάσεις πολύ διαφορετικές- δηλαδή, εκτός κι αν οι αποστάσεις των άκρων τους από τις αψίδες προκαλούν μια αισθητή απόκλιση. Δεύτερον, ότι η εκκεντρότητα δεν πρέπει να είναι πολύ μεγάλη, γιατί όσο μεγαλύτερη είναι (δηλ., όσο μεγαλύτερο γίνεται το τόξο) τόσο αυξάνεται το τόξο της φαινόμενης μετατόπισής του πέρα από το μέτρο της προσέγγισής του προς τον ήλιο, από το Θεώρημα 8 της Οπτικής του Ευκλείδη. Ωστόσο, σε μικρά τόξα ακόμα και μια μεγάλη απόσταση είναι χωρίς μετατόπιση, όπως έχω επισημάνει στην Οπτική μου, Κεφάλαιο 11. Αλλά υπάρχει άλλος ένας λόγος γιατί κάνω αυτήν την επισήμανση. Γιατί τα έκκεντρα τόξα γύρω από τις μέσες ανωμαλίες φαίνονται υπό κλίση από το κέντρο του ήλιου. Αυτή η κλίση μειώνει το μέγεθος της φαινόμενης μετατόπισης, εφόσον αντιστρόφως τα τόξα γύρω από τις αψίδες φαίνονται κατευθείαν για κάποιον που βρίσκεται στον ήλιο. Επομένως, όταν η εκκεντρότητα είναι πολύ μεγάλη, τότε αφαιρεί τη δυνατότητα αντίληψης του λόγου των μετατοπίσεων. Αν χωρίς καμία μείωση εφαρμόσουμε τη μέση ημερήσια μετατόπιση στη μέση απόσταση, θα φανεί να έχει το ίδιο μέγεθος που πράγματι έχει- όπως θα φανεί παρακάτω στην περίπτωση του Ερμή. Όλα αυτά τα πράγματα αναλύονται σε μεγαλύτερο μάκρος στο Βιβλίο V του Epitome of Copernican Astronomy. Αλλά αναφέρθηκαν επίσης εδώ επειδή έχουν να κάνουν με τις έννοιες των ουράνιων αντιστοιχιών, θεωρημένες μεμονωμένα και ξεχωριστά.

Έβδομο [VΙΙ]: Αν τύχει κάποιος και πετύχει αυτές τις ημερήσιες κινήσεις που φαίνονται σε εκείνους που κοιτάζουν όχι σαν να βρίσκονταν στον ήλιο αλλά από τη Γη, με τις οποίες κινήσεις ασχολείται το Βιβλίο VI του Epitome of Copernican Astronomy, θα ήξερε ότι η ερμηνεία τους δεν θεωρείται στην παρούσα ανάλυση. Ούτε θα έπρεπε, καθώς η Γη δεν είναι η αιτία των πλανητικών κινήσεων, ούτε μπορεί να είναι, καθώς σε σχέση με το ξεγέλασμα της όρασης εκφυλίζονται όχι μόνο σε απλή φαινόμενη ακινησία αλλά ακόμα και σε ανάδρομη κίνηση, οπότε μια απειρότητα λόγων ανατίθεται σε όλους τους πλανήτες, ταυτόχρονα και ισότιμα. Επομένως, για να ξέρουμε με βεβαιότητα τι λόγοι σχηματίζονται από τις ξεχωριστές πραγματικές έκκεντρες τροχιές (παρότι αυτές είναι και πάλι φαινόμενες, σαν κάποιος να τις έβλεπε από τον ήλιο, την πηγή της κίνησης), πρώτα πρέπει να αφαιρέσουμε από αυτές τις μετατοπίσεις αυτήν την εικόνα της εξωγενούς ετήσιας κίνησης κοινής και στους πέντε πλανήτες, είτε προκύπτει από την κίνηση της ίδιας της Γης, σύμφωνα με τον Κοπέρνικο, ή από την ετήσια κίνηση ολόκληρου του συστήματος, σύμφωνα με τον Tycho Brahe, και οι ξεχωριστές μετατοπίσεις για κάθε πλανήτη θα εμφανιστούν.

