7/3/09

Τα παράδοξα του Ζήνωνα


Πιστεύετε ότι υπάρχουν άπειρα πράγματα; Τότε ο χώρος δεν υπάρχει. Πιστεύετε ότι η κίνηση είναι απείρως διχοτομήσιμη; Τότε η κίνηση είναι αδύνατη!

Σε αυτά τα λογικά συμπεράσματα κατέληξε ο Ζήνωνας, διατυπωμένα μέσα από τα γνωστά του παράδοξα. Ωστόσο, πριν διατυπώσουμε αυτά τα παράδοξα, θα ήταν χρήσιμο να κατανοήσουμε το εννοιολογικό πλαίσιο σύμφωνα με το οποίο ο Ζήνωνας κινήθηκε. Πρώτον, ο Ζήνωνας είχε ως σκοπό να υπερασπιστεί τον Παρμενίδη, ο οποίος πίστευε στη ‘μία και μοναδική αλήθεια και πραγματικότητα.’ Ο ίδιος είχε πει ότι ‘Εν τω Παν.’ Αυτό σημαίνει, σύμφωνα πάντα με την άποψη του Παρμενίδη, ότι η αλλαγή είναι αδύνατη. Με άλλα λόγια, κάθε έννοια της κίνησης ή της πολυπλοκότητας των φυσικών φαινομένων θα είναι ψευδαίσθηση, αφού θα υπάρχει μία αλήθεια. Μέσα σε αυτό το κοσμοϊστορικό πλαίσιο, μπορούμε να συνεχίσουμε καταγράφοντας τα παράδοξα του Ζήνωνα:

Το παράδοξο του ‘απείρου’
 - Αν υπάρχουν πολλά, τότε θα είναι άπειρα. Γιατί πάντα θα υπάρχουν κι άλλα ανάμεσα στα προηγούμενα, κοκ.
- Αν υπάρχουν άπειρα πράγματα θα είναι απείρως μικρά. Αν όμως αυτά τα απειροστά προστεθούν, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι τίποτα.
- Αν καθένα από αυτά κατέχει και μια θέση, τότε θα υπάρχει πάντα μια νέα θέση ανάμεσα στις προηγούμενες, κοκ.
Άρα το άπειρο δεν μπορεί να υπάρχει.

‘Το παράδοξο της κίνησης’
- Για να διανυθεί μια απόσταση, πρώτα πρέπει να διανυθεί η μισή, και πριν η μισή της μισής, κοκ.
- Αν ένας δρομέας θέλει να φτάσει έναν άλλον που προπορεύεται, θα πρέπει να διανύσει έναν άπειρο αριθμό ενδιάμεσων σταδίων. Άρα δεν θα τον φτάσει ποτέ.
- Αν ένα βέλος που πετάει, κάθε χρονική στιγμή είναι ακίνητο, τότε είναι ακίνητο συνέχεια.
Έτσι η κίνηση είναι αδύνατη.

Θα ήθελα εδώ να πω το εξής. Τα ‘παράδοξα του Ζήνωνα’ μας έχουν δοθεί από τρίτους, από τον Αριστοτέλη για παράδειγμα, και ύστερα από επάλληλες εκδοχές και μεταφράσεις. Έχουν διατυπωθεί με διάφορους τρόπους και ονομασίες, με τις όποιες παρερμηνείες. Όποια κι αν είναι η συλλογιστική, τα παράδοξα αυτά είναι παράδοξα λογικής και ως εκ τούτου κάποιος μπορεί να πει ότι ισχύουν ή ότι δεν ισχύουν, ανάλογα με τα αξιώματα και τους κανόνες επαγωγής που θα χρησιμοποιήσει. Επίσης, είναι πολύ δύσκολο να κατανοήσουμε το αρχικό πνεύμα των παραδόξων και τους σκοπούς που αυτά επιχειρούν να πετύχουν, εξαιτίας της μεγάλης χρονικής απόστασης από την εποχή που πρωτοδιατυπώθηκαν, καθώς και από τις, αγεφύρωτες ως έναν βαθμό, εννοιολογικές αποκλίσεις από τις αντίστοιχες σημερινές έννοιες.

Με μία φράση, η μέθοδος που χρησιμοποιεί ο Ζήνωνας είναι αυτό που θα ονομάσω ‘λογική διχοτόμηση.’ Το αρχικό επιχείρημα χωρίζεται σε ολοένα και επιμέρους επιχειρήματα, τα οποία στη συνέχεια μπορούν να ανασυντεθούν έτσι ώστε να υπάρξει ένα, στα πλαίσια της λογικής επαγωγής πάντα, έγκυρο συμπέρασμα.

Θα ήθελα να αναφέρω εδώ ένα συνηθισμένο παράδειγμα που χρησιμοποιείται για την άρση των παραδόξων του Ζήνωνα. Πρόκειται για τις λεγόμενες συγκλίνουσες σειρές, γνωστές ήδη από τον Αρχιμήδη. Αν θεωρήσουμε, λόγου χάρη, το παράδοξο του δρομέα (γνωστό και ως ‘ο Αχιλλέας και η χελώνα’), θα δούμε ότι χωρίζοντας μιαν απόσταση στο μισό ξανά και ξανά, παίρνουμε μια απλή γεωμετρική πρόοδο της μορφής 1/2+1/4+1/8+1/16+... η οποία, αθροίζοντας τους όρους, συγκλίνει και δίνει άθροισμα 1. Με αυτήν την έννοια, ο ‘Αχιλλέας’ θα διανύσει ακριβώς την απαιτούμενη απόσταση και θα φτάσει τη χελώνα. Ωστόσο, και πάλι, δεν καταρρίψαμε το επιχείρημα του Ζήνωνα: Η ίδια η γεωμετρική πρόοδος είναι άπειρη, αποτελείται δηλαδή από άπειρους όρους και για να πάρουμε την μονάδα ως τελικό αποτέλεσμα θα πρέπει να κάνουμε ένα άπειρο αριθμό πράξεων (αυτό ακριβώς θα μας έλεγε ο Ζήνωνας!)