Όγδοο [VIII]: Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις διαφορετικές καθυστερήσεις ή τα τόξα ενός μοναδικού πλανήτη. Τώρα πρέπει να ασχοληθούμε με τη σύγκριση των κινήσεων δύο πλανητών. Εδώ σημειώστε τους ορισμούς των όρων που θα μας είναι απαραίτητοι. Δίνουμε το όνομα των κοντινότερων αψίδων δύο πλανητών στο περιήλιο της ανώτερης και στο αφήλιο της κατώτερης,  παρότι τείνουν όχι προς την ίδια περιοχή του κόσμου αλλά προς διακριτές και ίσως αντίθετες περιοχές. Από ακρότατες μετατοπίσεις να κατανοήσουμε τη βραδύτερη και τη γρηγορότερη ολόκληρου του πλανητικού συστήματος. Μετατρέποντας ή αντιστρέφοντας ακρότατες μετατοπίσεις, εκείνες που είναι στις εγγύτερες αψίδες δύο πλανητών- ονομαστικά, στο περιήλιο του απώτερου και στο αφήλιο του κατώτερου. Αποκλίνοντας ή διαχωρίζοντας, εκείνες στις αντίθετες αψίδες- ονομαστικά, το αφήλιο τις ανώτερης και το περιήλιο της εγγύτερης. Οπότε ξανά, ένα συγκεκριμένο μέρος του Mysterium Cosmographicum μου, που είχε αναβληθεί πριν είκοσι δύο χρόνια, επειδή δεν ήταν ακόμα σαφές, ολοκληρώνεται και χρησιμοποιείται τώρα. Γιατί έχοντας βρει τα πραγματικά διαστήματα των σφαιρών χάρη στις παρατηρήσεις του Tycho Brahe και με πολύ κόπο και χρόνο, επιτέλους, ο σωστός λόγος των περιόδων των ουράνιων σφαιρών παρότι με καθυστέρηση, φαινόταν υποσχόμενο στον αμαθή, πράγματι φαινόταν υποσχόμενο, και, μετά από πολύ χρόνο, προέκυψε και, αν θέλετε τον ακριβή χρόνο, ήρθε στο μυαλό στις 8 Μαρτίου του έτους 1618, αφού υποβλήθηκε σε ανεπιτυχή υπολογισμό και απορρίφθηκε ως λάθος, τελικά,  επέστρεψε στις 15 Μαΐου του ίδιου έτους, με μια νέα προσπάθεια, υπερνίκησε το σκοτάδι του μυαλού μου χάρη στη σπουδαία απόδειξη που ήρθε μετά από δεκαεφτά χρόνια εργασίας πάνω στις παρατηρήσεις του Brahe και με διαλογισμό που βρέθηκε σε συμφωνία, με τέτοιον τρόπο που στην αρχή πίστευα ότι ονειρευόμουν και ότι προκαταλάμβανα το αντικείμενο της έρευνάς μου από τις αρχές. Αλλά είναι απολύτως βέβαιο και ακριβές ότι ο λόγος που υφίσταται ανάμεσα στις περιόδους οποιωνδήποτε δύο πλανητών είναι ακριβώς ο λόγος της δύναμης του 3/2 των μέσων αποστάσεων, δηλαδή, των ίδιων των σφαιρών. Με την προϋπόθεση ωστόσο, ότι ο αριθμητικός μέσος μεταξύ των δύο διαμέτρων της ελλειπτικής τροχιάς είναι ελαφρώς μικρότερος από τη μεγαλύτερη διάμετρο. Και έτσι αν κάποιος πάρει την περίοδο, ας πούμε, της Γης, που είναι ένας χρόνος, και την περίοδο του Κρόνου, που είναι τριάντα χρόνια, βγάλει την κυβική ρίζα αυτού του λόγου και ύστερα τετραγωνίσει το αποτέλεσμα, θα πάρει σαν αριθμητικό αποτέλεσμα τον πιο ακριβή λόγο των αποστάσεων της Γης και του Κρόνου από τον ήλιο. Γιατί η κυβική ρίζα του ένα είναι ένα. Και η κυβική ρίζα του 30 είναι μεγαλύτερη από 3, και επομένως το τετράγωνο αυτού του αποτελέσματος είναι μεγαλύτερο του 9. Και ο Κρόνος, σε ό,τι αφορά τη μέση του απόσταση από τον ήλιο, είναι ελαφρώς πιο πολύ από εννιά φορές τη μέση απόσταση της Γης από τον ήλιο. Παρακάτω, στο Κεφάλαιο 9, η χρήση αυτού του θεωρήματος θα είναι απαραίτητη για την επίδειξη των εκκεντροτήτων.

Ένατο [IX]: Αν τώρα επιθυμείτε να μετρήσετε με τον ίδιο χάρακα, ας πούμε, τα πραγματικά ημερήσια ταξίδια καθενός πλανήτη διαμέσου του αιθέρα, δύο λόγοι πρέπει να υπολογιστούν- ο λόγος των πραγματικών (όχι των φαινόμενων) ημερήσιων τόξων της έκκεντρης τροχιάς, και ο λόγος των μέσων διαστημάτων κάθε πλανήτη από τον ήλιο (επειδή αυτός είναι ο ίδιος λόγος των πλατών των σφαιρών), δηλαδή, το πραγματικό ημερήσιο τόξο κάθε πλανήτη πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την ημιδιάμετρο της αντίστοιχης σφαίρας: το γινόμενο θα είναι ο κατάλληλος αριθμός ανεξάρτητα από το αν αυτές οι διαδρομές βρίσκονται σε αρμονικούς λόγους.

Δέκατο [X]: Για να γνωρίζετε πραγματικά πόσο μεγάλο οποιοδήποτε από αυτά τα ημερήσια ταξίδια φαίνεται σε κάποιον που τα παρατηρεί σαν να βρίσκεται στον ήλιο, παρότι το ίδιο μπορεί να εξαχθεί από την αστρονομία,  ωστόσο επίσης θα προκύψει αν πολλαπλασιάσετε το λόγο των διαδρομών με τον αντίστροφο λόγο όχι των μέσων, αλλά των πραγματικών διαστημάτων που υφίστανται σε κάθε θέση των έκκεντρων τροχιών: πολλαπλασιάστε το ταξίδι του απώτερου πλανήτη με την απόσταση του κατώτερου πλανήτη από τον ήλιο, και αντιστρόφως πολλαπλασιάστε το ταξίδι του κατώτερου πλανήτη με την απόσταση του απώτερου πλανήτη από τον ήλιο.

Ενδέκατο [XI]: Και με τον ίδιο τρόπο, αν οι φαινόμενες μετατοπίσεις δίνονται, στο αφήλιο της μίας και στο περιήλιο της άλλης, είτε αντιστρόφως ή διαδοχικά, οι λόγοι των αποστάσεων του αφήλιου της μίας προς το περιήλιο της άλλης μπορούν να εξαχθούν. Αλλά όπου οι μέσες μετατοπίσεις πρέπει πρώτα να είναι γνωστές, δηλαδή, η αντίστροφη αναλογία των περιόδων, όπου ο λόγος των σφαιρών προκύπτει από την παράγραφο VIΙ παραπάνω: τότε αν ληφθεί η μέση αναλογία ανάμεσα στη φαινόμενη μετατόπιση και στην αντίστοιχη μέση μετατόπιση, αυτός ο μέσος λόγος είναι για την ημιδιάμετρο της σφαίρας του (που είναι ήδη γνωστή) όπως η μέση μετατόπιση είναι για την απόσταση ή το ζητούμενο διάστημα. Έστω οι περίοδοι δύο πλανητών είναι 27 και 8. Τότε ο λόγος της μίας μέσης ημερήσιας μετατόπισης προς την άλλη είναι 8:27. Οπότε ο λόγος των ημιδιαμέτρων των αντίστοιχων σφαιρών τους θα είναι 9 προς 4. Γιατί η κυβική ρίζα του 27 είναι 3, του 8 είναι 2, και τα τετράγωνα αυτών των ριζών, 3 και 2, είναι 9 και 4. Τώρα έστω ότι η φαινόμενη μετατόπιση στο αφήλιο του ενός πλανήτη είναι 2 και η μετατόπιση στο περιήλιο του άλλου πλανήτη είναι 33 και 1/3. Ο μέσος λόγος ανάμεσα στις μέσες μετατοπίσεις θα είναι 8 και 27 και στις αντίστοιχες φαινόμενες θα είναι 4 και 30. Επομένως αν ο μέσος λόγος 4 δίνει τη μέση απόσταση 9 για τον πλανήτη, τότε η μέση μετατόπιση 8 δίνει μια απόσταση στο αφήλιο 18, η οποία αντιστοιχεί στη φαινόμενη μετατόπιση 2. Και αν η άλλη μέση αναλογία 30 δίνει στον άλλο πλανήτη μια μέση απόσταση 4, τότε η μέση μετατόπιση 27 θα δώσει μια απόσταση στο περιήλιο 3 και 3/5. Λέω, επομένως, ότι η απόσταση στο αφήλιο της μίας μετατόπισης είναι προς την απόσταση στο περιήλιο της άλλης 18 προς 3 και 3/5. Επομένως είναι σαφές πως αν βρεθούν οι αντιστοιχίες ανάμεσα στις ακρότατες μετατοπίσεις δυο πλανητών και υπολογιστούν οι περίοδοι, οι ακρότατες και μέσες αποστάσεις επίσης βρίσκονται, καθώς επίσης και οι εκκεντρότητα των τροχιών.