Ένας άλλος τρόπος να επιλύσουμε τα παράδοξα του Ζήνωνα είναι μέσω της σύγχρονης κβαντικής φυσικής. Σύμφωνα με αυτήν, ο χώρος (απόσταση) είναι κβαντωμένος. Η κβαντική φυσική μας δίνει το ελάχιστο δυνατό μήκος που μπορούμε να ‘κόψουμε’ ένα ευθύγραμμο τμήμα, όπου αυτό το ελάχιστο μήκος ονομάζεται μήκος Plank. Πρόκειται για μια πολύ μικρή μονάδα μήκους (ισούται περίπου με 1.616×10^−35 μέτρα) αλλά είναι θεμελιώδης και πεπερασμένη. Με άλλα λόγια, αν στο προηγούμενο παράδειγμα ο Αχιλλέας απέχει 100 μέτρα από τη χελώνα, η απόσταση που έχει να διανύσει δεν είναι άπειρη αλλά αποτελείται από 100/(1.616×10^-35 )= 61.87×10^35 ενδιάμεσα ‘θεμελιώδη’ βήματα. Έτσι το παράδοξο του Ζήνωνα άρεται. Αν βέβαια σκεφτούμε ότι μπορούμε να διαιρέσουμε το μήκος Plank σε ακόμα μικρότερα μήκη, το παράδοξο επανέρχεται και πάλι…

Ο Ζήνωνας, με τα παράδοξά του, στην πραγματικότητα έθεσε τα θεμέλια αυτού που σήμερα ονομάζεται θεωρία συνόλων (Set Theory), καθώς επίσης και τα όρια ισχύος της μηχανικής (κινηματικής ειδικά) και του απειροστικού λογισμού. Ακριβώς αυτά τα παράδοξα που διατύπωσε ο Ζήνωνας είναι και τα παράδοξα της σύγχρονης επιστήμης σχετικά με τις έννοιες του χώρου του χρόνου και του απείρου. Σε ότι αφορά τα λεγόμενα απειροσύνολα, ο Cantor ήταν ο πρώτος που θεώρησε ότι δεν έχουν όλα τα απειροσύνολα το ίδιο μέγεθος, ούτε και ότι είναι απαραίτητα μη μετρήσιμα. Επίσης, στη σύγχρονη μηχανική η κίνηση γίνεται αντιληπτή και μετρήσιμη μέσα από την έννοια της ταχύτητας. Η μεταβολή της θέσης ενός σώματος σε κάποια χρονική στιγμή (στιγμιαία ταχύτητα) ορίζεται μέσω των απειροστών dx/dt. Αμέσως, όμως ο Ζήνωνας επανέρχεται δριμύτερος και μας ρωτά: Πώς είναι δυνατό αν η μετατόπιση dx είναι απειροστή (δηλαδή τείνει στο μηδέν) ένα σώμα να διανύσει μια απόσταση μη μηδενική;

Ακόμη κι αν απορρίψουμε την πεποίθηση του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι μια ψευδαίσθηση, και ότι η αλήθεια είναι μία και αναλλοίωτη, οφείλουμε, τελικά, να ομολογήσουμε ότι, κατόπιν όλων αυτών, κάτι θα πρέπει να έχει αλλάξει στον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε την έννοια του απείρου, το χρόνο, το χώρο και την κίνηση μέσα σ’ αυτόν. Στην πραγματικότητα, αυτό που αποκαλούμε ‘ταχύτητα’ δεν είναι μια συνεχής κίνηση ‘μέσα από όλα τα ενδιάμεσα σημεία του χώρου,’ αλλά ένα είδος ‘αποτελέσματος’ από ‘το αρχικό σημείο στο τελικό σημείο,’ όπου ανάμεσα σε αυτά τα σημεία υπάρχει το ‘κενό.’ Ίσως, δηλαδή, ο χώρος και χρόνος να έχουν να κάνουν περισσότερο με μια συνέπεια του τρόπου που ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται τη μεταβολή, (ή την ακινησία) παρά με κάποια αντικειμενική φυσική πραγματικότητα, ενώ η έννοια του απείρου να έχει να κάνει με την ίδια τη διαδικασία της ανθρώπινης λογικής.



3 comments:

  1. Δηλαδή υλοποιούμαι κι αποϋλοποιούμαι;
    Σαν το τρεμοσβήσυμο των ταινιών του βωβού κινηματογράφου.

    Κι όταν δεν "είμαι", που "είμαι";

    "Περπατώντας αργά στην προκυμαία,
    "Υπάρχω" λες κι ύστερα "Δεν υπάρχεις"..."

    Λες ο Καρυωτάκης να μελετούσε κβαντομηχανική;

    ReplyDelete
  2. Πάνω που διάβαζα Καρυωτάκη.

    Είδες κάτι συμπτώσεις;

    ReplyDelete
  3. 1/2+1/4+1/8+1/16+...+1/άπειρο = άπειρο

    1.616×10^−35 μέτρα / άπειρο = άπειρο

    Συνεπώς ο Ζήνων είναι απολύτως σωστός.

    ReplyDelete