Δωδέκατο [ΧΠ]: Είναι επίσης δυνατό, από τις διάφορες ακρότατες μετατοπίσεις του ίδιου πλανήτη, να βρεθεί η μέση μετατόπιση. Η μέση μετατόπιση δεν είναι ακριβώς ο αριθμητικός μέσος όρος ανάμεσα στις ακρότατες μετατοπίσεις, ούτε ακριβώς ο γεωμετρικός μέσος όρος, αλλά είναι τόσο μικρότερος από το γεωμετρικό μέσο όρο όσο ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι μικρότερος από τον [αριθμητικό] μέσο όρο μεταξύ των δύο. Έστω ότι οι δύο ακρότατες μετατοπίσεις είναι 8 και 10: η μέση μετατόπιση θα είναι λιγότερο από 9, και επίσης μικρότερη από την τετραγωνική ρίζα του 80 κατά το ήμισυ της διαφοράς ανάμεσα στο 9 και στην τετραγωνική ρίζα του 80. Κατά αυτόν τον τρόπο, αν η μετατόπιση στο αφήλιο είναι 20 και εκείνη στο περιήλιο είναι 24, η μέση μετατόπιση θα είναι λιγότερο από 22, ακόμα λιγότερο από την τετραγωνική ρίζα του 480 κατά το ήμισυ της διαφοράς ανάμεσα σε αυτήν τη ρίζα και το 22. Γίνεται χρήση αυτού του θεωρήματος σε ό,τι ακολουθεί.

[281] Δέκατο τρίτο [ΧΠΙ]: Από τα προηγούμενα η ακόλουθη πρόταση δείχνεται, η οποία μας είναι άκρως απαραίτητη: Ακριβώς όπως ο λόγος των μέσων μετατοπίσεων δύο πλανητών είναι η αντίστροφη αναλογία των δυνάμεων του 3/2 των σφαιρών, έτσι και ο λόγος δυο φαινόμενων ακρότατων μετατοπίσεων που συγκλίνουν πάντοτε είναι μικρότερος του λόγου των δυνάμεων του 3/2 των διαστημάτων που αντιστοιχούν σε αυτές τις μετατοπίσεις. Και στο βαθμό που το γινόμενο των δύο λόγων των αντίστοιχων διαστημάτων επί των δύο μέσων διαστημάτων ή των ημιδιαμέτρων των δύο σφαιρών είναι μικρότερο από το λόγο των τετραγωνικών ριζών των σφαιρών, στον ίδιο βαθμό ο λόγος των δύο ακρότατων μετατοπίσεων που συγκλίνουν ξεπερνάει το λόγο των αντίστοιχων διαστημάτων. Αλλά αν αυτός ο σύνθετος λόγος ξεπερνούσε το λόγο των τετραγωνικών ριζών των σφαιρών, τότε ο λόγος των μετατοπίσεων που συγκλίνουν θα ήταν μικρότερος από το λόγο των αντίστοιχων διαστημάτων.


Έστω ότι ο λόγος των σφαιρών είναι DH:AE. Έστω ο λόγος των μέσων μετατοπίσεων HI:EM, δηλαδή ο αντίστροφος του πρώτου λόγου στην δύναμη του 3/2. Έστω ότι η ελάχιστη απόσταση της σφαίρας στην πρώτη περίπτωση είναι CG. Και η μέγιστη απόσταση της σφαίρας στη δεύτερη περίπτωση BF. Και έστω πρώτα ότι το DH:CG επί BF:AE είναι μικρότερο από το DH:AE στη δύναμη του 1/2. Και έστω ότι το GH είναι η φαινόμενη μετατόπιση στο περιήλιο του απώτερου πλανήτη, ενώ FL η μετατόπιση στο αφήλιο του κατώτερου πλανήτη, έτσι ώστε να πρόκειται για συγκλίνουσες ακρότατες μετατοπίσεις.

Τότε
GK:FL = BF:CG =
BF3/2:CG3/2.
Γιατί
HI:GK = CG2:DH2
και
FL:EM  = AE2:BF2.
Οπότε
HI:GK επί FL:EM = CG2:DH2 επί  AE2:BF2.
Αλλά
CG:DH επί AE:BF < ΑΕ1/2:DΗ1/2  
κατά έναν συγκεκριμένο λόγο, όπως υποθέσαμε.
Οπότε επίσης
HI:GK επί FL:ΕM  = ΑΕ2/2:DΗ2/2 =
AE:DH
κατά ένα λόγο που είναι το τετράγωνο του προηγούμενου.
Αλλά σύμφωνα με την παράγραφο VIII
HI:EM = AΕ3/2:DH3/2.
Οπότε έστω ότι ο λόγος που είναι μικρότερος από το τετράγωνο του ελλειμματικού λόγου θα διαιρεθεί με τον λόγο των δυνάμεων του 3/2.
Δηλαδή,
HI:EM επί GK: HI επί EM:FL = AΕ1/2:DΗ1/2
κατά το τετράγωνο του πλεονασματικού όρου.
Αλλά
ΗΙ:ΕΜ επί GK:HI επί EM:FL = GK:FL
Οπότε
GK:FL = AE1/2:DH1/2
κατά το τετράγωνο του πλεονασματικού λόγου.
Αλλά
AE:DH = AE:BF επί BF:CG επί CG:DM.
Και
CG:DH επί AE:BF = AΕ1/2:DH1/2
κατά το απλό έλλειμμα. Οπότε
BF:CG = AΕ1/2:DH1/2
κατά το απλό πλεόνασμα.
Αλλά
GK:FLAE1/2:DΤ1/2
κατά το τετράγωνο του πλεονασματικού λόγου. Αλλά αυτό είναι μεγαλύτερο από το απλό πλεόνασμα. Οπότε ο λόγος των μετατοπίσεων από το GK στο FL είναι μεγαλύτερος από το λόγο των αντίστοιχων διαστημάτων από το BF στο CG.

Κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο, αποδεικνύεται ακόμα και αντιστρόφως ότι αν οι πλανήτες προσεγγίζουν ο ένας τον άλλο στα G και F πέρα από τις μέσες αποστάσεις στα Η και E, με τέτοιον τρόπο ώστε ο λόγος των μέσων αποστάσεων DH:AE να γίνει μικρότερος από DH1/2:AE1/2, τότε ο λόγος των μετατοπίσεων GK:FL γίνεται μικρότερος από το λόγο των αντίστοιχων διαστημάτων BF:CG. Γιατί δεν χρειάζεται τίποτε παρά να αντικατασταθεί η λέξη μεγαλύτερος σε μικρότερος, το > σε <, η λέξη πλεόνασμα σε έλλειμμα, και αντιστρόφως.

Με τους κατάλληλους αριθμούς, επειδή η τετραγωνική ρίζα του 4/9 είναι 2/3. Και το 5/8 είναι ακόμα μεγαλύτερο από το 2/3 κατά τον υπερβάλλοντα λόγο 15/16. Και το τετράγωνο του λόγου 8:9 είναι ο λόγος 1600:2025, δηλαδή, 64:81. Και το τετράγωνο του λόγου 4:5 είναι ο λόγος 3456:5400, δηλαδή, 16:25. Και τελικά ο λόγος 4:9 στη δύναμη του 3/2 είναι ο λόγος 1600:5400, δηλαδή, 8:27: επομένως επίσης ο λόγος 2025:3456, δηλαδή, 75: 128, είναι ακόμα μεγαλύτερος από το 5:8, δηλαδή, 75:120, κατά τον ίδιο υπερβάλλοντα λόγο (δηλ., 120:128), 15:16. Οπότε το 2025:3456, ο λόγος των συγκλίνοντων μετατοπίσεων, υπερβαίνει το 5:8, που είναι ο αντίστροφος λόγος των αντίστοιχων διαστημάτων, κατά τόσο όσο το 5:8 υπερβαίνει το 2:3, την τετραγωνική ρίζα του λόγου των σφαιρών. Ή, ισόποσα, ο λόγος των δύο συγκλίνοντων διαστημάτων είναι ένας μέσος όρος ανάμεσα στο λόγο των τετραγωνικών ριζών των σφαιρών και του αντίστροφου λόγου των αντίστοιχων μετατοπίσεων.

Επιπλέον, από αυτό μπορείτε να καταλάβετε ότι ο λόγος των αποκλίνοντων μετατοπίσεων είναι πολύ μεγαλύτερος από το λόγο των δυνάμεων στη 3/2 των σφαιρών, καθώς ο λόγος των δυνάμεων στη 3/2 συνενώνεται με τα τετράγωνα του λόγου της μετατόπισης στο αφήλιο προς την αντίστοιχη μέση, και της μέσης μετατόπισης προς εκείνη στο περιήλιο.





No comments:

Post a Comment